2020-2021学年第二章 直线和圆的方程本章综合与测试一课一练

专题强化练5　圆的方程及其应用

一、选择题

1.(2020江西南昌二中高二上期中,)在平面直角坐标系Oxy中,已知点A(4,3),点B是圆(x+1)2+y2=4上的动点,则线段AB的中点M的轨迹方程是(　　)

A.+=1 B.+=4

C.(x-3)2+(y-3)2=1 D.(x-3)2+(y-3)2=2

2.()设P是圆(x-3)2+(y+1)2=1上的动点,则点P到直线y=x的距离的最大值为(　　)

A.2+1 B.+1

C.+1 D.2-1

3.(2020四川眉山高二上期末教学质量检测,)过直线l:2x+y+4=0与圆C:x2+y2+2x-4y+1=0的交点,且面积最小的圆的方程为(　　)

A.+=

B.+=

C.+=

D.+=

4.(2020安庆五校联盟高二上期中,)平面直角坐标系中,设A(-0.98,0.56),B(1.02,2.56),点M在单位圆上,则使得△MAB为直角三角形的点M的个数是(　　)

A.1 B.2 C.3 D.4

5.()若直线y=x+b与曲线y=3-有公共点,则b的取值范围是(　　)

A.[1-,1+] B.[1-,3] 

C.[1-2,3] D.[-1,1+]

6.()点M(x,y)在曲线C:x2-4x+y2-21=0上运动,t=x2+y2+12x-12y-150-a,且t的最大值为b,若a,b是正实数,则+的最小值为(　　)

A.1 B.2

C.3 D.4

二、填空题

7.()圆C1:x2+y2+2x+2y=0和圆C2:x2+y2-6x+2y+6=0的公切线的条数为　　　　. 

8.(2020广东佛山一中高二上期中,)已知直线l:mx+y+3m-=0与圆x2+y2=12交于A,B两点,过A,B分别作l的垂线与x轴交于C,D两点,若|AB|=2,则m=　　　　,|CD|=　　　　. 

9.()定义:点M(x0,y0)到直线l:ax+by+c=0(a2+b2≠0)的有向距离为.已知点A(-2,0),B(2,0),直线m过点P(4,0),若圆x2+(y-6)2=36上存在一点C,使得A,B,C三点到直线m的有向距离之和为0,则直线m的斜率的取值范围是　　　　. 

三、解答题

10.()已知圆M过C(1,-1),D(-1,1)两点,且圆心M在x+y-2=0上.

(1)求圆M的方程;

(2)设点P是直线3x+4y+8=0上的动点,PA,PB是圆M的两条切线,A,B为切点,求四边形PAMB的面积的最小值.

11.(2020浙江温州十五校联合体高二上期中联考,)已知圆C:x2+y2+2x-4y+m=0与y轴相切,O为坐标原点,动点P在圆外,过P作圆C的切线,切点为M.

(1)求圆C的圆心坐标及半径;

(2)若点P运动到(-2,4)处,求此时切线l的方程;

(3)求满足条件|PM|=2|PO|的点P的轨迹方程.

答案全解全析

一、选择题

1.A　设B(m,n),M(x,y),则根据中点坐标公式得由点B在圆(x+1)2+y2=4上,将点B(2x-4,2y-3)代入圆的方程,得(2x-3)2+(2y-3)2=4,即+=1,故选A.

2.A　依题意可知,圆(x-3)2+(y+1)2=1的圆心为(3,-1),半径为1,且圆心到直线y=x的距离为=2,故点P到直线y=x的距离的最大值是2+1.故选A.

3.B　由题知,圆C:x2+y2+2x-4y+1=0的圆心为C(-1,2),半径r=2.设直线l与圆C的交点为A、B,如图,过C作CD⊥AB,则经过A、B两点面积最小的圆是以AB为直径的圆.

由直线l的方程为2x+y+4=0,CD⊥AB可得,kCD=,所以CD所在直线的方程为y-2=(x+1),联立得即D.

又圆心C到直线l的距离d==,

所以|BD|===,

所以以AB为直径的圆的方程为+=.故选B.

4.B　若∠AMB为直角,则M在以AB为直径的圆上,其方程为(x-0.02)2+(y-1.56)2=8,

因为圆心距d=<2-1,

所以两圆内含,没有交点,

所以以∠AMB为直角的直角三角形不存在.

若∠ABM为直角,则过点B与直线AB垂直的直线显然与单位圆相离,所以以∠ABM为直角的直角三角形不存在.

若∠BAM为直角,则过点A与直线AB垂直的直线l:y-0.56=-(x+0.98)⇒x+y+0.42=0,

圆心(0,0)到直线x+y+0.42=0的距离d'=<1,所以直线l与单位圆相交,故满足题意的点有两个,故选B.

5.C　如图所示,

曲线y=3-,即(x-2)2+(y-3)2=4(1≤y≤3,0≤x≤4),

表示以A(2,3)为圆心,2为半径的一个下半圆,

当直线与圆相切时,圆心到直线y=x+b的距离等于半径2,

即=2,解得b=1+2或b=1-2,

结合图形为下半圆可知,直线y=x+b经过点(0,3)时,b取到最大值3,所以b的取值范围是1-2≤b≤3,故选C.

6.A　曲线C:x2-4x+y2-21=0可化为(x-2)2+y2=25,表示圆心为C(2,0),半径为5的圆.

t=x2+y2+12x-12y-150-a=(x+6)2+(y-6)2-222-a,设d=,则t=d2-222-a.

d可以看作是点M(x,y)到点N(-6,6)的距离|MN|,如图所示,圆C上一点M到N的距离的最大值为|CN|+5,即MN所在直线经过点C时,dmax=|MN|max=|CN|+5,此时t取得最大值b.

∵|CN|==10,∴dmax=10+5=15,∴tmax=152-222-a=3-a,即b=3-a,

∴a+b=3,∴(a+1)+b=4,

∴+=[(a+1)+b]=≥1,

当且仅当=,且a+b=3,即a=1,b=2时,等号成立.故选A.

二、填空题

7.答案　4

解析　根据题意,圆C1:x2+y2+2x+2y=0的标准方程为(x+1)2+(y+1)2=2,其圆心坐标为C1(-1,-1),半径R=,圆C2:x2+y2-6x+2y+6=0的标准方程为(x-3)2+(y+1)2=4,其圆心坐标为C2(3,-1),半径r=2,两圆的圆心距|C1C2|=3-(-1)=4>2+,即两圆外离,则公切线有4条,故答案为4.

8.答案　-;4

解析　设圆心到直线的距离为d,则+d2=r2⇒3+d2=12⇒d=3,

∴=3,化简得m+1=0,解得m=-.

可得直线l的方程为y=x+2,其倾斜角为30°.如图所示,作CE⊥BD于E,则CE∥AB,∴∠ECD=30°,又知在Rt△CDE中,CE=2,∴|CD|===4.

9.答案　

解析　易知直线m的斜率存在,设直线m的方程为y=k(x-4),即kx-y-4k=0,设C(x,y),则A,B,C三点到直线m的有向距离之和为++=0,化简得kx-y-12k=0.又点C在圆x2+(y-6)2=36上,所以直线kx-y-12k=0与圆x2+(y-6)2=36有交点,所以≤6,

解得-≤k≤0.

三、解答题

10.解析　(1) 设圆心M(a,b),圆M的方程为(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0),

根据题意得

解得

故所求圆M的方程为(x-1)2+(y-1)2=4.

(2)由题易知,四边形PAMB的面积S=S△PAM+S△PBM=|AM||PA|+|BM|·|PB|.

又|AM|=|BM|=2,|PA|=|PB|,所以S=|AM||PA|+|BM||PB|=2|PA|.

而|PA|==,即S=2.

因此要求S的最小值,只需求|PM|的最小值即可,

即在直线3x+4y+8=0上找一点P,使得|PM|的值最小.因为当|PM|所在直线垂直于直线3x+4y+8=0时,|PM|取得最小值,所以|PM|min==3,

所以四边形PAMB的面积的最小值为S=2=2=2.

11.解析　(1)圆C:x2+y2+2x-4y+m=0化为标准形式为(x+1)2+(y-2)2=5-m,故圆C的圆心坐标为(-1,2).由于圆C与y轴相切,所以=1,得m=4,所以圆C的半径为1.

(2)当过点P(-2,4)的直线斜率不存在时,此时直线l的方程为x=-2,圆C的圆心(-1,2)到直线x=-2的距离为1,所以直线l:x=-2为圆C的切线.

当过点P(-2,4)的直线斜率存在时,设直线方程为y=k(x+2)+4,由直线与圆相切得=1,解得k=-.此时切线l的方程为y=-x+,

综上,满足条件的切线l的方程为x=-2或y=-x+.

(3)设P(x,y),则|PM|2=|PC|2-|MC|2=(x+1)2+(y-2)2-1,|PO|2=x2+y2,

由于|PM|=2|PO|,所以(x+1)2+(y-2)2-1=4(x2+y2),

整理得+=,

所以点P的轨迹是以为圆心,为半径的圆.