人教A版 (2019)必修 第二册8.3 简单几何体的表面积与体积教课ppt课件

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祖暅原理祖暅是祖冲之的儿子,是一位博学多才的数学家.唐代王孝通称他为祖暅,阮元《畴人传》中称他为祖暅之,另字景铄.他继承家学,主要工作是修补编辑他父亲的著述《缀述》,虽然他曾历官员外郎、散骑常侍.祖暅在数学上的主要成就,就是推算球的体积公式.在方法上根据他父亲提出的原理:“缘幂势既同,则积不容异”.其中幂指截面积,势指高,这一原理也可叙述为:“两个等高的立体,若平行于底的截面积相等,则体积相等”.这个原理,西方叫卡瓦列里原理,由卡氏于公元1635年在《连续不可分量几何》里提出,但这比祖冲之父子晚1 100多年.因而我们将此原理称为“祖氏原理”或“祖暅原理”更为恰当.
知识点一、圆柱、圆锥、圆台的表面积
微思考 圆柱、圆锥、圆台三者的表面积公式之间有什么关系?提示:如图所示.
微练习(1)圆柱OO'的底面直径为4,母线长为6,则该圆柱的侧面积为　　　　　,表面积为　　　　　. (2)如图,圆锥的底面半径为1,高为 ,则圆锥的侧面积为　. (3)圆台的上、下底面半径分别是3和4,母线长为6,则其表面积等于　　　　　. 答案:(1)24π　32π　(2)2π　(3)67π
知识点二、圆柱、圆锥、圆台的体积1.V圆柱=πr2h(r是底面半径,h是高)名师点析 棱柱和圆柱都是柱体,棱锥和圆锥都是锥体,棱台和圆台都是台体,它们的体积公式可统一如下:(1)V柱体=Sh(S为底面积,h为柱体高);
微思考 柱体、锥体、台体的体积公式之间有什么关系?提示:如图.
微练习右图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体,下部是圆柱,其轴截面是边长为4的正方形;上部为圆锥,其高为3,则该几何体的体积为　　　　　. 解析:圆柱的底面半径是2,高为4,圆锥底面半径是2,高为3,则V=π×22×4+ ×π×22×3=20π.答案:20π
知识点三、球的表面积和体积1.S球=4πR2(R是球的半径)2.V球= πR3(R是球的半径)微练习已知球的表面积是16π,则该球的体积为　　　　　. 解析:设球的半径为R,则由题意可知4πR2=16π,解得R=2.
圆柱、圆锥、圆台的表面积例1如图,已知直角梯形ABCD,BC∥AD,∠ABC=90°,AB=5,BC=16,AD=4.求以AB所在直线为轴旋转一周所得几何体的表面积.
反思感悟 解决圆柱、圆锥、圆台的表面积问题,要利用好旋转体的轴截面及侧面展开图,借助于平面几何知识,求得所需几何要素,代入公式求解即可,基本步骤如下:(1)得到空间几何体的平面展开图;(2)依次求出各个平面图形的面积;(3)将各平面图形的面积相加.
延伸探究 在上题题设条件不变的情况下,求以BC所在直线为轴旋转一周所得几何体的表面积.解:以BC所在直线为轴旋转一周所得几何体是圆柱和圆锥的组合体,如图.其中圆锥的高为16-4=12,圆柱的母线长为AD=4,故该几何体的表面积为2π×5×4+π×52+π×5×13=130π.
圆柱、圆锥、圆台的体积例2已知等边三角形的边长为2,将该三角形绕其任一边所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为　　　　　. 分析将边长为2的正三角形绕其任一边所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体是由两个底面半径为 ,高为1的圆锥组成的组合体,利用圆锥的体积公式可得结果.
解析:将边长为2的正三角形绕其任一边所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体为一个组合体,如图,该组合体由两个同底的圆锥组成,两个圆锥的底面半径为 ,高为1,体积为答案:2π
反思感悟 求圆柱、圆锥、圆台的体积问题,一是要牢记公式,然后观察空间图形的构成,是单一的旋转体,还是组合体;二是注意旋转体的构成,以及圆柱、圆锥、圆台轴截面的性质,从而找出公式中需要的各个量,代入公式计算.
变式训练1用半径为4的半圆形铁皮卷成一个圆锥的侧面,则此圆锥的体积为　　　　　. 
球的表面积和体积例3△ABC的三个顶点在球O的表面上,且AB=4 ,AC=2,BC=6.球心O与BC中点的连线长为4.求球的表面积与体积.分析由三边长知△ABC是直角三角形,斜边中点为△ABC外接圆圆心,则可求球的半径,从而求出球的表面积与体积.解:因为AB=4 ,AC=2,BC=6,所以AB2+AC2=BC2,即△ABC为直角三角形.所以平面ABC截球所得截面是以BC为直径的圆.由已知球心O与截面圆心的距离为4,
反思感悟 因为球的表面积与体积都是球半径的函数,所以在解答这类问题时,设法求出球的半径是解题的关键.
变式训练2若两球的表面积之差为48π,它们的半径之和为6,则两球的体积之差的绝对值为　　　　　. 
与球有关的组合体例4各棱长均为 的四面体内有一内切球,求该球的体积.分析等体积法→内切球的半径→球的体积
反思感悟 与球有关的组合体一般有两类,一类是与球内接的组合体,在此类组合体中,球心与多面体顶点的连线是半径;另一类是与球外切的组合体,在这一类组合体中,球心与各切点的连线是半径.在解答与球有关的组合体问题时,要注意这些半径的应用.
延伸探究 求本例所给四面体外接球的表面积.
转化与化归思想在球的接、切问题中的应用典例在半球内有一个内接正方体,试求这个半球的体积与正方体的体积之比.分析过正方体的对角面作一截面,在这个截面中用正方体的棱长、球半径的关系求解;或将球补为一个整球,利用球内接长方体求解.
(方法二)将半球补成整个的球,同时把原半球的内接正方体再补接一个同样的正方体,构成的长方体刚好是这个球的内接长方体,则这个长方体的对角线便是它的外接球的直径.设原正方体棱长为a,球的半径为R,则根据长方体的对角线性质,得
方法点睛 球的轴截面(过球心的截面)是将球的问题(立体几何问题)转化为平面问题(圆的问题)的关键,因此在解决球的有关问题时,我们必须抓住球的轴截面,并充分利用它来分析解决问题.
1.直径为6的球的表面积和体积分别是(　　)A.36π,144πB.36π,36πC.144π,36πD.144π,144π解析:球的半径为3,表面积S=4π·32=36π,体积V= π·33=36π.答案:B
2.(2020北京海淀检测)已知圆锥的顶点为S,母线SA,SB互相垂直,SA与圆锥底面所成角为30°.若△SAB的面积为8,则该圆锥的体积为(　　)A.8πB.16πC.24πD.32π答案:A
3.圆台上底面半径为2,下底面半径为6,母线长为5,则圆台的体积为(　　)A.40π B.52π解析:作出圆台的轴截面如图所示:上底面半径MD=2,下底面半径NC=6,过D做DE垂直NC,垂足为E,则EC=6-2=4,CD=5,故DE=3.即圆台的高为3,所以圆台的体积为答案:B
4.(2018全国Ⅰ卷,文5)已知圆柱的上、下底面的中心分别为O1,O2,过直线O1O2的平面截该圆柱所得的截面是面积为8的正方形,则该圆柱的表面积为(　　)解析:过直线O1O2的平面截该圆柱所得的截面为圆柱的轴截面,设底面半径为r,母线长为l,因为轴截面是面积为8的正方形,所以答案:B