高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第一册第一章 空间向量与立体几何本章综合与测试免费测试题

专题强化练1　利用空间向量基本定理解

决立体几何问题

一、选择题

1.(2020海南文昌中学高二上月考,)如图,平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,AC与BD的交点为M,设=a,=b,=c,则下列向量中与相等的向量是(　　)

A.-a+b+c

B.a+b+c

C.-a-b-c

D.-a-b+c

2.(2019陕西高三联考,)已知三棱柱ABC-A1B1C1的侧棱与底面边长都相等,A1在底面ABC上的射影为BC的中点,则异面直线AB与CC1所成角的余弦值为(　　)

A. B. C. D.

3.(2019黑龙江大庆铁人中学期末,)如图,在四面体OABC中,OA=8,AB=6,AC=4,BC=5,∠OAC=45°,∠OAB=60°,则OA与BC所成角的余弦值为(　　)

A. B.

C. D.

二、填空题

4.(2020河北武邑中学高二上月考,)已知在直三棱柱ABC-A1B1C1中,∠ACB=90°,AA1=2,AC=BC=1,则异面直线A1B与AC所成角的余弦值是　　　　. 

5.(2020安徽合肥一六八中学高二月考,)如图,在三棱锥D-ABC中,已知AB=2,·=-3,设AD=a,BC=b,CD=c,则的最小值为　　　　. 

三、解答题

6.(2020浙江宁波高二上期中,)如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,AB=AC,A1C⊥BC1,AB1⊥BC1,D,E分别是AB1,BC的中点.求证:

(1)DE∥平面ACC1A1;

(2)AE⊥平面BCC1B1.(用向量方法证明)

7.(2020海南海口第一中学高三上月考,)如图所示,在四棱锥E-ABCD中,底面ABCD是菱形,∠ADC=60°,AC与BD交于点O,EC⊥底面ABCD,F为BE的中点,AB=CE.

(1)求证:DE∥平面ACF;

(2)求异面直线EO与AF所成角的余弦值;

(3)求AF与平面EBD所成角的正弦值.深度解析

答案全解全析

一、选择题

1.C　=-=(+)-(++)=-a-b-c,故选C.

2.B　设=a,=b,=c,BC的中点为D,则A1D⊥平面ABC,∴A1D⊥AB,

设三棱柱的各棱长均为1,则|a|=|b|=|c|=1,且<a,b>=60°,

∴=-=(a+b)-c,

∴·=·a=0,

解得a·c=,∴cos<a,c>===,

∴异面直线AB与CC1所成角的余弦值为.

3.A　因为=-,

所以·=·(-)

=·-·

=||||cos<,>-||||·cos<,>

=8×4×cos 135°-8×6×cos 120°=-16+24.

所以cos<,>===,

即OA与BC所成角的余弦值为.

二、填空题

4.答案　

解析　由题意得∠CAB=45°,AB=,

∵=-,

∴·=(-)·=·-·=×1×-0=1,

又||===,||=1,

∴cos<,>===.

5.答案　2

解析　设=x,=y,=z,则{x,y,z}是空间的一个基底,

=(y-x)2=y2-2y·x+x2=b2-2y·x+x2=4①,

·=(-x)·(z-y)=x·y-x·z=-3②,

=(z-x)2=z2-2z·x+x2=c2-2z·x+x2=a2③,

①-③得b2-c2-2y·x+2z·x=4-a2④,将②代入④得b2-c2+6=4-a2,

化简得=1,又a2+b2≥2ab(当且仅当a=b时取等号),∴≥2(当且仅当a=b时取等号),即的最小值为2.

三、解答题

6.证明　设=a,=b,=c.

(1)=-=(a+b)-=(a+b)-(a+c)=(b-c),

∵=-=b-c,∴=,∴DE∥A1C,又DE⊄平面ACC1A1,A1C⊂平面ACC1A1,∴DE∥平面ACC1A1.

(2)易知=(a+b),=b-a,=c,=b-a+c,=a+c,

∵A1C⊥BC1,AB1⊥BC1,

∴

即

两式相加,整理得b2-a2+b·c+a·c=0,

∵AB=AC,∴|a|=|b|,∴b·c+a·c=0.

∵·=(a+b)·c=(a·c+b·c)=0,∴⊥.

又·=(b2-a2)=0,∴⊥.

又BC∩BB1=B,∴AE⊥平面BCC1B1.

7.解析　设AB=CE=1,=a,=b,=c,

则|a|=|b|=|c|=1,<a,c>=<b,c>=90°,<a,b>=120°.

(1)证明:∵=c-a,=(b+c),=a+b,∴=2-,

即,,共面,又DE⊄平面ACF,CF,CA⊂平面ACF,∴DE∥平面ACF.

(2)∵=-=(a+b)-c,=-=(b+c)-(a+b)=-a-b+c,

∴·=-,||=,||=1,

∴cos<,>===-,

∵两异面直线所成角不大于90°,∴异面直线EO与AF所成角的余弦值为.

(3)易知=b-c,=a-c,过点A作AG⊥平面EBD,垂足为G,则∠AFG即直线AF与平面EBD所成角.

设=x+y,∵=c-a,=c-b,

∴=x+y=(x+y)c-xa-yb,

=++=(x+y)c-xa-(y+1)b,

由·=0,·=0,得y=-,

x=,∴=-c-a-b,||=,

又AF=1,∴sin∠AFG==,

∴直线AF与平面EBD所成角的正弦值为.

解后反思　用基向量解决直线与平面所成角的问题,基本思路是通过定义,将直线与平面所成角转化为平面角去处理,这里解题的关键是利用共面向量定理确定垂足的位置.