高中数学第八章 立体几何初步本章综合与测试同步练习题

这是一份高中数学第八章 立体几何初步本章综合与测试同步练习题，共10页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
专题强化练6　空间中的垂直关系一、选择题　　　 　　　　　 　　　　　 1.(2020河北石家庄第二中学高一下月考,)已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱AA1的中点为E,AC与BD交于点O,平面α过点E且与直线OC1垂直,若AB=1,则平面α截该正方体所得截面图形的面积为(　　)A. B.C. D.2.(2020山东烟台第二中学高一下月考,)如图,在正方形ABCD中,E、F分别是BC、CD的中点,G是EF的中点,现在沿AE、AF及EF把这个正方形折成一个空间图形,使B、C、D三点重合,重合后的点记为H,那么在这个空间图形中必有(　　)A.AG⊥平面EFH B.AH⊥平面EFHC.HF⊥平面AEF D.HG⊥平面AEF3.(2020湖北武汉江夏一中、汉阳一中高三下联考,)在三棱柱ABC-A1B1C1中,已知AB⊥AC,AA1⊥平面A1B1C1,则下列选项中,能使异面直线BC1与A1C相互垂直的条件为(　　)A.∠A1CA=45°B.∠BCA=45°C.四边形ABB1A1为正方形D.四边形BCC1B1为正方形4.(2020重庆江津中学、綦江中学等六校高三下联考,)如图,棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中,P为线段AB1的中点,M,N分别为线段AC1和棱C1D1上任意一点,则PM+MN的最小值为(　　)A. B.C.1 D.二、填空题5.(2020安徽合肥一六八中学高二上期中,)经过平面α外一点和平面α内一点与平面α垂直的平面有　　　　. 6.(2020湖北襄阳五中、夷陵中学高三下联考,)三棱锥S-ABC中,点P是Rt△ABC斜边AB上一点,给出下列四个命题:①若SA⊥平面ABC,则三棱锥S-ABC的四个面都是直角三角形;②若AC=BC=SC=2,SC⊥平面ABC,则三棱锥S-ABC的外接球表面积为12π;③若AC=3,BC=4,SC=,S在平面ABC上的射影是△ABC的内心,则三棱锥S-ABC的体积为2;④若AC=3,BC=4,SA=3,SA⊥平面ABC,则直线PS与平面SBC所成的最大角为45°.其中正确命题的序号是　　　　. 三、解答题7.(2020天津静海第一中学高一下期中,)如图所示,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=2,BC=2,CC1=4,M为棱CC1上一点.(1)若C1M=1,求异面直线A1M和C1D1所成角的正切值;(2)若C1M=2,求证BM⊥平面A1B1M.   8.(2020山东滕州一中高一下月考,)如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是矩形,点E、F分别是棱PC和PD的中点.(1)求证:EF∥平面PAB;(2)若AP=AD,且平面PAD⊥平面ABCD,证明:AF⊥平面PCD.深度解析   9.()如图,四边形ABCD是正方形,O是该正方形的中心,P是平面ABCD外一点,PO⊥底面ABCD,E是PC的中点.求证:(1)PA∥平面BDE;(2)平面BDE⊥平面PAC.    10.(2020四川南充高三第一次适应性考试,)如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是矩形,AB=2,BC=a,PA⊥底面ABCD.(1)当a为何值时,BD⊥平面PAC?证明你的结论;(2)若在棱BC上至少存在一点M,使PM⊥DM,求a的取值范围.    答案全解全析一、选择题1.A　连接OE,BE,ED,C1E.易得O=1+=,OE2=+=,E=2+=,∴O+OE2=E,∴OE⊥OC1,易得BD⊥平面ACC1A1,∴BD⊥OC1,又OE∩BD=O,∴OC1⊥平面BDE,∴所得截面为△BDE.S△BDE=BD·OE=××=,∴α截该正方体所得截面图形的面积为.故选A.2.B　易知AH⊥HE,AH⊥HF,又HE∩HF=H,∴AH⊥平面EFH,∴B正确;∵过A只有一条直线与平面EFH垂直,∴A不正确;易知AG⊥EF,EF⊥AH,又AG∩AH=A,∴EF⊥平面HAG,又EF⊂平面AEF,∴平面HAG⊥平面AEF,过H作直线l垂直于平面AEF,则l一定在平面HAG内,∴C不正确;∵HG不垂直AG,∴HG⊥平面AEF不正确,∴D不正确.故选B.3.A　如图,连接AC1.易知AA1⊥平面ABC,∴AA1⊥AB,又AB⊥AC,AA1∩AC=A,∴AB⊥平面ACC1A1.∵A1C⊂平面ACC1A1,∴AB⊥A1C,当异面直线BC1与A1C相互垂直时,由AB∩BC1=B,可得A1C⊥平面ABC1,∵AC1⊂平面ABC1,∴A1C⊥AC1,∴四边形ACC1A1为正方形,∴∠A1CA=45°,反之亦然,即∠A1CA=45°时,可得BC1⊥A1C成立.故选A.4.C　如图,连接C1D,过M作MH⊥C1D于H,连接HN,过H作HH1⊥C1D1于H1,则MH∥AD,∴=.∵AD⊥平面CC1D1D,∴MH⊥平面CC1D1D.易知HH1∥DD1,∴=,即=,∵AD=DD1,∴MH=HH1,在Rt△MHN中,MN2=MH2+HN2,∵HN≥HH1,∴MH2+HN2≥MH2+H=2MH2,即MN2≥2MH2,MN≥MH,∴PM+MN≥PM+MH≥1,即PM+MN的最小值为1.故选C.二、填空题5.答案　1个或无数个解析　设平面α外一点为A,平面α内一点为O,若OA⊥α,则过OA的任一平面都垂直α,所以过OA存在无数个平面与平面α垂直;若OA不垂直于α,则过点A有唯一的直线l与平面α垂直,OA与l确定唯一的平面与α垂直,所以过OA存在唯一的平面与平面α垂直.故答案为1个或无数个.6.答案　①②④解析　对于①,∵SA⊥平面ABC,AB、AC、BC⊂平面ABC,∴SA⊥AB,SA⊥AC,SA⊥BC,又BC⊥AC,SA∩AC=A,∴BC⊥平面SAC,∵SC⊂平面SAC,∴BC⊥SC,∴三棱锥S-ABC的四个面都是直角三角形,①正确;对于②,若AC=BC=SC=2,SC⊥平面ABC,则三棱锥S-ABC的外接球可以看作棱长为2的正方体的外接球,∴2R=2(R为外接球的半径),球的表面积为12π,②正确;对于③,设△ABC的内心是O,则SO⊥平面ABC,连接OC,则有SO2=SC2-OC2=5-2=3,∴SO=,∴三棱锥S-ABC的体积V=×S△ABC×SO=××3×4×=2,③不正确;对于④,若SA=3,SA⊥平面ABC,则直线PS与平面SBC所成的角最大时,P点与A点重合,易知AS与平面SBC所成的角为∠ASC,在Rt△SCA中,tan∠ASC==1,∴∠ASC=45°,∴直线PS与平面SBC所成的最大角为45°,④正确.故答案为①②④.三、解答题7.解析　(1)∵C1D1∥B1A1,∴∠B1A1M是异面直线A1M和C1D1所成的角.∵在长方体ABCD-A1B1C1D1中,A1B1⊥平面BCC1B1,∴A1B1⊥B1M,∵B1C1=BC=2,C1M=1,∴B1M===,∴tan∠B1A1M==,即异面直线A1M和C1D1所成角的正切值为.(2)证明:当C1M=2时,B1M=BM==2,∴B1M2+BM2=B,∴B1M⊥BM,∵A1B1⊥平面BCC1B1,BM⊂平面BCC1B1,∴A1B1⊥BM.又A1B1∩B1M=B1,∴BM⊥平面A1B1M.8.证明　(1)∵E、F分别是棱PC和PD的中点,∴EF∥CD,又在矩形ABCD中,AB∥CD,∴EF∥AB,∵AB⊂平面PAB,EF⊄平面PAB,∴EF∥平面PAB.(2)在矩形ABCD中,AD⊥CD,又平面PAD⊥平面ABCD,平面PAD∩平面ABCD=AD,CD⊂平面ABCD,∴CD⊥平面PAD,又AF⊂平面PAD,∴CD⊥AF.∵PA=AD,F是PD的中点,∴AF⊥PD,∵PD⊂平面PCD,CD⊂平面PCD,PD∩CD=D,∴AF⊥平面PCD.方法总结证明线面平行的关键是在面中找到一条与已知直线平行的直线,找线的方法可利用三角形的中位线或平行公理;线面垂直的判定可由线线垂直得到,注意线线是相交的,而要求证的线线垂直又可以转化为已知的线面垂直(有时来自面面垂直)来考虑.9.证明　(1)如图,连接OE,∵O、E分别是AC、PC的中点,∴PA∥OE,又PA⊄平面BDE,OE⊂平面BDE,∴PA∥平面BDE.(2)∵PO⊥底面ABCD,BD⊂底面ABCD,∴PO⊥BD,又正方形中BD⊥AC,PO∩AC=O,∴BD⊥平面PAC,而BD⊂平面BDE,∴平面BDE⊥平面PAC.10.解析　(1)当a=2时,BD⊥平面PAC.证明如下:当a=2时,矩形ABCD为正方形,则BD⊥AC.∵PA⊥平面ABCD,BD⊂平面ABCD,∴BD⊥PA.又AC∩PA=A,AC⊂平面PAC,PA⊂平面PAC,∴BD⊥平面PAC.故当a=2时,BD⊥平面PAC.(2)设M是符合条件的BC棱上的点.∵PA⊥平面ABCD,DM⊂平面ABCD,∴DM⊥PA,又PM⊥DM,PA∩PM=P,PA⊂平面PAM,PM⊂平面PAM,∴DM⊥平面PAM,∵AM⊂平面PAM,∴DM⊥AM,∴点M是以AD为直径的圆和BC边的交点,∴半径r=≥AB,即a≥4,∴a∈[4,+∞).