数学选择性必修 第二册第四章 数列本章综合与测试免费一课一练

专题强化练1　等差数列的综合运用

一、选择题

1.(2020安徽阜阳高二上期末,)已知等差数列{an}的前15项和为45,若a3=-10,则a13=(　　)

A.16 B.55 C.-16 D.35

2.(2020山东济宁高二上期末,)朱世杰是历史上最伟大的数学家之一,他所著的《四元玉鉴》卷中“如像招数”五问中有如下问题:“今有官司差夫一千八百六十四人筑堤,只云初日差六十四人,次日转多七人,每人日支米三升.”其大意为“官府陆续派遣1 864人前往修筑堤坝,第一天派出64人,从第二天开始每天派出的人数比前一天多7人,修筑堤坝的每人每天分发大米3升.”在该问题中前5天共分发多少升大米?(　　)

A.1 170 B.1 440 C.1 512 D.1 772

3.(2020山东临沂高二上期末,)已知Sn为等差数列{an}的前n项和,且+4a4=30,则3a5-a7=(　　)

A.6 B.12 C.24 D.48

4.(2019辽宁沈阳东北育才学校高二期中,)在等差数列{an}中,已知a5+a6=4,则log2(··…·)=(　　)

A.10 B.20

C.40 D.2+log25

5.(2020北京石景山高三上期末,)在等差数列{an}中,设k,l,p,r∈N*,则“k+l>p+r”是“ak+al>ap+ar”的(　　)

A.充分不必要条件

B.必要不充分条件

C.充要条件

D.既不充分也不必要条件

6.(多选)(2020山东潍坊高二上期末,)设数列{an}是等差数列,公差为d,Sn是其前n项和,a1>0且S6=S9,则(　　)

A.d>0 B.a8=0

C.S7或S8为Sn的最大值 D.S5>S6

二、填空题

7.(2019陕西西安一中高二上月考,)在等差数列{an}中,若a3+a5+a7+a9+a11=100,则3a9-a13的值为　　　　. 

8.(2020辽宁沈阳高三上教学质量检测,)已知等差数列{an}的前n项和为Sn,且a1+a3=10,S4=72.数列{bn}中,b1=2,bnbn+1=-2,则a1b2 000=　　　　. 

9.(2020河南濮阳高二上期末,)若数列{an}满足a1=0,a2=1,a3=3,且{an+1-an}为等差数列,则an=　　　　. 

10.(2020辽宁辽阳高三上期末,)在数列{an}中,a1=3,且-=2.

(1){an}的通项公式为　　　　; 

(2)在a1、a2、a3、…、a2 019这2 019项中,被10除余2的项数为　　　　. 

三、解答题

11.(2020广东中山一中高二上第二次统测,)某化工企业在2019年底投入100万元购入一套污水处理设备.该设备每年的运转费用是0.5万元,此外每年都要花费一定的维护费,第一年的维护费为2万元,由于设备老化,以后每年的维护费都比上一年增加2万元.

(1)求该企业使用该设备x年的年平均污水处理费用y(万元);

(2)问:为使该企业的年平均污水处理费用最低,该企业几年后需要更换新的污水处理设备?

12.(2020山东高考第一次模拟,)已知Sn为数列{an}的前n项和,an>0,+2an=4Sn+3,且anbn=1.

(1)求数列{bn}的通项公式;

(2)求满足b1b2+b2b3+…+bnbn+1<的n的最大值.

答案全解全析

一、选择题

1.A　依题意得,=45,

∴a1+a15=6,∴a3+a13=a1+a15=6,

又a3=-10,∴a13=16.故选A.

2.A　由题意得,每天分发的大米升数构成等差数列{an},设公差为d,则d=7×3=21,记第一天共分发大米为a1=64×3=192(升),

则前5天共分发大米5a1+×d=5a1+10d=5×192+10×21=1 170(升).

故选A.

3.B　设等差数列{an}的首项为a1,公差为d,

由+4a4=30,得×+4a4=30,又a1+a7=2a4,

所以5a4=30,即a4=6.

所以3a5-a7=3(a1+4d)-(a1+6d)=2a1+6d=2(a1+3d)=2a4=12,故选B.

4.B　因为··…·

===25×4,

所以log2(··…·)=log225×4=20.故选B.

5.D　若等差数列{an}为a1=5,a2=4,a3=3,a4=2,a5=1,……

则当k=1,l=5,p=2,r=3时,k+l>p+r成立,但ak+al>ap+ar不成立,所以充分性不成立;

当k=1,l=2,p=3,r=4时,ak+al>ap+ar成立,但k+l>p+r不成立,所以必要性不成立.

综上可知,“k+l>p+r”是“ak+al>ap+ar”的既不充分也不必要条件,故选D.

6.BC　由S6=S9得,S9-S6=0,即a7+a8+a9=0,又a7+a9=2a8,∴3a8=0,∴a8=0,∴B正确;

由a8=a1+7d=0,得d=-,又a1>0,∴d<0,∴数列{an}是单调递减的等差数列,

∴∴S7或S8为Sn的最大值,∴A错误,C正确;

∵S6-S5=a6>0,∴S6>S5,∴D错误.

故选BC.

二、填空题

7.答案　40

解析　根据等差数列的性质,知a3+a5+a7+a9+a11=(a3+a11)+(a5+a9)+a7=5a7=100,即a7=20,故3a9-a13=a5+a13+a9-a13=a5+a9=2a7=40.

8.答案　21

解析　设{an}的公差为d,

∵S4==2(a1+a4)=72,

∴a1+a4=36,

又a1+a3=10,

∴a4-a3=d=26,

又a1+a3=2a1+2d=10,

∴a1=-21.

∵bnbn+1=-2,

∴bn≠0,

∴bn+1=-,

∴bn+2=-=-=bn,

∴{bn}是以2为周期的周期数列,

∴b2 000=b2=-=-1,∴a1b2 000=21.

9.答案　

解析　设等差数列{an+1-an}的公差为d,由题意得,a2-a1=1,a3-a2=2,∴公差d=2-1=1,

∴an-an-1=1+(n-2)×1=n-1(n≥2,n∈N*),

∴an=a1+(a2-a1)+(a3-a2)+…+(an-an-1)=0+1+2+3+…+(n-1)==,n≥2,n∈N*.经检验,此式对a1也适用,∴an=(n∈N*).

10.答案　(1)an=2n2-n+2　(2)403

解析　(1)∵-=2,且=1,

∴数列是以1为首项,2为公差的等差数列,

∴=1+2(n-1)=2n-1,

∴an=2n2-n+2.

(2)被10除且余数为2的整数可表示为10k+2(k∈Z),

令an=2n2-n+2=10k+2,可得10k=n(2n-1),

∵n∈N*,且1≤n≤2 019,2n-1为奇数,

∴n为10的倍数或2n-1为5的奇数倍且n为偶数.

当n为10的倍数时,n的取值有10、20、30、…、2 010,共201个;

当2n-1为5的奇数倍且n为偶数时,n的取值有8、18、28、…、2 018,共202个.

综上所述,在a1、a2、a3、…、a2 019这2 019项中,被10除余2的项数为201+202=403.

三、解答题

11.解析　(1)依题意得,该企业使用该设备x年的维护费为(2+4+6+…+2x)万元,

则总费用为[100+0.5x+(2+4+6+…+2x)]万元,

因此y=

=x++1.5(x∈N*).

(2)由(1)及x∈N*可得,y=x++1.5≥2+1.5=21.5,

当且仅当x=,即x=10时等号成立.即当x=10时,y取得最小值.

∴该企业10年后需要更换新的污水处理设备.

12.解析　(1)由+2an=4Sn+3①得,当n=1时,+2a1=4S1+3,又S1=a1,∴-2a1-3=0,解得a1=3或a1=-1.∵an>0,∴a1=3.

当n≥2时,+2an-1=4Sn-1+3②,

①-②整理得an-an-1=2(n≥2,n∈N*),∴数列{an}是首项为3,公差为2的等差数列,

∴an=3+(n-1)×2=2n+1,∴bn=.

(2)设cn=bnbn+1=

=,

所以b1b2+b2b3+…+bnbn+1

=

=,

令-<0,解得n<9,n∈N*,所以n的最大值为8.