2020-2021学年1.3 空间向量及其运算的坐标表示免费巩固练习

这是一份2020-2021学年1.3 空间向量及其运算的坐标表示免费巩固练习，共19页。
1.3　空间向量及其运算的坐标表示
1.3.1　空间直角坐标系
1.3.2　空间向量运算的坐标表示
基础过关练
题组一　空间向量的坐标表示
1.在空间直角坐标系中,点P(1,2,3)关于平面Oyz对称的点的坐标为(　　)
　　　　　 　　　　　 　　　　　
A.(1,-2,-3) B.(-1,-2,3)
C.(-1,2,3) D.(-1,2,-3)
2.空间直角坐标系中,已知A(1,-2,3),B(3,2,-5),则线段AB的中点坐标为(　　)
A.(-1,-2,4) B.(-2,0,1)
C.(2,0,-2) D.(2,0,-1)
3.在直三棱柱ABO-A1B1O1中,∠AOB=π2,AO=4,BO=2,AA1=4,D为A1B1的中点,则在空间直角坐标系中(O为坐标原点),DO的坐标是　　　　,A1B的坐标是　　　　. 
题组二　空间向量线性运算的坐标表示
4.(2020黑龙江牡丹江第一高级中学高二上期中)已知O为原点,a=(1,-2,1),a-b=(-1,2,-1),则b等于(　　)
A.(2,-4,2) B.(-2,4,-2)
C.(-2,0,-2) D.(2,1,-3)
5.已知向量a=(1,2,3),b=(-1,0,1),则a+2b=(　　)
A.(-1,2,5) B.(-1,4,5)
C.(1,2,5) D.(1,4,5)
6.(2020湖南长沙明德中学高二上月考)若a=(1,λ,2),b=(2,-1,2),c=(1,4,4),且a,b,c共面,则λ=　　　　. 
7.(2020湖南师范大学附属中学高二上期中)已知a=(x,1,3),b=(-1,3,9),若a与b共线,则x的值是　　　　. 
8.已知O是坐标原点,且A,B,C三点的坐标分别是(2,-1,2),(4,5,-1),(-2,2,3),求适合下列条件的点P的坐标:
(1)OP=12(AB-AC);(2)AP=12(AB-AC).










题组三　空间向量数量积的坐标表示
9.已知a=(1,1,0),b=(0,1,1),c=(1,0,1),p=a-b,q=a+2b-c,则p·q=(　　)
A.-1 B.1 C.0 D.-2
10.直三棱柱ABC-A1B1C1的底面是边长为2的正三角形,侧棱为3,M,N分别为A1C1,BC的中点,则AB·NM=(　　)
A.2 B.-2 C.10 D.-10
11.(2020重庆高二上期中)如图,建立空间直角坐标系Oxyz.单位正方体ABCD-A'B'C'D'的顶点A位于坐标原点,其中B(1,0,0),D(0,1,0),A'(0,0,1).
(1)若E是棱B'C'的中点,F是棱B'B的中点,G是侧面CDD'C'的中心,分别求出向量OE,OG,FG的坐标;
(2)在(1)的条件下,分别求出(OE+OG)·FG,|EG|的值.










12.已知向量a=(2,1,-2),c=(-1,0,1),向量b同时满足下列三个条件:①a·b=-1;②|b|=3;③b⊥c.
(1)求a+2c的模;
(2)求向量b的坐标.


















题组四　利用空间向量的坐标运算解决平行和垂直问题
13.设x,y∈R,向量a=(x,1,1),b=(1,y,1),c=(2,-4,2),且a⊥c,b∥c,则x+y的值为(　　)
A.-1 B.1 C.2 D.3
14.(2020山西大同第一中学高二上期中)如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,M,N分别是BC1,CD1的中点,则下列说法错误的是(　　)

A.MN与CC1垂直
B.MN与AC垂直
C.MN与BD平行
D.MN与A1B1平行
15.已知AB=(1,5,-2),BC=(3,1,z),若AB⊥BC,BP=(x-1,y,-3),且BP⊥平面ABC,则BP=　　　　. 
题组五　利用空间向量求夹角和距离(长度)
16.在空间直角坐标系中,已知M(-1,0,2),N(3,2,-4),则MN的中点P到坐标原点O的距离为(　　)
A.3 B.2 C.2 D.3
17.(2020四川绵阳中学高二上期中)空间直角坐标系中的点A(3,3,1)关于平面Oxy的对称点A'与点B(-1,1,5)间的距离为(　　)
A.6 B.26
C.43 D.214

18.(2020北京十二中高二上期中)已知点A(0,1,2),B(1,-1,3),C(1,5,-1).
(1)若D为线段BC的中点,求线段AD的长;
(2)若AD=(2,a,1),且AB·AD=1,求a的值,并求此时向量AB与AD夹角的余弦值.

















19.(2020山西太原第五中学高二上月考)如图,以棱长为1的正方体的三条棱所在直线为坐标轴,建立空间直角坐标系Oxyz,点P在线段AB上,点Q在线段DC上.
(1)当PB=2AP,且点P关于y轴的对称点为M时,求|PM|的长度;
(2)当点P是面对角线AB的中点,点Q在面对角线DC上运动时,探究|PQ|的最小值.深度解析










能力提升练
题组一　空间向量运算的坐标表示
1.(2020山东泰安第一中学高二上期末,)已知a=(2,-1,3),b=(-1,4,-2),c=(7,5,λ),若{a,b,c}不能构成空间的一个基底,则实数λ的值为(　　)
　　　　　 　　　　　 　　　　　
A.0 B.357 C.9 D.657
2.(2020北京东直门中学高二上期中,)已知O为原点,OA=(1,2,3),OB=(2,1,2),OP=(1,1,2),点Q在直线OP上运动,则QA·QB取得最小值时,点Q的坐标为(　　)
A.12,34,13 B.12,23,34
C.43,43,83 D.43,43,73
3.(多选)(2020陕西西北大学附属中学高二上期中,)设几何体ABCD-A1B1C1D1是棱长为a的正方体,A1C与B1D相交于点O,则(　　)
A.A1B1·AC=a2 B.AB·A1C=2a2
C.CD·AB1=-a2 D.AB·A1O=12a
4.(多选)()已知向量a·b=b·c=a·c,b=(3,0,-1),c=(-1,5,-3),下列等式中正确的是(　　)
A.(a·b)·c=b·c B.(a+b)·c=a·(b+c)
C.(a+b+c)2=a2+b2+c2 D.|a+b+c|=|a-b-c|
5.()已知点P是棱长为1的正方体A1B1C1D1-ABCD的底面A1B1C1D1上一点(包括边界),则PA·PC的取值范围是　　　　. 
题组二　利用空间向量的坐标运算解决平行、垂直问题
6.(2020江苏启东中学高二上期中,)已知两个向量a=(2,-1,3),b=(4,m,n),且a∥b,则m+n的值为　(深度解析)
A.1 B.2 C.4 D.8
7.()在三棱柱A1B1C1-ABC中,侧棱AA1⊥底面A1B1C1,∠BAC=90°,AB=AC=AA1=1,D是棱CC1的中点,P是AD的延长线与A1C1的延长线的交点.若点Q在直线B1P上,则下列结论正确的是(　　)
A.当点Q为线段B1P的中点时,DQ⊥平面A1BD
B.当点Q为线段B1P的三等分点时,DQ⊥平面A1BD
C.在线段B1P的延长线上,存在一点Q,使得DQ⊥平面A1BD
D.不存在点Q,使DQ与平面A1BD垂直
8.()已知a=(3,2λ-1,1),b=(μ+1,0,2μ).若a⊥b,则μ=　　　　;若a∥b,则λ+μ=　　　　. 
9.(2020浙江绍兴高二上期末阶段测试,)如图,已知四棱柱ABCD-A1B1C1D1,AA1⊥平面ABCD,四边形ABCD是正方形,点E在线段A1D上,且A1E=2ED.
(1)证明:BD1⊥AC;
(2)证明:BD1∥平面ACE.






题组三　利用空间向量的坐标运算解决长度和夹角问题
10.(2020安徽芜湖高二上期末,)如图,在三棱锥P-ABC中,△ABC为等边三角形,△PAC为等腰直角三角形,PA=PC=4,平面PAC⊥平面ABC,D为AB的中点,则异面直线AC与PD所成角的余弦值为(深度解析)


A.14 B.24 C.34 D.12
11.(2020湖北武汉高二期末联考,)在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中,P是底面ABCD(含边界)上一动点,满足A1P⊥AC1,则线段A1P长度的取值范围是(　　)
A.62,2 B.62,3
C.[1,2] D.[2,3]
12.(多选)(2020山东莱州第一中学高二上期末,)正方体A1B1C1D1-ABCD的棱长为2,M为B1C1的中点,下列命题中正确的是(　　)
A.AB1与BC1成60°角
B.若CN=13NC1,面A1MN交CD于点E,则CE=13
C.P点在正方形ABB1A1边界及内部运动,且MP⊥DB1,则P点的轨迹长等于2
D.E,F分别在DB1,A1C1上,且DEEB1=A1FFC1=2,直线EF与AD1,A1D所成角分别是α,β,则α+β=π2

答案全解全析
基础过关练
1.C　点P关于平面Oyz对称的点的坐标与点P的横坐标相反,故选C.
2.D　设中点坐标为(x,y,z),根据中点坐标公式得x=1+32=2,y=-2+22=0,z=3-52=-1.
3.答案　(-2,-1,-4);(-4,2,-4)
解析　如图建系,则O(0,0,0),A1(4,0,4),B1(0,2,4),B(0,2,0),∴A1B=(-4,2,-4).∵D为A1B1的中点,∴D(2,1,4),∴DO=(-2,-1,-4).

4.A　∵a-b=(-1,2,-1),∴b=a-(-1,2,-1)=(1,-2,1)-(-1,2,-1)=(2,-4,2),故选A.
5.A　a+2b=(1,2,3)+2(-1,0,1)=(1,2,3)+(-2,0,2)=(-1,2,5),故选A.
6.答案　1
解析　∵a,b,c共面,
∴存在实数m,n,使得c=ma+nb,
∴1=m+2n,4=λm-n,4=2m+2n,解得λ=1.
7.答案　-13
解析　∵a与b共线,∴∃λ∈R,使b=λa,
∴-1=λx,3=λ,9=3λ,解得λ=3,x=-13.
8.解析　由题得AB=(2,6,-3),AC=(-4,3,1).
(1)∵OP=12(AB-AC)=12(2+4,6-3,-3-1)=12(6,3,-4)=3,32,-2,
∴P3,32,-2.
(2)∵AP=12(AB-AC)
=12(2+4,6-3,-3-1)
=12(6,3,-4)=3,32,-2,
∴OP=OA+AP=(2,-1,2)+3,32,-2
=5,12,0,∴P5,12,0.
9.A　p=a-b=(1,0,-1),q=a+2b-c=(1,1,0)+(0,2,2)-(1,0,1)=(0,3,1),
∴p·q=1×0+0×3+(-1)×1=-1,故选A.
10.B　如图,建立空间直角坐标系,则A(0,0,0),B(2,0,0),M12,32,3,N32,32,0,
∴AB=(2,0,0),NM=(-1,0,3),
∴AB·NM=2×(-1)+0+0=-2,故选B.

11.解析　(1)由题图知,O(0,0,0),E1,12,1,G12,1,12,F1,0,12,
∴OE=1,12,1,OG=12,1,12,OF=1,0,12,
∴FG=OG-OF=12,1,12-1,0,12=-12,1,0.
(2)(OE+OG)·FG=32,32,32·-12,1,0=34,EG=OG-OE=-12,12,-12,∴|EG|=EG2=32.
12.解析　(1)∵a=(2,1,-2),c=(-1,0,1),∴a+2c=(2,1,-2)+(-2,0,2)=(0,1,0),
∴|a+2c|=0+1+0=1.
(2)设b=(x,y,z),则a·b=2x+y-2z=-1①,|b|=x2+y2+z2=3②,b·c=-x+z=0③,
由①②③得x=2,y=-1,z=2或x=-2,y=-1,z=-2,
∴b=(2,-1,2)或b=(-2,-1,-2).
13.A　∵a⊥c,∴a·c=2x-4+2=0,解得x=1,又b∥c,∴12=y-4=12,解得y=-2,则x+y=-1,故选A.
14.D　设正方体的棱长为1,如图,建立空间直角坐标系,则A(1,0,0),B(1,1,0),C(0,1,0),D(0,0,0),A1(1,0,1),B1(1,1,1),C1(0,1,1),M12,1,12,N0,12,12,
∴MN=-12,-12,0,CC1=(0,0,1),AC=(-1,1,0),BD=(-1,-1,0),A1B1=(0,1,0),∴MN·CC1=0,∴MN⊥CC1,A说法正确;MN·AC=12-12=0,∴MN⊥AC,B说法正确;易知BD=2MN,且M,N∉BD,∴MN∥BD,C说法正确;设MN=λA1B1,得-12=0×λ,-12=λ,0=0×λ,无解,所以MN与A1B1不平行,D说法错误.故选D.

15.答案　337,-157,-3
解析　因为AB⊥BC,所以AB·BC=0,
即1×3+5×1+(-2)z=0,所以z=4.
因为BP⊥平面ABC,
所以BP⊥AB,且BP⊥BC,
即1×(x-1)+5y+(-2)×(-3)=0,3(x-1)+y+4×(-3)=0,
解得x=407,y=-157,
所以BP=337,-157,-3.
16.A　由中点坐标公式,得P(1,1,-1),所以OP=(1,1,-1),|OP|=1+1+1=3.故选A.
17.D　由题意得,A'(3,3,-1),所以A'B=(-4,-2,6),所以|A'B|=16+4+36=214,故选D.
18.解析　(1)由题意得,D(1,2,1),∴AD=(1,1,-1),|AD|=1+1+1=3,即线段AD的长为3.
(2)易知AB=(1,-2,1),∴AB·AD=2-2a+1=1,解得a=1,∴AD=(2,1,1).
∴cos=AB·AD|AB||AD|=16×6=16,
即向量AB与AD夹角的余弦值为16.
19.解析　由题意知A(1,0,1),B(1,1,0),C(0,1,0),D(1,1,1).
(1)由PB=2PA得P1,13,23,所以M-1,13,-23,所以|PM|=2133.
(2)当点P是面对角线AB的中点时,P1,12,12,点Q在面对角线DC上运动,设点Q(a,1,a),a∈[0,1],
则|PQ|=(a-1)2+1-122+a-122
=2a2-3a+32=2a-342+38,
所以当a=34时,|PQ|取得最小值64,此时点Q34,1,34.
方法归纳　利用向量坐标求空间中线段长度的一般步骤:(1)建立适当的空间直角坐标系;(2)求出线段端点的坐标(或线段对应向量的坐标);(3)利用两点间的距离公式求出线段的长(或利用向量模的坐标公式求出对应向量的模).
能力提升练
1.D　∵{a,b,c}不能构成空间的一个基底,∴a,b,c共面,则c=xa+yb,其中x,y∈R,则(7,5,λ)=(2x,-x,3x)+(-y,4y,-2y)=(2x-y,-x+4y,3x-2y),
∴7=2x-y,5=-x+4y,λ=3x-2y,解得x=337,y=177,λ=657.
故选D.
2.C　点Q在直线OP上运动,设OQ=λOP=(λ,λ,2λ)(λ∈R),则QA=OA-OQ=(1-λ,2-λ,3-2λ),QB=OB-OQ=(2-λ,1-λ,2-2λ),
∴QA·QB=6λ-432-23,当λ=43时,QA·QB最小,此时,Q43,43,83,故选C.
3.AC　如图,建立空间直角坐标系,则A(a,0,0),B(a,a,0),C(0,a,0),D(0,0,0),A1(a,0,a),B1(a,a,a),Oa2,a2,a2,∴A1B1=(0,a,0),AC=(-a,a,0),AB=(0,a,0),A1C=(-a,a,-a),CD=(0,-a,0),AB1=(0,a,a),A1O=-a2,a2,-a2.
∴A1B1·AC=a2,A对;AB·A1C=a2,B错;CD·AB1=-a2,C对;AB·A1O=12a2,D错.故选AC.

4.BCD　易得a·b=a·c=b·c=-3+0+3=0.
(a·b)·c=0,b·c=0,所以A选项错误;
(a+b)·c-a·(b+c)=a·c+b·c-a·b-a·c=0,所以(a+b)·c=a·(b+c),所以B选项正确;
(a+b+c)2=a2+b2+c2+2a·b+2b·c+2a·c=a2+b2+c2,所以C选项正确;
(a-b-c)2=a2+b2+c2-2a·b+2b·c-2a·c=a2+b2+c2,
即(a+b+c)2=(a-b-c)2,|a+b+c|=|a-b-c|,所以D选项正确.
故选BCD.
5.答案　12,1
解析　如图所示,建立空间直角坐标系,则A1(0,0,0),A(0,0,1),C(1,1,1).
设P(x,y,0)(x,y∈[0,1]).

则PA=(-x,-y,1),PC=(1-x,1-y,1),
∴PA·PC=-x(1-x)-y(1-y)+1
=x-122+y-122+12.
∵x,y∈[0,1],∴当x=12,y=12时,PA·PC有最小值12.
当点P取(0,0,0),(1,0,0),(1,1,0),(0,1,0)时,PA·PC有最大值1.
∴PA·PC的取值范围是12,1.
6.C　因为a∥b,所以∃λ∈R,使得b=λa,得4=2λ,m=-λ,n=3λ,解得λ=2,m=-2,n=6,所以m+n=4,故选C.
解题反思　在解决有关平行的问题时,通常需要引入参数,如本题中已知a∥b,引入参数λ,使b=λa,转化为方程组求解;本题也可以利用坐标成比例求解,即由a∥b,得42=m-1=n3,求出m,n.
7.D　如图,建立空间直角坐标系,则A1(0,0,0),B1(1,0,0),B(1,0,1),D0,1,12,P(0,2,0),所以B1P=(-1,2,0),B1D=-1,1,12,A1B=(1,0,1),A1D=0,1,12.
设存在点Q,使DQ与平面A1BD垂直,设B1Q=λB1P(0≤λ≤1),则DQ=B1Q-B1D=λB1P-B1D=(-λ,2λ,0)--1,1,12=1-λ,2λ-1,-12.
由DQ⊥A1B,DQ⊥A1D,
得1-λ-12=0,2λ-1-14=0,无解,故选D.

8.答案　-35;710
解析　由a⊥b,得a·b=3(μ+1)+2μ=0,解得μ=-35.由a∥b,得μ+13=2μ1,且2λ-1=0,解得μ=15,λ=12,所以λ+μ=710.
9.证明　(1)设AC与BD交于点O,A1C1与B1D1交于点O1,连接OO1,设AB=a,AA1=b.如图,建立空间直角坐标系,

则O(0,0,0),A0,-22a,0,B22a,0,0,C0,22a,0,D-22a,0,0,
A10,-22a,b,D1-22a,0,b,
∴BD1=(-2a,0,b),AC=(0,2a,0),
∴BD1·AC=0,∴BD1⊥AC.
(2)设E(x,y,z),∵A1E=2ED,∴A1E=2ED,即x,y+22a,z-b=2-22a-x,-y,-z,
解得x=-23a,y=-26a,z=b3,即E-23a,-26a,13b,
∴AE=-23a,23a,13b.
设BD1=λAC+μAE(λ,μ∈R),则(-2a,0,b)=λ(0,2a,0)+μ-23a,23a,13b,
即-2a=0-23μa,0=2λa+23μa,b=0+13μb,解得λ=-1,μ=3,
即BD1=-AC+3AE.
∴BD1,AC,AE共面,又BD1⊄平面ACE,
∴BD1∥平面ACE.
10.B　取AC的中点O,连接OP,OB,
∵PA=PC,∴AC⊥OP,
∵平面PAC⊥平面ABC,平面PAC∩平面ABC=AC,
∴OP⊥平面ABC,
又∵AB=BC,∴AC⊥OB,
以O为坐标原点,建立如图所示的空间直角坐标系,

∵△PAC是等腰直角三角形,PA=PC=4,△ABC为等边三角形,
∴A(22,0,0),C(-22,0,0),P(0,0,22),D(2,6,0),
∴AC=(-42,0,0),PD=(2,6,-22),
∴cos=AC·PD|AC||PD|=-842×4=-24.
∴异面直线AC与PD所成角的余弦值为24.
故选B.
解题反思　用坐标法求解立体几何问题,关键是建立适当的空间直角坐标系.建系时,关键是寻找线面垂直的条件,将垂线所在直线作为z轴,利用底面的图形特点建立x轴和y轴.
11.A　如图,建立空间直角坐标系,则A(0,0,0),A1(0,0,1),C1(1,1,1),
∵P是底面ABCD(含边界)上一动点,
∴设P(x,y,0)(0≤x≤1,0≤y≤1),
则A1P=(x,y,-1),AC1=(1,1,1),
∵A1P⊥AC1,∴A1P·AC1=x+y-1=0,
∴A1P2=x2+y2+1=x2+(1-x)2+1=2x2-2x+2=2x-122+32,
∴当x=12时,A1P2取最小值32,此时线段A1P的长度为62;
当x=0或x=1时,A1P2取最大值2,此时线段A1P的长度为2,
∴线段A1P长度的取值范围是62,2.
故选A.

12.ACD　如图,建立空间直角坐标系,则A(2,0,2),B(2,2,2),C(0,2,2),D(0,0,2),
A1(2,0,0),B1(2,2,0),C1(0,2,0),D1(0,0,0),M(1,2,0).

对于A,AB1=(0,2,-2),BC1=(-2,0,-2),cos=AB1·BC1|AB1||BC1|=422×22=12,
∴AB1与BC1成60°角,A对;
对于B,∵CN=13NC1,∴N0,2,32,设E(0,m,2),则A1M=(-1,2,0),A1N=-2,2,32,A1E=(-2,m,2),由已知得A1,M,N,E四点共面,
∴∃λ,μ∈R,使得A1M=λA1N+μA1E,
得-1=-2λ-2μ,2=2λ+mμ,0=32λ+2μ,解得λ=2,μ=-32,m=43,
∴E0,43,2,∴CE=0,-23,0,|CE|=23,B错;
对于C,设P(2,y,z)(0≤y≤2,0≤z≤2),则MP=(1,y-2,z),DB1=(2,2,-2),
由MP·DB1=2+2y-4-2z=0,得y-z=1.
∴点P的轨迹长为线段y-z=1(1≤y≤2)的长度,为2,C对;
对于D,∵E,F分别在DB1,A1C1上,且DEEB1=A1FFC1=2,
∴DE=23DB1=23(2,2,-2)=43,43,-43,A1F=23A1C1=23(-2,2,0)=-43,43,0,
则E43,43,23,F23,43,0,则EF=-23,0,-23,
则cos α=|cos|=-43-43-232+-232×4+4=83223×22=1,故α=0,
cos β=|cos|=-43+43-232+-232×4+4=0,故β=π2,即α+β=π2,故D正确.