高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第一册第三章 圆锥曲线的方程本章综合与测试达标测试

专题强化练7　双曲线的综合运用

一、选择题

1.()已知双曲线E:-=1(b>0)的左顶点为A,右焦点为F.若B为双曲线E的虚轴的一个端点,且·=0,则F的坐标为(　　)

A.(-1,0) B.(+1,0)

C.(+1,0) D.(4,0)

2.()已知双曲线-=1(a>0,b>0)的左焦点为F,离心率为,若经过F和P(0,4)两点的直线平行于双曲线的一条渐近线,则双曲线的方程为(　　)

A.-=1 B.-=1

C.-=1 D.-=1

3.(2020吉林长春实验中学高二上期中,)如图所示,双曲线-=1(a>0,b>0)的左,右焦点分别是F1,F2,过F1作倾斜角为30°的直线交双曲线右支于点M,连接MF2,若MF2垂直于x轴,则双曲线的离心率为(深度解析)

A. B. C. D.

4.()已知定点F1(-2,0),F2(2,0),N是圆O:x2+y2=1上任意一点,点F1关于点N的对称点为M,线段F1M的中垂线与直线F2M相交于点P,则点P的轨迹方程是(　　)

A.x2+=1 B.x2-=1

C.+y2=1 D.-y2=1

5.(多选)()已知F1、F2分别为双曲线-=1(a>0,b>0且a≠b)的左、右焦点,P为双曲线右支上异于顶点的任意一点,O为坐标原点.下面四个命题正确的是(　　)

A.△PF1F2的内切圆的圆心必在直线x=a上

B.△PF1F2的内切圆的圆心必在直线x=b上

C.△PF1F2的内切圆的圆心必在直线OP上

D.△PF1F2的内切圆必经过点(a,0)

二、填空题

6.(2018天津和平期末,)已知椭圆+=1与双曲线-y2=1的公共焦点为F1,F2,点P是两条曲线的一个公共点,则cos∠F1PF2的值为　　　　. 

7.()设过原点的直线与双曲线C:-=1(a>0,b>0)交于P,Q两个不同的点,F为C的一个焦点,若tan∠PFQ=,|QF|=5|PF|,则双曲线C的离心率为　　　　. 

三、解答题

8.()已知双曲线E的两个焦点分别为F1(-2,0),F2(2,0),并且E经过点P(2,3).

(1)求双曲线E的方程;

(2)过点M(0,1)的直线l与双曲线E有且仅有一个公共点,求直线l的方程.

易错

9.()已知双曲线-=1(a>0,b>0)的实轴长为4,焦点到渐近线的距离为.

(1)求双曲线的方程;

(2)已知直线y=x-2与双曲线的右支交于M,N两点,且在双曲线的右支上存在点D,使+=t,求t的值及点D的坐标.

答案全解全析

一、选择题

1.C　依题意得,A(-2,0),F(c,0),其中c2=4+b2,设B(0,b),则=(2,b),=(c,-b),

∴·=2c-b2=0,因此,c2-2c-4=0,

解得c=1+或c=1-(舍去).

∴F(+1,0),故选C.

2.B　设双曲线的左焦点F(-c,0),由离心率e==,得c=a,

则双曲线为等轴双曲线,即a=b,

∴双曲线的渐近线方程为y=±x=±x,

经过F(-c,0)和P(0,4)两点的直线的斜率k==,

则=1,解得c=4,则a=b=2,

∴双曲线的标准方程为-=1.故选B.

3.B　解法一:在Rt△F1F2M中,|F1F2|=2c,∠MF1F2=30°,

∴|MF1|==c,|MF2|=c.

因此,2a=|MF1|-|MF2|=c,

∴e==,故选B.

解法二:依题意得M,

∴tan 30°====.

因此,2ac=b2=c2-a2,

∴e2-2e-=0,解得e=或e=-(舍去).故选B.

解题模板　解决双曲线的几何性质问题,可用代数法,也可用几何法.综合运用几何性质解题可简化运算,平时要多加积累.

4.B　如图,当点P在y轴左侧时,连接ON,PF1,则|ON|=|F2M|=1,所以|F2M|=2.结合PN为线段MF1的垂直平分线,可得|PF1|=|PM|=|PF2|-|F2M|=|PF2|-2,所以|PF2|-|PF1|=2<|F1F2|=4.同理,当点P在y轴右侧时,|PF1|-|PF2|=2<|F1F2|=4.故点P的轨迹是双曲线,其方程为x2-=1.

5.AD　设△PF1F2的内切圆分别与PF1、PF2切于点A、B,与F1F2切于点M,则|PA|=|PB|,|F1A|=|F1M|,|F2B|=|F2M|.

又点P在双曲线的右支上,所以|PF1|-|PF2|=2a,

故|F1M|-|F2M|=2a,而|F1M|+|F2M|=2c,

设点M的坐标为(x,0),可得(x+c)-(c-x)=2a,解得x=a,

显然内切圆的圆心与点M的连线垂直于x轴,故AD正确,B错误.

因为OP是△PF1F2的边F1F2上的中线,所以△PF1F2的内切圆的圆心不一定在中线OP上,故选AD.

二、填空题

6.答案　

解析　设F1,F2分别为左,右焦点,点P在第一象限,由椭圆与双曲线的定义可得

解得

又|F1F2|=4,所以cos∠F1PF2==.

7.答案　

解析　如图,连接QF2,PF2.由对称性知四边形PFQF2是平行四边形(F2是另一个焦点).

设|PF|=m,则|QF|=5m,

∵tan∠PFQ=,∴cos∠PFQ=,

cos∠FQF2=-,

∴|FF2|2=m2+(5m)2-2×m×5m×,

即4c2=32m2,∴m=c.

因此,|QF|=c,|QF2|=|PF|=c,

∴2a=|QF|-|QF2|=c,∴e==.

三、解答题

8.解析　解法一:(1)由已知可设双曲线E的方程为-=1(a>0,b>0),

则解得

所以双曲线E的方程为x2-=1.

(2)当直线l的斜率不存在时,显然不合题意,

所以可设直线l的方程为y=kx+1,

联立

得(3-k2)x2-2kx-4=0(*),

①当3-k2=0,即k=或k=-时,方程(*)只有一解,直线l与双曲线E有且仅有一个公共点,

此时,直线l的方程为y=±x+1;

②当3-k2≠0,即k≠±时,要使直线l与双曲线E有且仅有一个公共点,

则Δ=(-2k)2-4(3-k2)(-4)=0,解得k=±2,此时,直线l的方程为y=±2x+1.

综上所述,直线l的方程为y=±x+1或y=±2x+1.

解法二:(1)由已知可设双曲线E的方程为-=1(a>0,b>0),

根据双曲线定义得|PF1|-|PF2|=2a,

即-=2a,

所以a=1,

因为c=2,所以b2=c2-a2=3,

所以双曲线E的方程为x2-=1.

(2)同解法一.

易错警示　直线与双曲线有且只有一个公共点,有两种情况,一是切线,二是平行于渐近线,解题时防止遗漏导致解题错误.

9.解析　(1)由题意知a=2,

所以一条渐近线为y=x,即bx-2y=0,所以=,所以b2=3.

所以双曲线的方程为-=1.

(2)设M(x1,y1),N(x2,y2),D(x0,y0),

则x1+x2=tx0,y1+y2=ty0.

将直线方程代入双曲线方程,得x2-16x+84=0,则x1+x2=16,y1+y2=12.

所以所以

由+=t,得(16,12)=(4t,3t),

所以t=4,点D的坐标为(4,3).