2020-2021学年第八章 立体几何初步8.4 空间点、直线、平面之间的位置关系备课课件ppt

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8.4　空间点、直线、平面之间的位置关系
8.4.2　空间点、直线、平面之间的位置关系
1．异面直线的定义和画法(1)定义：_______________________的两条直线叫做异面直线.(2)画法：如果直线a，b为异面直线，为了表示它们不共面的特点，作图时，通常用一个或两个_______衬托.
空间中直线与直线的位置关系
不同在任何一个平面内　
2．空间中直线与直线的位置关系
空间中直线与平面的位置关系
空间中平面与平面的位置关系
[知识解读]　对异面直线的理解(1)异面直线是不同在任何一个平面内的两条直线.(2)注意异面直线定义中“任何”两字，它指空间中的所有平面，因此异面直线也可以理解为：在空间中找不到一个平面，使其同时经过a，b两条直线.
如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，(1)直线A1B与直线D1C的位置关系是_______；(2)直线A1B与直线B1C的位置关系是_______；(3)直线D1D与直线D1C的位置关系是_______；(4)直线AB与直线B1C的位置关系是_______.
[解析]　(1)在长方体ABCD－A1B1C1D1中，A1D1∥BC，∴四边形A1BCD1为平行四边形，∴A1B∥D1C.(2)直线A1B与直线B1C不同在任何一个平面内.(3)直线D1D与直线D1C相交于点D1．(4)直线AB与直线B1C不同在任何一个平面内.
[归纳提升]　判定两条直线是异面直线的方法(1)定义法：证明两条直线既不平行又不相交.(2)重要结论：连接平面内一点与平面外一点的直线，和这个平面内不经过此点的直线是异面直线.用符号语言可表示为l⊂α，A∉α，B∈α，B∉l⇒AB与l是异面直线(如图).
【对点练习】❶　正方体ABCD－A1B1C1D1中，棱所在直线与直线BA1是异面直线的条数为(　　)A．4　　B．5　　C．6　　D．7[解析]　如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，与直线BA1是异面的直线有CD，C1D1，C1C，D1D，B1C1，AD，共6条，故选C．
下列五个结论中正确结论的个数是(　　)①如果a、b是两条直线，a∥b，那么a平行于经过b的任何一个平面；②如果直线a和平面α满足a∥α，那么a与平面α 内的任何一条直线平行；③如果直线a、b满足a∥α，b∥α，那么a∥b；④如果直线a、b和平面α满足a∥b，a∥α，b⊄α，那么b∥α；⑤如果a与平面α上的无数条直线平行，那么直线a必平行于平面α.A．0　　　　　　B．1　　　　　　C．2　　　　　　D．3
[解析]　如图所示，在长方体ABCD－A′B′C′D′中，AA′∥BB′，AA′却在过BB′的平面ABB′A′内，故①错；AA′∥平面BB′C′C，BC⊂平面BB′C′C，但AA′不平行于BC，故②错；AA′∥平面BB′C′C，A′D′∥平面BB′C′C，但AA′与A′D′相交，故③错；A′B′∥C′D′，A′B′∥平面ABCD，C′D′⊄平面ABCD，则C′D′∥平面ABCD，故④正确；AA′显然与平面ABB′A′中的无数条直线平行，但AA′⊂平面ABB′A′，故⑤错误，故选B．
[归纳提升]　直线与平面位置关系的判断：(1)空间直线与平面位置关系的分类是解决问题的突破口，这类判断问题，常用分类讨论的方法解决.另外，借助模型(如正方体、长方体等)也是解决这类问题的有效方法.(2)要证明直线在平面内，只要证明直线上两点在平面α内，要证明直线与平面相交，只需说明直线与平面只有一个公共点，要证明直线与平面平行，则必须说明直线与平面没有公共点.
【对点练习】❷　在长方体ABCD－A1B1C1D1中，指出B1C，BD1与各面的位置关系.[解析]　(1)B1C⊂平面BCC1B1，B1C∥平面ADD1A1，B1C与其余4个面相交.(2)BD1与6个面都相交.
　观察下面的两个图：(1)一楼、二楼的地面所在平面的位置关系是什么？(2)房顶所在平面的位置关系是什么？(3)怎样用图形表示两平面的位置关系？
[解析]　(1)平行.(2)相交.(3)①两平行平面的画法：画两平行的平面时要注意把表示平面的两个平行四边形画成对应边平行.
②两相交平面的画法：先画表示两个平面的平行四边形的相交两边，如图(1).再画表示两平面交线的线段，如图(2).再过图(1)中线段的端点分别画线段使它平行且等于(2)表示交线的线段，如图(3).再画表示平面的平行四边形的其他边，如图(4).
[归纳提升]　平面与平面的位置关系的判断方法：(1)平面与平面相交的判断，主要以基本事实3为依据找出一个交点.(2)平面与平面平行的判断，主要说明两个平面没有公共点.
【对点练习】❸　以下四个命题中，正确的命题有(　　)①在平面α内有两条直线和平面β平行，那么这两个平面平行；②在平面α内有无数条直线和平面β平行，那么这两个平面平行；③平面α内△ABC的三个顶点在平面β的同一侧且到平面β的距离相等且不为0，那么这两个平面平行；④平面α内有无数个点到平面β的距离相等且不为0，那么这两个平面平行或相交.A．③④　　B．②③④　　C．②④　　D．①④
　设P是异面直线a、b外的一点，则过P与a、b都平行的平面(　　)A．有且只有一个　B．恰有两个C．没有或只有一个D．有无数个
对空间线面位置关系考虑不全面致误
[错解]　如图，过P作a1∥a，b1∥b.∵a1∩b1＝P，∴过a1、b1有且只有一个平面.故选A．[错因分析]　错解是因为对空间概念理解不透彻，对P点位置没有作全面地分析，只考虑了一般情况，而忽略了特殊情形.事实上，当直线a(或b)与点P确定的平面恰与直线b(或a)平行时，与a、b都平行的平面就不存在了.[正解]　C[误区警示]　对于空间中的线面和面面位置关系问题，应注意结合实例，全面考虑，认真分析所有可能的情形，才能避免判断失误.
【对点练习】❹　若a和b是异面直线，b和c是异面直线，则a和c的位置关系是(　　)A．平行　　B．异面C．相交　　D．平行、相交或异面
[解析]　可借助长方体来判断.如图，在长方体ABCD－A′B′C′D′中，A′D′所在直线为a，AB所在直线为b，已知a和b是异面直线，b和c是异面直线，则c可以是长方体ABCD－A′B′C′D′中的B′C′，CC′，DD′.故a和c可以平行、相交或异面.