人教A版 (2019)选择性必修第二册第五章一元函数的导数及其应用本章综合与测试课时练习

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这是一份人教A版 (2019)选择性必修第二册第五章一元函数的导数及其应用本章综合与测试课时练习，共23页。试卷主要包含了单项选择题等内容，欢迎下载使用。

本章达标检测
(满分:150分;时间:120分钟)
一、单项选择题(本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)
1.函数f(x)=x2在区间[-1,2]上的平均变化率为(　　)
A.-1 B.1
C.2 D.3
2.下列导数运算正确的是(　　)
A.(2x)'=x·2x-1
B.(sin xcos x+1)'=cos 2x
C.(lg x)'=1x
D.(x-1)'=x-2
3.f(x)=x(2 018+ln x),若f'(x0)=2 019,则x0等于(　　)
A.e2 B.1 C.ln 2 D.e
4.函数y=f(x)在R上可导,且f(x)=2x2-f'(1)·x-3,则f(1)+f'(1)=(　　)
A.0 B.1
C.-1 D.不确定
5.已知函数f(x)=x2-2cos x,则f(0), f-13, f23的大小关系是(　　)
A. f(0)< f-13< f23
B. f-13< f(0)< f23
C. f23< f-13< f(0)
D. f(0) 6.函数f(x)=2x2-ln|x|的图象大致为(　　)

7.已知函数f(x)=ln x+ax,直线y=-x+3与曲线y=f(x)相切,则a=(　　)
A.1 B.2 C.3 D.4
8.设函数f(x)=-x(x-a)2(x∈R),当a>3时,不等式f(-k-sin θ-1)≥f(k2-sin2θ)对任意的k∈[-1,0]恒成立,则θ的可能取值是(　易错　)
A.-π3 B.4π3 C.-π2 D.5π6
二、多项选择题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.
在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求,全部选对的得5分,部分选对的得3分,有选错的得0分)
9.下列结论中正确的有(　　)
A.若y=sin π3,则y'=0
B.若f(x)=3x2-f'(1)x,则f'(1)=3
C.若y=-x+x,则y'=-12x+1
D.若y=sin x+cos x,则y'=cos x+sin x
10.定义在区间-12,4上的函数f(x)的导函数f'(x)的图象如图所示,则下列结论正确的是(　　)

A.函数f(x)在区间(0,4)上单调递增
B.函数f(x)在区间-12,0上单调递减
C.函数f(x)在x=1处取得极大值
D.函数f(x)在x=0处取得极小值
11.若实数m的取值使函数f(x)在定义域上有两个极值点,则称函数f(x)具有“凹凸趋向性”,已知f'(x)是函数f(x)的导数,且f'(x)=mx-2ln x,当函数f(x)具有“凹凸趋向性”时,m的取值范围的子集有(　　)
A.-2e,+∞ B.-2e,0
C.-∞,-2e D.-2e,-1e
12.已知定义在0,π2上的函数f(x)的导函数为f'(x),且f(0)=0, f'(x)cos x+f(x)sin x<0,则下列判断正确的是(深度解析)
A. fπ6<62fπ4 B. flnπ3>0
C. fπ6>3fπ3 D. fπ4>2fπ3
三、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.将答
案填在题中横线上)
13.已知f'(x0)=m,则limΔx→0f(x0-3Δx)-f(x0)Δx=　　　　.
14.已知f(x)是定义在R上的奇函数,当x≥0时, f(x)=2x3-3x2+a,则f(-2)=　　　　;曲线y=f(x)在点(-2,f(-2))处的切线方程为　　　　　　　　.(第一空2分,第二空3分)
15.已知函数f(x)=12x2-2ax-aln x(a∈R)在(1,2)上单调递减,则a的取值范围是　　　　.
16.已知函数f(x)=1+lnx,x≥1,x+12,x<1,若存在x1≠x2,使得f(x1)+f(x2)=2,则x1+x2的取值范围是　　　　.深度解析
四、解答题(本大题共6小题,共70分.解答应写出必要
的文字说明、证明过程或演算步骤)
17.(本小题满分10分)已知函数f(x)=x2ex.
(1)求函数f(x)的单调区间;
(2)求函数f(x)在区间-12,+∞上的值域.

18.(本小题满分12分)已知函数f(x)=(a-b)x2-x-xln x.
(1)若曲线y=f(x)在点(1, f(1))处的切线与x轴平行,且f(1)=a,求a,b的值;
(2)若a=1, f(x)≥0对任意x∈(0,+∞)恒成立,求b的取值范围.

19.(本小题满分12分)已知函数f(x)=cos x+xsin x-1.
(1)若x∈(0,π),求f(x)的极值;
(2)证明:当x∈[0,π]时,2sin x-xcos x≥x.

20.(本小题满分12分)如图,已知A、B两个城镇相距20千米,设M是AB的中点,在AB的中垂线上有一高铁站P,P、M的距离为10千米.为方便居民出行,在线段PM上任取一点O(点O不与P、M重合)建设交通枢纽,从高铁站铺设快速路到O处,再铺设快速路分别到A、B两处.因地质条件等各种因素,其中快速路PO造价为1.5百万元/千米,快速路OA造价为1百万元/千米,快速路OB造价为2百万元/千米.设∠OAM=θ(rad),总造价为y(单位:百万元).
(1)求y关于θ的函数关系式,并指出函数的定义域;
(2)求总造价的最小值,并求出此时θ的值.

21.(本小题满分12分)已知函数f(x)=ln x+12ax2+(a+1)x.
(1)讨论函数f(x)的单调性;
(2)设函数f(x)图象上不重合的两点A(x1, f(x1)),B(x2, f(x2))(x1>x2).证明:kAB>f'x1+x22(kAB是直线AB的斜率).

22.(本小题满分12分)已知函数f(x)=1-x2ex(e为自然对数的底数).
(1)求函数f(x)的零点x0,以及曲线y=f(x)在x=x0处的切线方程;
(2)设方程f(x)=m(m>0)有两个实数根x1,x2,求证:|x1-x2|<2-m1+12e.

答案全解全析
一、单项选择题
1.B　因为f(x)=x2,所以f(x)在区间[-1,2]上的平均变化率为f(2)-f(-1)2-(-1)=4-13=1.故选B.
2.B　对于A,(2x)'=2xln 2,A错误;
对于B,(sin xcos x+1)'=(sin x)'cos x+sin x(cos x)'=cos2x-sin2x=cos 2x,B正确;
对于C,(lg x)'=1xln10,C错误;
对于D,(x-1)'=-x-2,D错误.
故选B.
3.B　由题得f'(x)=ln x+2 019,
∴f'(x0)=ln x0+2 019=2 019,
∴ln x0=0,解得x0=1.故选B.
4.C　由f(x)=2x2-f'(1)·x-3,
得f'(x)=4x-f'(1),
∴f'(1)=4-f'(1),
∴f'(1)=2,
∴f(x)=2x2-2x-3,
∴f(1)=2-2-3=-3.
∴f(1)+f'(1)=-3+2=-1.
5.A　易知f(x)=x2-2cos x为偶函数,
∴f-13=f13,
∵f'(x)=2x+2sin x,当x∈(0,1)时, f'(x)>0,∴f(x)在(0,1)上为增函数,
∴f(0)< f13< f23,
∴f(0)< f-13< f23.故选A.
6.A　∵f(x)=2x2-ln|x|=f(-x),
∴函数f(x)是偶函数,
∴f(x)的图象关于y轴对称,故排除B.
当x→0时, f(x)→+∞,故排除D.
当x>0时, f(x)=2x2-ln x, f'(x)=4x-1x=(2x-1)(2x+1)x,当x=12时, f(x)取最小值,且f12=12-ln 12>0,故排除C.
故选A.
7.B　设切点为(x0,y0),由f(x)=ln x+ax,得f'(x)=1x-ax2,又直线y=-x+3与曲线y=f(x)相切,
所以1x0-ax02=-1,①y0=-x0+3,②y0=ln x0+ax0,③由②③得-x0+3=ln x0+ax0⇒ax0=-x0+3-ln x0,代入①得2x0+ln x0-2=0.易得x0=1,代入①得a=2.
故选B.
8.D　由f(x)=-x(x-a)2,得f'(x)=-(3x-a)·(x-a),令f'(x)=0,得x=a3或x=a,当a>3时,a3 所以f(x)在-∞,a3,[a,+∞)上单调递减,在a3,a上单调递增,
又当a>3时,a3>1,所以f(x)在(-∞,1]上为减函数,
又k∈[-1,0],sin θ∈[-1,1],所以-2≤-k-sin θ-1≤1,-1≤k2-sin2θ≤1,
由不等式f(-k-sin θ-1)≥f(k2-sin2θ)对任意的k∈[-1,0]恒成立,得sin2θ-sin θ-1≤k2+k=k+122-14对任意的k∈[-1,0]恒成立,
所以sin2θ-sin θ-1≤-14恒成立,
解得-12≤sin θ≤32,即-12≤sin θ≤1,
结合选项知,θ的可能取值是5π6.
故选D.
易错警示　利用单调性解决相关应用问题时,要注意单调区间的判定,当自变量都在同一个单调区间内才能利用相应的单调性,解题时防止漏证导致解题错误.
二、多项选择题
9.ABC　选项A中,若y=sinπ3=32,则y'=0,故A正确;选项B中,若f(x)=3x2-f'(1)·x,则f'(x)=6x-f'(1),令x=1,则f'(1)=6-f'(1),解得 f'(1)=3,故B正确;选项C中,若y=-x+x,则y'=-12x+1,故C正确;选项D中,若y=sin x+cos x,则y'=cos x-sin x,故D错误.故选ABC.
10.ABD　由y=f'(x)的图象知,当-120,因此f(x)在-12,0上单调递减,在(0,4)上单调递增,故A、B正确.f(x)在x=1附近单调递增,在x=1处不取极大值,故C错误.由f(x)在-12,0上单调递减,在(0,4)上单调递增,得f(x)在x=0处取得极小值,故D正确.故选ABD.
11.BD　依题意得f'(x)=mx-2ln x=m-2xlnxx(x>0),
若函数f(x)具有“凹凸趋向性”,则m=2xln x在(0,+∞)上有2个不同的实数根,
令g(x)=2xln x,则g'(x)=2(1+ln x),
令g'(x)>0,解得x>1e;令g'(x)<0,解得0 ∴g(x)在0,1e上单调递减,在1e,+∞上单调递增,
故g(x)的最小值是g1e=-2e,当x→0时,g(x)→0,故-2e 12.CD　令g(x)=f(x)cosx,x∈0,π2,
则g'(x)=f'(x)cosx+f(x)sinxcos 2x,
因为f'(x)cos x+f(x)sin x<0,
所以g'(x)=f'(x)cosx+f(x)sinxcos2x<0在0,π2上恒成立,
因此函数g(x)=f(x)cosx在0,π2上单调递减,因此gπ6>gπ4,即fπ6cos π6>fπ4cos π4,即fπ6>62fπ4,故A错误;
又f(0)=0,所以g(0)=f(0)cos0=0,所以g(x)=f(x)cosx≤0在0,π2上恒成立,
因为lnπ3∈0,π2,所以flnπ3<0,故B错误;
又gπ6>gπ3,所以fπ6cosπ6>fπ3cosπ3,即fπ6>3fπ3,故C正确;
又gπ4>gπ3,所以fπ4cosπ4>fπ3cos π3,即fπ4>2fπ3,故D正确.故选CD.
易错警示　本题通过构造函数,利用函数的单调性比较大小.构造函数时,利用含导函数的不等式分析其运算结构,结合求导法则构造函数.平时要积累构造函数的方法.
三、填空题
13.答案　-3m
解析　∵f'(x0)=m,
∴原式=-3limΔx→0f(x0-3Δx)-f(x0)-3Δx
=-3f'(x0)=-3m.
14.答案　-4;12x-y+20=0
解析　由f(x)是定义在R上的奇函数知,f(0)=a=0,∴f(x)=2x3-3x2,
∴当x<0时,-x>0,
∴f(-x)=-2x3-3x2,
又f(-x)=-f(x),
∴f(x)=2x3+3x2,∴f'(x)=6x2+6x.
∴f(-2)=-4, f'(-2)=12.
∴f(x)在(-2, f(-2))处的切线方程为y+4=12(x+2),
即12x-y+20=0.
15.答案　45,+∞
解析　因为函数f(x)=12x2-2ax-aln x(a∈R)在(1,2)上单调递减,
所以f'(x)=x-2a-ax=x2-2ax-ax≤0在(1,2)上恒成立,即a≥x22x+1在x∈(1,2)上恒成立.
利用导数易知函数y=x22x+1在(1,2)上是增函数,
所以x22x+1<222×2+1=45,故a≥45.
16.答案　[3-2ln 2,+∞)
解析　因为x1≠x2,所以不妨设x11.记g(x2)=x2-2ln x2+1(x2>1),则g'(x2)=x2-2x2,于是易得g(x2)在(1,2)上单调递减,在(2,+∞)上单调递增,所以g(x2)≥g(2)=3-2ln 2,又当x2→+∞时,g(x2)→+∞,所以g(x2)的值域是[3-2ln 2,+∞).
所以x1+x2的取值范围是[3-2ln 2,+∞).
解题模板　分段函数问题要明确自变量的取值范围,选择函数解析式,找到x1、x2的关系.进而构造函数,利用导数解决函数的值域,从而得到取值范围.
四、解答题
17.解析　(1)由题意得, f'(x)=x(2-x)ex,(2分)
令f'(x)>0,得0 令f'(x)<0,得x>2或x<0,(4分)
故函数f(x)的单调递增区间为(0,2),单调递减区间为(-∞,0),(2,+∞).(5分)
(2)易知f(0)=0, f(2)=4e2,f-12=e4,
因为f(2)-f-12=4e2-e4=16-e2e4e2>16-2e24e2=8-e22e2=(22+e)(22-e)2e2>0,(8分)
所以f(2)>f-12.或由f(2)=4e2>49, f-12=e4<34,49>34可得f(2)>f-12
又当x>0时, f(x)=x2ex>0,
所以函数f(x)在区间-12,+∞上的值域为0,4e2.(10分)
18.解析　(1)由f(x)=(a-b)x2-x-xln x,得f'(x)=2(a-b)x-ln x-2,(2分)
由f(1)=a-b-1=a,f'(1)=2(a-b)-2=0,
得a=0,b=-1.(4分)
(2)因为a=1,
所以f(x)=(1-b)x2-x-xln x.(5分)
f(x)≥0对任意x∈(0,+∞)恒成立等价于b≤1-1x-lnxx对任意x∈(0,+∞)恒成立,(6分)
令g(x)=1-1x-lnxx,则g'(x)=lnxx2.(8分)
当x∈(0,1)时,g'(x)<0,
所以g(x)在(0,1)上单调递减,(9分)
当x∈(1,+∞)时,g'(x)>0,
所以g(x)在(1,+∞)上单调递增,(10分)
所以g(x)min=g(1)=0,
所以b∈(-∞,0].(12分)
19.解析　(1)∵f(x)=cos x+xsin x-1,
∴f'(x)=xcos x,(2分)
当x∈0,π2时, f'(x)>0;
当x∈π2,π时, f'(x)<0,
当x发生变化时, f'(x), f(x)的变化情况如下表:
x
0,π2
π2
π2,π
f'(x)
+
0
-
f(x)
↗
极大值
↘

因此,当x=π2时, f(x)有极大值,并且极大值为f(x)极大值=fπ2=π2-1 ,没有极小值.(6分)
(2)证明:令g(x)=2sin x-xcos x-x,
则g'(x)=cos x+xsin x-1=f(x),
由(1)知f(x)在0,π2上单调递增,在π2,π上单调递减.(8分)
又f(0)=0, fπ2=π2-1>0, f(π)=-2<0,
所以f(x)在(0,π)上存在唯一零点,设为x0.则g'(x0)=f(x0)=0,(9分)
当x∈(0,x0)时,g'(x)>0;当x∈(x0,π)时,g'(x)<0,
所以g(x)在区间(0,x0)上单调递增,在区间(x0,π)上单调递减,
又g(0)=0,g(π)=0,所以当x∈[0,π]时,g(x)≥0,(11分)
故2sin x-xcos x≥x.(12分)
20.解析　(1)∵∠OAM=θ,PM⊥AB,M为AB的中点,
∴OA=OB=10cosθ,OM=10tan θ,OP=10-10tan θ,(2分)
∴y=10cosθ×1+10cosθ×2+(10-10tan θ)×1.5=30cosθ-15tan θ+15
=152cosθ-tanθ+150<θ<π4.(5分)
(2)设f(θ)=2cosθ-tan θ
=2-sinθcosθ0<θ<π4,
则f'(θ)=-cos2θ+sinθ(2-sinθ)cos2θ
=2sinθ-1cos2θ.(7分)
令f'(θ)=0,得sin θ=12,
又0<θ<π4,∴θ=π6.(8分)
当0<θ<π6时,sin θ<12, f'(θ)<0, f(θ)单调递减;(9分)
当π6<θ<π4时,sin θ>12, f'(θ)>0, f(θ)单调递增.(10分)
∴f(θ)的最小值为fπ6=3,此时总造价最小.(11分)
∴当θ=π6时,总造价最小,最小值为(153+15)百万元.(12分)
21.解析　(1)由题意得,函数f(x)的定义域为(0,+∞),
且f'(x)=1x+ax+(a+1)=ax2+(a+1)x+1x=(ax+1)(x+1)x.(2分)
①当a≥0时, f'(x)=1x+ax+(a+1)>0,此时f(x)在(0,+∞)上单调递增.(3分)
②当a<0时,令f'(x)=0,得x=-1a或x=-1(舍),-1a>0,
由f'(x)>0得0-1a,
所以f(x)在0,-1a上单调递增,在-1a,+∞上单调递减.(4分)
综上,当a≥0时,函数f(x)在(0,+∞)上单调递增;当a<0时,函数f(x)在0,-1a上单调递增,在-1a,+∞上单调递减.(5分)
(2)证明:由题意得f(x1)=ln x1+12ax12+(a+1)x1, f(x2)=ln x2+12ax22+(a+1)x2,
所以kAB=f(x1)-f(x2)x1-x2
=ln x1+12ax12+(a+1)x1-ln x2+12ax22+(a+1)x2x1-x2
=ln x1-ln x2x1-x2+a(x1+x2)2+(a+1),(7分)
又f'x1+x22=2x1+x2+a(x1+x2)2+(a+1),(8分)
所以要证kAB>f'x1+x22成立,
只需证ln x1-ln x2x1-x2>2x1+x2成立,
即证lnx1x2>2(x1-x2)x1+x2=2x1x2-1x1x2+1成立.(9分)
令x1x2=t(t>1),即证当t∈(1,+∞)时,ln t>2(t-1)t+1成立.(10分)
设g(t)=ln t-2(t-1)t+1(t>1),
则g'(t)=1t-4(t+1)2=(t-1)2t(t+1)2>0(t>1),
所以函数g(t)在(1,+∞)上是单调递增函数,(11分)
所以∀t∈(1,+∞),都有g(t)>g(1)=0,
即∀t∈(1,+∞),都有ln t>2(t-1)t+1,
所以kAB>f'x1+x22.(12分)
22.解析　(1)由f(x)=1-x2ex=0,得x=±1,
∴函数f(x)的零点x0=±1.
易得f'(x)=x2-2x-1ex, f'(-1)=2e, f(-1)=0,
∴曲线y=f(x)在x=-1处的切线方程为y=2e(x+1).
f'(1)=-2e, f(1)=0,
∴曲线y=f(x)在x=1处的切线方程为y=-2e(x-1).(5分)
(2)证明:由(1)知f'(x)=x2-2x-1ex.
令f'(x)=0,得x=1±2.
当x∈(-∞,1-2)∪(1+2,+∞)时,f'(x)>0;当x∈(1-2,1+2)时, f'(x)<0.
∴f(x)的单调递增区间为(-∞,1-2),(1+2,+∞),单调递减区间为(1-2,1+2).
由(1)知,当x<-1或x>1时, f(x)<0;
当-10.(7分)
下面证明:当x∈(-1,1)时,2e(x+1)>f(x).
当x∈(-1,1)时,
2e(x+1)>f(x)⇔2e(x+1)+x2-1ex>0⇔ex+1+x-12>0.
易知,g(x)=ex+1+x-12在x∈(-1,1)上单调递增,
∴g(x)>g(-1)=0对任意x∈(-1,1)恒成立,
∴当x∈(-1,1)时,2e(x+1)>f(x).(9分)
由y=2e(x+1),y=m,得x=m2e-1.记x'1=m2e-1.
不妨设x1 ∴|x1-x2|<|x'1-x2|=x2-x'1=x2-m2e-1.(10分)
要证|x1-x2|<2-m1+12e,只需证x2-m2e-1≤2-m1+12e,即证x2≤1-m.
又∵m=1-x22ex2,∴只需证x2≤1-1-x22ex2,
即(x2-1)·[ex2-(x2+1)]≤0.
∵x2∈(1-2,1),∴x2-1<0,∴只需证ex2-(x2+1)≥0.
令φ(x)=ex-(x+1),则φ'(x)=ex-1.
当x∈(1-2,0)时,φ'(x)<0,φ(x)为单调递减函数;
当x∈(0,1)时,φ'(x)>0,φ(x)为单调递增函数.
∴φ(x)≥φ(0)=0,∴ex2-(x2+1)≥0,
∴|x1-x2|<2-m1+12e.(12分)