人教A版 (2019)选择性必修 第一册第二章 直线和圆的方程2.4 圆的方程随堂练习题

2.4　圆的方程

2.4.1　圆的标准方程

基础过关练

题组一　圆的标准方程的认识

1.圆(x-2)2+(y+3)2=2的圆心坐标和半径分别是(　　)

A.(-2,3),1 B.(2,-3),3

C.(-2,3), D.(2,-3),

2.方程(x-a)2+(y-b)2=0表示的是(　　)

A.以(a,b)为圆心的圆 B.以(-a,-b)为圆心的圆

C.点(a,b) D.点(-a,-b)

3.过圆(x+1)2+(y-2)2=4的圆心,且斜率为1的直线l的方程为(　　)

A.x+y-1=0 B.x+y+3=0

C.x-y+3=0 D.x-y-3=0

4.圆心为(3,1),半径为5的圆的标准方程为(　　)

A.(x+3)2+(y+1)2=5 B.(x+3)2+(y+1)2=25

C.(x-3)2+(y-1)2=5 D.(x-3)2+(y-1)2=25

5.方程x=表示的图形是(　　)

A.两个半圆 B.两个圆

C.圆 D.半圆

题组二　圆的标准方程的求法

6.圆心在y轴上,半径为1,且过点(1,2)的圆的标准方程是(　　)

A.x2+(y-2)2=1 B.x2+(y+2)2=1

C.(x-1)2+(y-3)2=1 D.x2+(y-3)2=1

7.已知圆C的一条直径的端点坐标分别是(4,1),(-2,3),则圆C的标准方程是(　　)

A.(x+1)2+(y+2)2=10 B.(x-1)2+(y-2)2=40

C.(x-1)2+(y-2)2=10 D.(x+1)2+(y+2)2=40

8.若一圆的圆心坐标为(2,-3),一条直径的端点分别在x轴和y轴上,则此圆的标准方程是(　　)

A.(x-2)2+(y+3)2=13 B.(x+2)2+(y-3)2=13

C.(x-2)2+(y+3)2=52 D.(x+2)2+(y-3)2=52

9.圆心为直线x-y+2=0与直线2x+y-8=0的交点,且过原点的圆的标准方程是　　　　　　　. 

10.已知圆过点A(1,-2),B(-1,4).

(1)求周长最小的圆的标准方程;

(2)求圆心在直线2x-y-4=0上的圆的标准方程.

11.求以A(2,2),B(5,3),C(3,-1)为顶点的三角形的外接圆的标准方程.

题组三　点与圆的位置关系

12.若圆C的圆心坐标为(0,0),且圆C经过点M(3,4),则圆C的半径为(　　)

A.5 B.6 C.7 D.8

13.点(sin 30°,cos 30°)与圆x2+y2=的位置关系是(　　)

A.点在圆上 B.点在圆内

C.点在圆外 D.不能确定

14.已知点P(a,a+1)在圆x2+y2=25内部,那么a的取值范围是(　　)

A.-4<a<3 B.-5<a<4

C.-5<a<5 D.-6<a<4

15.已知圆C的圆心为C(-3,-4)且过原点O,求圆C的标准方程,并判断点M1(-1,0),M2(1,-1),M3(3,-4)与圆C的位置关系.

能力提升练

题组一　圆的标准方程的求法

1.(2020北京高考适应性测试,)圆心为(2,1)且和x轴相切的圆的标准方程为(　　)　　　　　 　　　　　 　　　　　

A.(x-2)2+(y-1)2=1 B.(x+2)2+(y+1)2=1

C.(x-2)2+(y-1)2=5 D.(x+2)2+(y+1)2=5

2.(2019广东深圳中学高二上期中,)过点A(-1,3),B(3,-1),且圆心在直线x-2y-1=0上的圆的标准方程为(　　)

A.(x+1)2+(y+1)2=4 B.(x+1)2+(y+1)2=16

C.(x-1)2+y2=13 D.(x-1)2+y2=5

3.(2020辽宁大连高二上期中,)若圆C与圆C'(x+2)2+(y-1)2=1关于原点对称,则圆C的标准方程为(深度解析)

A.(x+1)2+(y-2)2=1 B.(x-2)2+(y-1)2=1

C.(x-1)2+(y+2)2=1 D.(x-2)2+(y+1)2=1

4.()圆C1:(x-1)2+(y-2)2=1关于直线x-y-2=0对称的圆C2的标准方程为(　　)

A.(x-4)2+(y+1)2=1 B.(x+4)2+(y+1)2=1

C.(x+2)2+(y+4)2=1 D.(x-2)2+(y+1)2=1

5.()已知圆C的半径为2,圆心在x轴的正半轴上,且到直线3x+4y+4=0的距离等于半径长,则圆C的标准方程为　　　　　　　　. 

6.(2019安徽六安一中高一阶段测试,)已知直线l1经过点A(-3,0),B(3,2),直线l2经过点B,且l1⊥l2.

(1)分别求直线l1,l2的方程;

(2)设直线l2与直线y=8x的交点为C,求△ABC的外接圆的标准方程.

题组二　点与圆的位置关系

7.()若实数x,y满足(x+5)2+(y-12)2=142,则x2+y2的最小值为(　　)

A. B. C.2 D.1

8.(多选)()设有一组圆Ck:(x-k)2+(y-k)2=4(k∈R),下列命题正确的是(　　)

A.不论k如何变化,圆心C始终在一条直线上

B.所有圆Ck均不经过点(3,0)

C.经过点(2,2)的圆Ck有且只有一个

D.所有圆的面积均为4π

9.(2020四川成都石室中学高二上期中,)已知实数x,y满足x2+y2=1,则x+y的取值范围是(　　)

A.(-2,2) B.(-∞,2]

C.[-2,2] D.(-2,+∞)

10.()已知三点A(3,2),B(5,-3),C(-1,3),以点P(2,-1)为圆心作一个圆,使A,B,C三点中一点在圆外,一点在圆上,一点在圆内,求这个圆的方程.

11.(2019广东汕头一模,)设A(xA,yA),B(xB,yB)为平面直角坐标系内的两点,其中xA,yA,xB,yB∈Z.令Δx=xB-xA,Δy=yB-yA,若|Δx|+|Δy|=3,且|Δx|·|Δy|≠0,则称点B为点A的“相关点”,记作B=τ(A).

(1)求点(0,0)的“相关点”的个数;

(2)点(0,0)的所有“相关点”是否在同一个圆上?若在,写出圆的方程;若不在,请说明理由.

答案全解全析

基础过关练

1.D　由圆的标准方程可得圆心坐标为(2,-3),半径为.

2.C　由(x-a)2+(y-b)2=0,解得因此它只表示一个点(a,b).故选C.

3.C　圆(x+1)2+(y-2)2=4的圆心坐标为(-1,2),因为直线l的斜率k=1,所以由点斜式得直线l的方程是y-2=x+1,化简得x-y+3=0,故选C.

4.D　∵所求圆的圆心为(3,1),半径为5,

∴所求圆的标准方程为(x-3)2+(y-1)2=25.故选D.

5.D　根据题意得x≥0,方程两边同时平方并整理得x2+y2=1,由此确定图形为半圆,故选D.

6.A　设圆的圆心为C(0,b),

则=1,∴b=2,

∴圆的标准方程是x2+(y-2)2=1.

7.C　已知圆C的一条直径的端点坐标分别是(4,1),(-2,3),

故利用中点坐标公式求得圆心为(1,2),利用两点间距离公式得半径为×==,

故圆的标准方程为(x-1)2+(y-2)2=10,故选C.

8.A　易知直径两端点的坐标分别为(4,0),(0,-6),可得圆的半径为,因为圆心坐标为(2,-3),所以所求圆的标准方程是(x-2)2+(y+3)2=13.

9.答案　(x-2)2+(y-4)2=20

解析　由可得即圆心为(2,4),又圆过原点,所以圆的半径r==2,故圆的标准方程为(x-2)2+(y-4)2=20.

10.解析　(1)当线段AB为圆的直径时,过点A,B的圆的半径最小,从而周长最小,

即所求圆以线段AB的中点(0,1)为圆心,|AB|=为半径.故所求圆的标准方程为x2+(y-1)2=10.

(2)解法一:直线AB的斜率k==-3,则线段AB的垂直平分线的方程是y-1=x,即x-3y+3=0.

由解得即圆心的坐标是(3,2).所以圆的半径r==2.

所以所求圆的标准方程是(x-3)2+(y-2)2=20.

解法二:设圆心坐标为(a,b),半径为R(R>0),则圆的标准方程为(x-a)2+(y-b)2=R2,由题意得

解得所以所求圆的标准方程是(x-3)2+(y-2)2=20.

11.解析　设所求圆的圆心为(a,b),标准方程为(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0),

则有

解得所以△ABC的外接圆的标准方程为(x-4)2+(y-1)2=5.

12.A　圆C的半径为=5.

13.C　因为sin230°+cos230°=+=1>,所以点在圆外.

14.A　由题意得a2+(a+1)2<25,即2a2+2a-24<0,解得-4<a<3.

15.解析　因为圆C过原点O,圆心为C(-3,-4),所以圆C的半径r=|OC|==5,因此圆C的标准方程为(x+3)2+(y+4)2=25.因为(-1+3)2+(0+4)2=20<25,所以点M1(-1,0)在圆C内;因为(1+3)2+(-1+4)2=25,所以点M2(1,-1)在圆C上;因为(3+3)2+(-4+4)2=36>25,所以点M3(3,-4)在圆C外.

能力提升练

1.A　由题意可知,圆心坐标为(2,1),半径为1,所以圆的标准方程为(x-2)2+(y-1)2=1.

2.B　直线AB的斜率为=-1,线段AB的中点坐标为(1,1),

所以线段AB的垂直平分线为y=x,

解方程组得因此圆心坐标为(-1,-1),

半径r==4,

所以圆的标准方程为(x+1)2+(y+1)2=16,故选B.

3.D　已知圆C与圆C'关于原点对称,则两圆的圆心关于原点对称,半径相等,因此,圆C的圆心为(2,-1),半径为1,从而圆C的标准方程为(x-2)2+(y+1)2=1,故选D.

解题模板　与圆有关的对称问题,利用对称前后两圆全等,知两圆的半径相等,因此只要利用对称关系求出圆心坐标,就可得到圆的标准方程.

4.A　由题意得,圆C1的圆心坐标为(1,2),设圆心C1(1,2)关于直线x-y-2=0的对称点为C2(a,b),则解得所以圆C2的标准方程为(x-4)2+(y+1)2=1.

5.答案　(x-2)2+y2=4

解析　设圆心坐标为(a,0),且a>0,则点(a,0)到直线3x+4y+4=0的距离为2,即=2,所以3a+4=±10,解得a=2或a=-(舍去),则圆C的标准方程为(x-2)2+y2=4.

6.解析　(1)因为直线l1经过点A(-3,0),B(3,2),所以=,

所以l1的方程为x-3y+3=0.

因为l1⊥l2,所以设直线l2的方程为3x+y+c=0.因为点B(3,2)在直线l2上,所以c=-11.所以直线l2的方程为3x+y-11=0.

(2)由得即C(1,8),所以|AC|=4,|BC|=2,又|AB|=2,所以|AB|2+|BC|2=|AC|2,所以△ABC是以AC为斜边的直角三角形.又AC的中点为(-1,4),

所以Rt△ABC的外接圆的圆心为(-1,4),半径为2.所以△ABC的外接圆的标准方程为(x+1)2+(y-4)2=20.

7.D　(x+5)2+(y-12)2=142表示以(-5,12)为圆心,14为半径的圆,x2+y2表示圆上的动点到原点距离的平方.根据其几何意义,可知x2+y2的最小值为14-=1.

8.ABD　圆心坐标为(k,k),在直线y=x上,A正确;令(3-k)2+(0-k)2=4,化简得2k2-6k+5=0,∵Δ=36-40=-4<0,∴2k2-6k+5=0,无实数根,∴B正确;由(2-k)2+(2-k)2=4,化简得k2-4k+2=0,∵Δ=16-8=8>0,有两不等实根,∴经过点(2,2)的圆Ck有两个,C错误;由圆的半径为2,得圆的面积为4π,D正确.故选ABD.

9.C　设x=sin α,y=cos α,则x+y=sin α+cos α=2sin,所以x+y的取值范围是[-2,2].故选C.

10.解析　要使A,B,C三点中一点在圆外,一点在圆上,一点在圆内,则圆的半径是|PA|,|PB|,|PC|的中间值.

因为|PA|=,|PB|=,|PC|=5,

所以|PA|<|PB|<|PC|,

所以圆的半径r=|PB|=.

故所求圆的方程为(x-2)2+(y+1)2=13.

11.解析　(1)因为|Δx|+|Δy|=3(Δx,Δy为非零整数),所以|Δx|=1,|Δy|=2或|Δx|=2,|Δy|=1,

所以点(0,0)的“相关点”有8个.

(2)设点(0,0)的“相关点”的坐标为(x1,y1),由(1)知|Δx|2+|Δy|2=5,即(x1-0)2+(y1-0)2=5,所以所有“相关点”都在以(0,0)为圆心,为半径的圆上,所求圆的方程为x2+y2=5.