人教A版 (2019)选择性必修 第二册5.3 导数在研究函数中的应用第1课时同步达标检测题

这是一份人教A版 (2019)选择性必修 第二册5.3 导数在研究函数中的应用第1课时同步达标检测题，共33页。试卷主要包含了求下列函数的极值，已知f=ln x+ax,则等内容，欢迎下载使用。
5.3.2　函数的极值与最大(小)值
第1课时　函数的极值
基础过关练
题组一　函数极值的概念及其求解
1.已知函数f(x)的导函数为f'(x),则“f'(x0)=0”是“x=x0是函数f(x)的一个极值点”的 (　　)
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
2.函数f(x)的定义域为R,导函数f'(x)的图象如图所示,则函数f(x)　(　　)

A.无极大值点,有四个极小值点
B.有三个极大值点,两个极小值点
C.有两个极大值点,两个极小值点
D.有四个极大值点,无极小值点
3.(2019天津高二上期末)已知函数f(x)=ln x-12x2,则f(x)(　　)
A.有极小值,无极大值
B.无极小值,有极大值
C.既有极小值,又有极大值
D.既无极小值,又无极大值
4.函数f(x)=x+2cos x在0,π2上的极大值点为(　　)
A.0 B.π6 C.π3 D.π2
5.求下列函数的极值.
(1)f(x)=x3-3x2-9x+5;
(2)f(x)=2xx2+1-2;
(3)f(x)=x2-2ln x.









题组二　含参函数的极值问题
6.(2019海南海口高二上期末)已知f(x)=ln x+ax(a≠0),则(　　)
A.当a0时, f(x)存在极大值f(a)
7.(2020浙江湖州高二上期末)若函数y=ex-2mx有小于零的极值点,则实数m的取值范围是 (　　)
A.m0),
当x>1时, f'(x)0;
当π60时,令f'(x)>0,解得x>a,
令f'(x)0),
所以g'(x)=1x-ax+(1-a)
=-ax2+(1-a)x+1x(x>0),
当a≤0时,因为x>0,所以g'(x)>0.
所以g(x)在(0,+∞)上是单调递增函数,无极值.
当a>0时,g'(x)=-ax-1a(x+1)x,
令g'(x)=0,得x=1a或x=-1(舍去),
所以当x∈0,1a时,g'(x)>0;当x∈1a,+∞时,g'(x)0时,函数g(x)的单调递增区间是0,1a,单调递减区间是1a,+∞,
所以当x=1a时,g(x)有极大值g1a=12a-ln a,
综上,当a≤0时,函数g(x)无极值;
当a>0时,函数g(x)有极大值12a-ln a,无极小值.
11.D　f'(x)=12x2-2ax-2b,
∵f(x)在x=1处有极值,
∴f'(1)=12-2a-2b=0,∴a+b=6.
又a>0,b>0,∴a+b≥2ab,∴2ab≤6,
∴ab≤9,当且仅当a=b=3时等号成立,
∴ab的最大值为9.
12.A　因为函数f(x)=(x2-m)ex,所以f'(x)=ex(x2-m+2x),由函数f(x)的图象在x=1处的切线斜率为3e,得f'(1)=e(1-m+2)=e(3-m)=3e,所以m=0.则f'(x)=ex(x2+2x)=ex(x+2)x,因为ex>0,所以函数f(x)在(-∞,-2)上单调递增,在(-2,0)上单调递减,在(0,+∞)上单调递增,所以函数f(x)的极大值为f(-2)=4e-2.故选A.
13.A　由于等差数列前n项和公式中,常数项为0,所以k+12=0,所以k=-12,所以f(x)=x3+12x2-2x+1,所以f'(x)=3x2+x-2=(3x-2)(x+1),故函数f(x)在(-∞,-1)和23,+∞上单调递增,在-1,23上单调递减,故当x=-1时,f(x)取得极大值,为f(-1)=52.故选A.
14.答案　1
解析　由题意得,m≠0,且f'(x)=3mx2+2nx+p,
由题图可知,x=2是函数的极大值点,x=-1是极小值点,即2,-1是f'(x)=0的两个根,
由f'(-1)=3m-2n+p=0,f'(2)=12m+4n+p=0,
解得p=-6m,2n=-3m,
∵f'(0)=p=-6m, f'(1)=p=-6m,
∴f'(1)f'(0)=1.
15.解析　(1)由题意可得f'(x)=3x2+2ax+b.
∵f'(x)的图象过点(0,0),(2,0),
∴b=0,12+4a+b=0,解得a=-3,b=0.
(2)由(1)知f'(x)=3x2-6x,
令f'(x)>0,得x>2或x0,当x10,当x30,所以f(x)在(1,2)上单调递增,因此C正确;当x∈(2,4)时, f'(x)0),
所以f'(1)=12-a.
因为曲线y=f(x)在x=1处的切线方程为x-2y+1=0,所以12-a=12,解得a=0.
(2)f'(x)=12x-ax=x-2a2x.
①当2a≤1,即a≤12时, f'(x)≥0在[1,4]上恒成立,
所以y=f(x)在[1,4]上单调递增,
所以y=f(x)在[1,4]上无极值;
②当2a≥2,即a≥1时, f'(x)≤0在[1,4]上恒成立,
所以y=f(x)在[1,4]上单调递减,
所以y=f(x)在[1,4]上无极值;
③当10,即a>1时,记x1,x2是方程ax2+2ax+1=0的两个根,不妨设x10,当-3120,故f'(x)在(0,+∞)上单调递增,因为f'(e)=0,所以f(x)在(0,e)上单调递减,在(e,+∞)上单调递增.
f(x)的大致图象如图所示.

由g(x)=f(x)-m存在四个不同的零点知,直线y=m与y=f(x)的图象有四个不同的交点,故m∈(-e,e),故选A.
解题模板　利用导数解决函数的极值问题,常见的解题步骤是:求导、求驻点(令导数为0时方程的解)、列表、回答问题,由表可得出函数的大致图象,借助数形结合可解决函数的极值问题.
13.C　由f(x)=12ax2-ax-ln x,
得f'(x)=ax-a-1x=ax2-ax-1x,
因为A,B的横坐标x1、x2是函数f(x)=12ax2-ax-ln x的两个极值点,
所以x1、x2是方程ax2-ax-1=0的两根,
因此x1+x2=1,x1x2=-1a,a≠0,
又点A,B为曲线y=1x上两个不同的点,所以kAB=1x1-1x2x1-x2=-1x1x2=a,
因此直线AB的方程为y-1x1=a(x-x1),
即y=ax-ax1+1x1=ax-ax1-ax2
=ax-a(x1+x2)=ax-a=a(x-1),
即直线AB恒过定点(1,0),
显然点(1,0)在椭圆x24+y2=1内,因此直线AB与椭圆x24+y2=1必相交.故选C.
14.AD　∵函数f(x)=xln x+x2(x>0),
∴f'(x)=ln x+1+2x,
易得f'(x)=ln x+1+2x在(0,+∞)上单调递增,f'1e=2e>0,
∵当x→0时, f'(x)→-∞,∴0