2020-2021学年第五章 一元函数的导数及其应用本章综合与测试课堂检测

专题强化练9　函数的最大(小)值及其应用

一、选择题

1.(2020江西南昌二中高二上期末,)函数f(x)=2x2-x3在区间[0,6]上的最大值是(　　)

A. B. 

C.12 D.9

2.(2019四川泸州高三上诊断性考试,)已知函数f(x)=ln x-ax2+(a-1)x+a(a>0)的值域与函数y=f(f(x))的值域相同,则实数a的取值范围为(　　)

A.(0,1] B.(1,+∞)

C. D.

3.(2019浙江镇海中学高二上期末,)已知函数f(x)=xex,g(x)=xln x,若f(x1)=g(x2)=t,其中t>0,则的最大值为(　　)

A. B. 

C. D.

4.(2019安徽十校高三联考,)已知函数f(x)=+,g(x)=(e是自然对数的底数),若∀x1∈(0,1),∃x2∈[1,3],使得f(x1)≥g(x2)成立,则正实数k的最小值为(　　)

A. B.1

C.4-2 D.4+2

5.(多选)()已知函数f(x)=,则下列结论正确的是(　　)

A.函数f(x)存在两个不同的零点

B.函数f(x)既存在极大值又存在极小值

C.当-e<k<0时,方程f(x)=k有且只有两个实根

D.若当x∈[t,+∞)时, f(x)max=,则t的最小值为2

6.(多选)()已知函数f(x)=x2(ln x-a)+a,则下列结论正确的是(　　)

A.∃a>0,∀x>0, f(x)≥0

B.∃a>0,∃x>0, f(x)≤0

C.∀a>0,∀x>0, f(x)≥0

D.∀a>0,∃x>0, f(x)≤0

二、填空题

7.()若不等式ex-1≥kx+ln x对于任意的x∈(0,+∞)恒成立,则k的最大值为　　　　. 

8.(2020福建师范大学附中高二上期末,)若函数f(x)=3x-x3在区间(a-1,a)上有最小值,则实数a的取值范围是　　　　.易错 

三、解答题

9.(2019山东烟台高三上期中,)某工厂加工一批零件,加工过程中会产生次品,根据经验可知,其次品率p与日产量x(万件)之间满足函数关系式p=已知每生产1万件合格品可获利2万元,但生产1万件次品将亏损1万元(次品率=次品数/生产量).

(1)试写出加工这批零件的日盈利额y(万元)与日产量x(万件)的函数关系式;

(2)当日产量为多少时,可获得最大利润?最大利润为多少?

10.(2020北京石景山高三上期末,)已知函数f(x)=ex-ax(a∈R).

(1)求函数f(x)的单调区间;

(2)若a=3, f(x)的图象与y轴交于点A,求曲线y=f(x)在点A处的切线方程;

(3)在(2)的条件下,证明:当x>0时, f(x)>x2-3x+1恒成立.

11.(2020天津和平高三上期末,)设函数f(x)=aex,g(x)=ln x+b,其中a,b∈R,e是自然对数的底数.

(1)设F(x)=xf(x),当a=e-1时,求F(x)的最小值;

(2)证明:当a=e-1,b<1时,总存在两条直线和曲线y=f(x)与y=g(x)都相切;

(3)当a>时,证明:f(x)>x[g(x)-b].

12.(2019福建三明高二上期末,)已知函数f(x)=ax+ln x(a∈R).

(1)讨论f(x)的单调性;

(2)当a=1时,不等式xex+1>f(x)+m对任意的x∈(0,+∞)恒成立,求实数m的取值范围.

13.(2019湖南浏阳一中、醴陵一中高二月考,)已知函数f(x)=ln x-,g(x)=f(x)+ax-6ln x,其中a∈R.

(1)讨论f(x)的单调性;

(2)设函数h(x)=x2-mx+4,当a=2时,若∃x1∈(0,1),∀x2∈[1,2],总有g(x1)≥h(x2)成立,求实数m的取值范围.

答案全解全析

一、选择题

1.A　∵f(x)=2x2-x3,∴f'(x)=4x-x2,

令f'(x)=0,得x=0或x=4.

列表如下:

因此f(x)在[0,6]上的最大值为,故选A.

2.D　由题可知,函数f(x)的定义域为(0,+∞).

∵f(x)=ln x-ax2+(a-1)x+a(a>0),

∴f'(x)=-ax+a-1=,

∴当x>1时,f'(x)<0;当0<x<1时,f'(x)>0,

∴f(x)在(0,1)上单调递增,在(1,+∞)上单调递减,

∴f(x)max=f(1)=a-1,即f(x)的值域为.

要使y=f(f(x))的值域也为-∞,a-1,则只要f(x)max≥1,

则a-1≥1,即a≥,故选D.

3.A　由题意可知记m=ln x2,则②式可化为em·m=mem=t,因为f(x)=xex在(0,+∞)上单调递增,故x1=m,即x1=ln x2,代入①式,可得x1=t⇒x1x2=t,则=.

记w(t)=(t>0),则w'(t)=,

令w'(t)>0,得0<t<e;令w'(t)<0,得t>e,故w(t)在(0,e)上单调递增,在(e,+∞)上单调递减,当t=e时,w(t)max=w(e)=.故选A.

4.C　∀x1∈(0,1),∃x2∈[1,3],使得f(x1)≥g(x2)成立等价于f(x)min≥g(x)min,

由f(x)=+,得f'(x)=-=.

当0<k<1时,令f'(x)=0,得x3=-(舍去),x4=,

∴f(x)在(0,x4]上单调递减,在[x4,1)上单调递增,∴f(x)min=f(x4)=(+1)2.

当k=1时,令f'(x)=0,解得x=,

∴f(x)在上单调递减,在,1上单调递增,∴f(x)min=f=4=(+1)2.

当k>1时, f(x)在(0,x4]上单调递增,在[x4,1)上单调递减,

当x→0时, f(x)→+∞,且当x→1时, f(x)→+∞, f(x)无最小值.

由g(x)==4-,

得g'(x)=.

令g'(x)=0,得x=e,

∴g(x)在[1,e]上单调递减,在[e,3]上单调递增,∴g(x)min=g(e)=3,

∴(+1)2≥3,∴k≥4-2.故选C.

5.ABC　由f(x)=0得x2+x-1=0,解得x=,所以A正确;

f'(x)=-=-,

当-1<x<2时, f'(x)>0,当x<-1或x>2时,f'(x)<0,

所以函数的单调递减区间为(-∞,-1),(2,+∞),函数的单调递增区间为(-1,2),所以f(-1)是函数的极小值, f(2)是函数的极大值,所以B正确;

当x→+∞时,f(x)→0,根据B可知,函数的最小值是f(-1)=-e,再根据单调性可知,当-e<k<0时,方程f(x)=k有且只有两个实根,所以C正确;

画出f(x)的大致图象如图,因为f(2)=,所以t的最大值是2,所以D不正确.故选ABC.

6.ABD　当a=时, f(x)=x2+,函数的定义域为(0,+∞),

f'(x)=2x+x2·=2xln x-x+x=2xln x,

令f'(x)=0,得x=1,当x>1时, f'(x)>0,此时函数单调递增,当0<x<1时, f'(x)<0,此时函数单调递减,

故当x=1时,函数f(x)取得极小值,也是最小值, f(1)=-+=0,

则∀x>0, f(x)≥f(1)=0,故A正确.

当a=5时, f(x)=x2(ln x-5)+5,

则f(e)=e2(ln e-5)+5=-4e2+5<0,

故∃a>0,∃x>0, f(x)≤0,故B正确,C错误.

因为f(1)=12(ln 1-a)+a=-a+a=0,所以∀a>0,∃x=1>0,使f(x)≤0成立,因此D正确.故选ABD.

二、填空题

7.答案　e-1

解析　由题意得,k≤对任意x∈(0,+∞)恒成立,

构造函数h(x)=,

则h'(x)=,

易得h(x)在(0,1)上单调递减,在(1,+∞)上单调递增,故当x=1时,h(x)取到极小值,也是最小值,且最小值为e-1,故k的最大值为e-1.

8.答案　(-1,0)

解析　∵f(x)=3x-x3,∴f'(x)=3-3x2,

令f'(x)=0,得3-3x2=0,解得x=±1,

∵f(x)在(a-1,a)上有最小值,

∴-1∈(a-1,a),

∴解得-1<a<0,①

易得f(-1)=-3-(-1)=-2,

令f(x)=-2,得x3-3x-2=0,

即(x+1)2(x-2)=0,解得x=-1或x=2.

因此a≤2.②

由①②知a的取值范围是(-1,0).

易错警示　由函数的最大(小)值确定参数的取值范围不仅要考虑极值点,而且要考虑端点的函数值.

三、解答题

9.解析　(1)当1≤x<4时,y=2x-x·=2x-,

当x≥4时,y=2×-x=9-x-,

所以日盈利额y(万元)与日产量x(万件)的函数关系式为y=

(2)当1≤x<4时,y=2x-=-(x-2)2+2,

所以当x=2时,y取得最大值2;

当x≥4时,y=9-x-,y'=-1+=<0,

所以函数在[4,+∞)上单调递减,

所以当x=4时,y取得最大值.

又>2,所以当日产量为4万件时可获得最大利润,最大利润为万元.

10.解析　(1)依题意得f'(x)=ex-a,

当a≤0时, f'(x)≥0恒成立,所以f(x)在R上单调递增,

当a>0时,令f'(x)=0,得x=ln a.

当x发生变化时, f'(x), f(x)的变化情况如下表:

所以当a>0时, f(x)在(-∞,ln a)上单调递减,在(ln a,+∞)上单调递增.

综上所述,当a≤0时, f(x)的单调递增区间为R,无单调递减区间,

当a>0时, f(x)的单调递增区间为(ln a,+∞),单调递减区间为(-∞,ln a).

(2)当a=3时, f(x)=ex-3x.

令x=0,得y=1,则A(0,1),

因为f'(x)=ex-3,所以f'(0)=1-3=-2,

所以曲线y=f(x)在A点处的切线方程为y-1=-2(x-0),即y=-2x+1.

(3)证明:令g(x)=f(x)-(x2-3x+1)=ex-x2-1,则g'(x)=ex-2x.

令h(x)=ex-2x,则h'(x)=ex-2,

当0<x<ln 2时,h'(x)<0,h(x)单调递减,

当x>ln 2时,h'(x)>0,h(x)单调递增,

所以h(x)≥h(ln 2)=eln 2-2ln 2=2-2ln 2>0,即g'(x)>0恒成立.

所以g(x)在(0,+∞)上单调递增,

所以g(x)>g(0)=1-0-1=0, 所以ex-x2-1>0,

即当x>0时, f(x)>x2-3x+1恒成立.

11.解析　(1)由题可得,F(x)=xex-1,

则F'(x)=(x+1)ex-1,

当x∈(-∞,-1)时,F'(x)<0,F(x)单调递减;当x∈(-1,+∞)时,F'(x)>0,F(x)单调递增,

∴当x=-1时,F(x)取得极小值,也是最小值,且最小值为F(-1)=-e-2.

(2)证明:由题可得,f(x)=ex-1,∴f'(x)=ex-1,

∴曲线y=f(x)在点(m,em-1)处的切线方程为y=em-1x+(1-m)em-1.

∵g(x)=ln x+b,∴g'(x)=,

∴曲线y=g(x)在点(n,ln n+b)处的切线方程为y=x+ln n+b-1.

令

则(m-1)em-1-m+b=0.

令h(m)=(m-1)em-1-m+b,

则h'(m)=mem-1-1,

由(1)得当m<-1时,h'(m)单调递减,且h'(m)<0,

又h'(1)=0,m<1时,h'(m)<0,

∴当m<1时,h'(m)<0,h(m)单调递减;

当m>1时,h'(m)>0,h(m)单调递增.

易得h(b-1)=(b-2)eb-2+1>-+1>0,

又h(3-b)=(2-b)e2-b+2b-3>(2-b)(3-b)+2b-3=+>0,

h(1)=b-1<0,∴函数h(m)在(b-1,1)和(1,3-b)内各有一个零点,

∴当a=e-1,b<1时,总存在两条直线和曲线y=f(x)与y=g(x)都相切.

(3)证明:f(x)>x[g(x)-b]⇔-ln x>0.

令G(x)=-ln x(x>0),以下证明当a>时,G(x)的最小值大于0.

求导得G'(x)=-

=.

①当0<x≤1时,G'(x)<0,G(x)≥G(1)=ae>0;

②当x>1时,

G'(x)=,

令H(x)=ex-,

H'(x)=ex+>0,

H(2)=e2-=>0,取t∈(1,2)且使>e2,即1<t<,

则H(t)=et-<e2-e2=0,

∵H(t)H(2)<0,∴H(x)存在唯一零点x0∈(1,2),

即G(x)有唯一的极值点且为极小值点x0∈(1,2),又G(x0)=-ln x0,

且H(x0)=-=0,

即=,

∴G(x0)=-ln x0,

∵G'(x0)=--<0,

∴G(x0)是(1,2)上的减函数.

∴G(x0)>G(2)=1-ln 2>0,∴G(x)>0.

综上,当a>时, f(x)>x[g(x)-b].

12.解析　(1)函数f(x)的定义域为(0,+∞),

f'(x)=a+=,x>0.

当a≥0时, f'(x)>0,所以f(x)在(0,+∞)上单调递增;

当a<0时,由ax+1=0得x=-,

则函数f(x)在上单调递增,在上单调递减.

综上所述,当a≥0时, f(x)在(0,+∞)上单调递增;当a<0时, f(x)在上单调递增,在上单调递减.

(2)当a=1时,f(x)=x+ln x.设g(x)=xex+1-f(x)=xex-x-ln x+1(x>0),

则由题意可知当x>0时,g(x)>m恒成立,即g(x)min>m恒成立.

g'(x)=(x+1)ex-1-

=,

设h(x)=xex-1,则h'(x)=(x+1)ex>0,

所以h(x)在(0,+∞)上单调递增.

又h(1)=e-1>0,h= -1<0,

所以存在唯一的x0∈,使h(x0)=x0-1=0,即=,

且当x∈(0,x0)时,h(x)<0,即g'(x)<0,函数g(x)单调递减,

当x∈(x0,+∞)时,h(x)>0,即g'(x)>0,函数g(x)单调递增.

所以g(x)min=g(x0)=x0-x0-ln x0+1

=x0·-x0-ln +1=2.

所以m<2,即实数m的取值范围为(-∞,2).

13.解析　(1)∵f(x)=ln x-(x>0),

∴f'(x)=+=.

当a≥0时, f'(x)>0,此时f(x)在(0,+∞)上单调递增;

当a<0时,

若x∈(0,-a),则f'(x)<0, f(x)单调递减;若x∈(-a,+∞),则f'(x)>0, f(x)单调递增.

综上,当a≥0时, f(x)在(0,+∞)上单调递增;当a<0时,f(x)在(0,-a)上单调递减,在(-a,+∞)上单调递增.

(2)当a=2时,g(x)=2x--5ln x(x>0),

∴g'(x)==,

∴当x∈时,g'(x)>0,g(x)单调递增;当x∈时,g'(x)<0,g(x)单调递减.

∴当x∈(0,1)时,g(x)max=g=-3+5ln 2.

又h(x)在[1,2]上的最大值为h(1),h(2)中的较大者,

且“∃x1∈(0,1),∀x2∈[1,2],总有g(x1)≥h(x2)成立”等价于“g(x)在(0,1)上的最大值不小于h(x)在[1,2]上的最大值”,

∴

即解得m≥8-5ln 2.

∴实数m的取值范围是[8-5ln 2,+∞).