高中人教A版 (2019)5.1 导数的概念及其意义课后测评

第五章　一元函数的导数及其应用

5.1　导数的概念及其意义

5.1.1　变化率问题

基础过关练

题组一　平均速度与瞬时速度

1.某质点的运动规律为s=t2+3,则在时间(3,3+Δt)内,质点的位移增量等于(　　)

A.6Δt+(Δt)2 B.6+Δt+

C.3Δt+(Δt)2 D.9+Δt

2.一质点的运动方程是s=5-3t2,则在时间[1,1+Δt]内相应的平均速度为(　　)

A.3Δt+6 B.-3Δt+6

C.3Δt-6 D.-3Δt-6

3.某物体的运动方程为s(t)=3t2(位移单位:m,时间单位:s),若v==18 m/s,则下列说法中正确的是(　　)

A.18 m/s是物体从开始到3 s这段时间内的平均速度

B.18 m/s是物体从3 s到(3+Δt)s这段时间内的速度

C.18 m/s是物体在3 s这一时刻的瞬时速度

D.18 m/s是物体从3 s到(3+Δt)s这段时间内的平均速度

4.汽车行驶的路程s和时间t之间的函数图象如图,在时间段[t0,t1],[t1,t2],[t2,t3]上的平均速度分别为v1,v2,v3,则三者的大小关系为(　　)

A.v2=v3<v1 B.v1<v2=v3

C.v1<v2<v3 D.v2<v3<v1

5.(2020福建福州八县高二上期末)已知某质点的运动方程为s=2t2-t,其中s的单位是m,t的单位是s,则该质点在2 s末的瞬时速度为(　　)

A.3 m/s B.5 m/s

C.7 m/s D.9 m/s

6.已知某物体的运动方程是s=则该物体在t=1时的瞬时速度为　　　　;在t=4时的瞬时速度为　　　　. 

7.航天飞机升空后一段时间内,第t s时的高度为h(t)=5t3+30t2+45t+4,其中h的单位为m,t的单位为s.

(1)h(0),h(1),h(2)分别表示什么?

(2)求第2 s内的平均速度;

(3)求第2 s末的瞬时速度.

题组二　抛物线的割线、切线的斜率

8.已知函数f(x)=x2图象上四点A(1,f(1))、B(2,f(2))、C(3,f(3))、D(4,f(4)),割线AB、BC、CD的斜率分别为k1,k2,k3,则(　　)

A.k1<k2<k3 B.k2<k1<k3

C.k3<k2<k1 D.k1<k3<k2

9.若抛物线y=x2-x+c上一点P的横坐标是-2,在点P处的切线恰好过坐标原点,则实数c的值为　　　　. 

10.过曲线y=x2+1上两点P(1,2)和Q(1+Δx,2+Δy)作曲线的割线,当Δx=0.1时,割线的斜率为　　　　;当Δx=0.001时,割线的斜率为　　　　. 

11.已知函数f(x)=-x2+x图象上两点A(2,f(2))、B(2+Δx,f(2+Δx))(Δx>0).

(1)若割线AB的斜率不大于-1,求Δx的范围;

(2)求函数f(x)=-x2+x的图象在点A(2,f(2))处切线的方程.

答案全解全析

基础过关练

1.A　位移增量=s(3+Δt)-s(3)=(3+Δt)2+3-(32+3)=6Δt+(Δt)2.故选A.

2.D　=

=-6-3Δt.

3.C　v=是物体在3 s这一时刻的瞬时速度.故选C.

4.C　由题意得,v1=kOA,v2=kAB,v3=kBC,

由题图易知kOA<kAB<kBC,

∴v1<v2<v3,故选C.

5.C　==(7+2Δt)=7,

所以该质点在2 s末的瞬时速度为7 m/s.

故选C.

6.答案　6;6

解析　当t=1时,Δs=3(1+Δt)2+2-3×12-2=3(Δt)2+6Δt,

∴=3Δt+6,∴=6,

即当t=1时的瞬时速度为6.

当t=4时,Δs=29+3(4+Δt-3)2-29-3(4-3)2=3(Δt)2+6Δt,

∴=3Δt+6,∴=6,

即当t=4时的瞬时速度为6.

7.解析　(1)h(0)表示航天飞机发射前的高度;

h(1)表示航天飞机升空后第1 s时的高度;

h(2)表示航天飞机升空后第2 s时的高度.

(2)航天飞机升空后第2 s内的平均速度为==

=170(m/s).

(3)第2 s末的瞬时速度为

=

=

==225(m/s).

因此,第2 s末的瞬时速度为225 m/s.

8.A　k1==4-1=3,k2==9-4=5,k3==16-9=7,

∴k1<k2<k3,故选A.

9.答案　4

解析　抛物线在点P处切线的斜率为k== ==-5,

因为点P的横坐标是-2,

所以点P的纵坐标是6+c,

故直线OP的斜率为-,

根据题意有-=-5,解得c=4.

10.答案　2.1;2.001

解析　∵Δy=(1+Δx)2+1-(12+1)=2Δx+(Δx)2,∴=2+Δx,

∴割线斜率为2+Δx,

当Δx=0.1时,割线PQ的斜率为2+0.1=2.1.

当Δx=0.001时,割线PQ的斜率为2+0.001=2.001.

11.解析　(1)由题意得,割线AB的斜率为=

=

==-3-Δx,

由-3-Δx≤-1,得Δx≥-2,

又因为Δx>0,所以Δx的取值范围是(0,+∞).

(2)由(1)知函数f(x)=-x2+x的图象在点A(2,f(2))处切线的斜率为

k==(-3-Δx)=-3,

又f(2)=-22+2=-2,

所以切线的方程为y-(-2)=-3(x-2),

即3x+y-4=0.