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选择性必修第二册综合测评
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这是一份人教A版 (2019)选择性必修 第二册全册综合当堂达标检测题，共21页。试卷主要包含了单项选择题等内容，欢迎下载使用。
全书综合测评
(满分:150分;时间:120分钟)
一、单项选择题(本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)
1.已知等差数列{an}的公差d≠0,且a3+a6+a9=18,若an=6,则n为( )
A.12 B.8 C.6 D.4
2.已知函数f(x)=aln x+2,f'(e)=2,则a的值为( )
A.-1 B.1 C.2e D.e2
3.在等比数列{an}中,a2+a3=1,a4+a5=2,则 a6+a7=( )
A.2 B.22
C.4 D.42
4.我国古代数学名著《九章算术》中有如下问题:“今有女子善织,日自倍,五日织五尺,问日织几何?”意思是:“一女子善于织布,每天织出的布都是前一天的2倍,已知她5天共织布5尺,问这女子每天分别织布多少?”根据上述已知条件,该女子第3天所织布的尺数为( )
A.1031 B.2031 C.54 D.52
5.在等差数列{an}中,首项a1>0,公差d≠0,前n项和为Sn(n∈N*),且满足S3=S15,则Sn 的最大项为( )
A.S7 B.S8 C.S9 D.S10
6.已知函数f(x)=e-x(cos x+sin x),记f'(x)是f(x)的导函数,将满足f'(x)=0的所有正数x从小到大排成数列{xn},n∈N*,则f(xn)=( )
A.(-1)ne-(n+1)π B.(-1)n+1e-nπ
C.(-1)ne-nπ D.(-1)n+1e-(n+1)π
7.设奇函数f(x)在R上存在导函数f'(x),且在(0,+∞)上f'(x)
C.-∞,-12 D.12,+∞
8.已知定义在R上的函数y=f(x)满足:函数y=f(x-1)的图象关于直线x=1对称,且当x∈(-∞,0)时,有f(x)+xf'(x)<0(f'(x)是函数f(x)的导函数)成立.若a=sin 12·fsin 12, b=(ln 2)·f(ln 2),c=log1214·flog1214,则a,b,c的大小关系是(深度解析)
A.a>b>c B.b>a>c
C.c>a>b D.a>c>b
二、多项选择题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.
在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求,全部选对的得5分,部分选对的得3分,有选错的得0分)
9.设等差数列{an}的首项为a1,公差为d,其前n项和为Sn,已知S16>0,S17<0,则下列结论正确的是( )
A.a1>0,d<0
B.a8+a9>0
C.S8与S9均为Sn的最大值
D.a9<0
10.已知函数f(x)=ex-ln x-2,则下列说法正确的是( )
A. f(x)有且仅有一个极值点
B. f(x)有零点
C.若f(x)的极小值点为x0,则0< f(x0)<12
D.若f(x)的极小值点为x0,则12< f(x0)<1
11.已知数列{an}为等差数列,a1=1,且a2,a4,a8是一个等比数列中的相邻三项,记bn=anqan(q≠0,1),则{bn}的前n项和Sn可以是( )
A.n
B.nq
C.q+nqn+1-nqn-qn(1-q)2
D.q+nqn+2-nqn+1-qn+1(1-q)2
12.已知f(x)=ex·x3,则下列结论正确的是( )
A. f(x)在R上单调递增
B. f(log52)< f(e-12)
D.存在实数k,使得方程f(x)=kx有4个实数根
三、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.将答
案填在题中横线上)
13.在等差数列{an}中,已知a3=4,a6=10,则a10-a7= .
14.已知数列{an}的前n项和为Sn,若a1=1,an+1=3Sn(n∈N*),则a6= .
15.已知函数f(x)=xg(x),曲线y=f(x)在点(1, f(1))处的切线方程是x-y-1=0,则曲线y=g(x)在点(1,g(1))处的切线方程是 .
16.已知函数f(x)=(4-x2)(x2+ax+b)的图象关于直线x=1对称,则a+b= , f(x)的最大值为 .(第一空2分,第二空3分)
四、解答题(本大题共6小题,共70分.解答应写出必要
的文字说明、证明过程或演算步骤)
17.(本小题满分10分)在等差数列{an}中,a2=3,a5=6.
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)设bn=1anan+1,求数列{bn}的前n项和Sn.
18.(本小题满分12分)已知函数f(x)=ex(x-1)-12eax2,a<0.
(1)求曲线y=f(x)在点(0, f(0))处的切线方程;
(2)求函数f(x)的极小值;
(3)求函数f(x)的零点个数.
19.(本小题满分12分)已知数列{an}是首项为正数的等差数列,数列1anan+1的前n项和为n2n+1.
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)设bn=(an+1)·2an,求数列{bn}的前n项和Tn.
20.(本小题满分12分)某公司一下属企业从事某种高科技产品的生产.该企业第一年年初有资金2 000万元,将其投入生产,到当年年底资金增长了50%.预计以后每年资金年增长率与第一年的相同.公司要求企业从第一年开始,每年年底上缴资金d万元,并将剩余资金全部投入下一年生产.设第n年年底企业上缴资金后的剩余资金为an万元.
(1)用d表示a1,a2,并写出an+1与an的关系式;
(2)若公司希望经过m(m≥3)年使企业的剩余资金为4 000万元,试确定企业每年上缴资金d的值(用m表示).
21.(本小题满分12分)如图,有一块半径为20米,圆心角∠AOB=2π3的扇形展示台,该展示台分为四个区域:三角形OCD,弓形CMD,扇形AOC和扇形BOD(其中∠AOC=∠BOD).某次菊花展依次在这四个区域摆放:泥金香、紫龙卧雪、朱砂红霜、朱砂红霜.预计这三种菊花展示带来的日效益分别是:泥金香50元/米2,紫龙卧雪30元/米2,朱砂红霜40元/米2.
(1)设∠COD=θ,试建立日效益总量y关于θ的函数关系式;
(2)试探求θ为何值时,日效益总量达到最大值.
22.(本小题满分12分)已知函数f(x)=ln(2x+a)(x>0,a>0),曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线在y轴上的截距为ln 3-23.
(1)求a的值;
(2)讨论函数g(x)=f(x)-2x(x>0)和h(x)=f(x)-2x2x+1(x>0)的单调性;
(3)设a1=25,an+1=f(an),求证:5-2n+12n<1an-2<0(n≥2).
答案全解全析
一、单项选择题
1.C 由a3+a6+a9=18,得3a6=18,∴a6=6,
又an=6,∴an=a6,又d≠0,∴{an}为单调数列,∴n=6.故选C.
2.C 由f(x)=aln x+2得, f'(x)=ax,
∴f'(e)=ae=2,解得a=2e.故选C.
3.C 设等比数列{an}的公比为q,
则a4+a5a2+a3=a2q2+a3q2a2+a3=q2=2,
∴a6+a7=a4q2+a5q2=(a4+a5)q2=2×2=4.
故选C.
4.B 设该女子每天分别织布的尺数构成数列{an},则数列{an}为等比数列,设其首项为a1,公比为q,前n项和为Sn.则q=2,S5=5,
∴5=a1(1-25)1-2,解得a1=531,
∴a3=531×22=2031.故选B.
5.C 由S3=S15得,a4+a5+…+a15=0,
∴6(a9+a10)=0,即a9+a10=0.
又a1>0,∴a9>0,a10<0,
∴Sn的最大项为S9.故选C.
6.C f'(x)=-e-x(cos x+sin x)+e-x(-sin x+cos x)=-2e-xsin x.
令f'(x)=0,得-2e-xsin x=0,解得x=kπ,k∈Z,从而xn=nπ,n∈N*, f(xn)=(-1)ne-nπ.因为f(xn+1)f(xn)=-e-π,所以数列{f(xn)}是公比为-e-π的等比数列,其首项f(x1)=(-1)1e-π=-e-π.
其通项公式为f(xn)=(-1)ne-nπ,故选C.
7.D 由f(1-m)-f(m)≥13[(1-m)3-m3]得, f(1-m)-13(1-m)3≥f(m)-13m3,构造函数g(x)=f(x)-13x3,则g'(x)=f'(x)-x2<0.故g(x)在(0,+∞)上单调递减,由函数f(x)为奇函数可得g(x)为奇函数,故g(x)在R上单调递减,
因此原不等式可化为1-m≤m,解得m≥12,故选D.
8.A 由函数y=f(x-1)的图象关于直线x=1对称知,f(x)是偶函数,设g(x)=x·f(x),则g(x)是奇函数,且当x<0时,g'(x)=f(x)+x·f'(x)<0,即g(x)是减函数,∴当x>0时,g(x)也是减函数.
又0
即sin12fsin12>(ln 2)f(ln 2)>log1214flog1214.
∴a>b>c.
故选A.
解题模板 构造函数,利用单调性解决比较大小的问题中,掌握一些基本的大小关系可帮助解题,如本题中,当0lne=12等.
二、多项选择题
9.ABD ∵S16=16(a1+a16)2>0,
∴a8+a9=a1+a16>0,∴B正确.
又S17=17(a1+a17)2=17a9<0,∴a9<0,
∴a8>0,∴d=a9-a8<0,∴a1>0,∴A、D正确.
易知S8是Sn的最大值,S9不是Sn的最大值,∴C错误.故选ABD.
10.AC 由题意得, f(x)的定义域为(0,+∞),且f'(x)=ex-1x,设h(x)=f'(x),则h'(x)=ex+1x2>0,∴h(x)在(0,+∞)上单调递增,
又h12=e12-2=e-2<0,h(1)=e1-1>0,
∴h(x)存在唯一零点,设为x0,
当0
∴f(x)有唯一极小值点x0,∴A正确.
令f'(x0)=ex0-1x0=0,得ex0=1x0,
∴x0=ln1x0=-ln x0.
∴f(x0)=ex0-ln x0-2=1x0+x0-2
≥21x0·x0-2=0(当且仅当x0=1时等号成立),又12
∴f(x)无零点,∴B错误.
由f(x0)=1x0+x0-2,12
当12
11.BD 设等差数列{an}的公差为d,由题意得a42=a2a8,即(1+3d)2=(1+d)(1+7d),
∴d2-d=0,解得d=0或d=1.
当d=0时,an=a1=1,
∴bn=anqan=q,
∴{bn}的前n项和为nq,B正确.
当d=1时,an=n,
∴bn=n·qn(q≠0,1).
∴Sn=1×q+2×q2+…+nqn,
∴qSn=1×q2+…+(n-1)qn+n·qn+1,
∴(1-q)Sn=q+q2+…+qn-nqn+1=q(1-qn)1-q-nqn+1=q-qn+1+nqn+2-nqn+11-q.
又q≠1,∴Sn=q+nqn+2-nqn+1-qn+1(1-q)2,D正确.故选BD.
12.BCD f(x)=ex·x3,
∴f'(x)=ex(x3+3x2).
令f'(x)=0,得x=0或x=-3.
当x<-3时, f'(x)<0, f(x)单调递减,
当x>-3时, f'(x)≥0, f(x)单调递增,A错误.
又0
∵f(0)=0, f(-3)=e-3·(-3)3=-3e3<-1,
∴f(x)=-1有实数根,C正确.
设f(x)=kx,显然x=0是方程的根,
当x≠0时,k=f(x)x=ex·x2,设g(x)=ex·x2,则g'(x)=x(x+2)ex,
令g'(x)=0,得x=0或x=-2.当x发生变化时,g'(x),g(x)的变化情况如下表:
x
(-∞,-2)
-2
(-2,0)
0
(0,+∞)
g'(x)
+
0
-
0
+
g(x)
↗
4e2
↘
0
↗
画出y=g(x)的大致图象,如图,
∴当0
13.答案 6
解析 设等差数列{an}的公差为d.则3d=a6-a3=6,解得d=2.
所以a10-a7=3d=6.
14.答案 768
解析 由an+1=3Sn,得Sn+1-Sn=3Sn,即Sn+1=4Sn,又S1=a1=1,所以数列{Sn}是首项为1,公比为4的等比数列,所以Sn=4n-1,所以a6=S6-S5=45-44=3×44=768.
15.答案 x-y-1=0
解析 ∵f(x)=xg(x),∴f'(x)=g(x)+xg'(x).
∵曲线y=f(x)在(1, f(1))处的切线方程是x-y-1=0,
∴1-f(1)-1=0,f'(1)=1,∴f(1)=0,f'(1)=1.
∴f(1)=1×g(1)=0,f'(1)=g(1)+1×g'(1)=1,解得g(1)=0,g'(1)=1.
则曲线y=g(x)在(1,g(1))处的切线方程为y-0=1×(x-1),即x-y-1=0,
即切线方程为x-y-1=0.
16.答案 -4;16
解析 由4-x2=0可得x=2或x=-2,即2,-2是函数f(x)的零点,
∵f(x)=(4-x2)(x2+ax+b)的图象关于直线x=1对称,且(2,0),(-2,0)关于x=1对称的点分别为(0,0),(4,0),∴0,4也是函数f(x)的零点,
∴0,4是x2+ax+b=0的根,∴b=0,a=-4,∴a+b=-4,
∴f(x)=(4-x2)(x2-4x),∴f'(x)=-4(x-1)(x2-2x-4),
令f'(x)=0,得x=1或x=1-5或x=1+5.
当x>1+5或1-50, f(x)单调递增.
又当x→∞时, f(x)<0, f(1+5)=f(1-5)=16,∴f(x)的最大值为16.
四、解答题
17.解析 (1)设等差数列{an}的首项为a1,公差为d.
∵a2=3,a5=6,
∴a1+d=3,a1+4d=6,解得a1=2,d=1,(2分)
∴an=a1+(n-1)d=n+1.(4分)
(2)由(1)知an=n+1,∴bn=1anan+1=1(n+1)(n+2)=1n+1-1n+2,(6分)
∴Sn=b1+b2+…+bn=12-13+13-14+…+1n+1-1n+2(8分)
=12-1n+2=n2(n+2).(10分)
18.解析 (1)由已知得, f(x)的定义域为R,
f'(x)=ex(x-1)+ex-eax=x(ex-ea), f'(0)=0.
又f(0)=-1,∴切点坐标为(0,-1).
∴曲线y=f(x)在点(0,-1)处的切线方程为y=-1.(4分)
(2)由(1)知f'(x)=x(ex-ea).
令f'(x)=0,得x=0或x=a(a<0).
当x发生变化时, f'(x), f(x)的变化情况如下表:
x
(-∞,a)
a
(a,0)
0
(0,+∞)
f'(x)
+
0
-
0
+
f(x)
↗
极大值
↘
极小值
↗
∴f(x)在(-∞,a),(0,+∞)上单调递增,在(a,0)上单调递减.
∴f(x)在x=0处取得极小值,且极小值为f(0)=-1.(8分)
(3)由(2)知f(x)的极大值为f(a)=ea(a-1)-12eaa2=a-1-12a2ea<0(a<0),
f(0)=-1<0, f(2)=e2-2ea.
∵a<0,∴00.
∴函数f(x)的零点个数为1.(12分)
19.解析 (1)设等差数列{an}的首项为a1,公差为d,
令n=1,得1a1a2=13,所以a1a2=3.①(1分)
令n=2,得1a1a2+1a2a3=25,
所以a2a3=15.②(3分)
由①②得a1=1,d=2,所以an=2n-1.(5分)
(2)由(1)知bn=2n·22n-1=n·4n,
所以Tn=1·41+2·42+…+n·4n,
所以4Tn=1·42+…+(n-1)·4n+n·4n+1,(7分)
两式相减,得-3Tn=41+42+…+4n-n·4n+1(9分)
=4(1-4n)1-4-n·4n+1=1-3n3·4n+1-43,(11分)
所以Tn=3n-19·4n+1+49=4+(3n-1)·4n+19.(12分)
20.解析 (1)由题意得a1=2 000(1+50%)-d=3 000-d,a2=a1(1+50%)-d=32a1-d=4 500-52d,(2分)
an+1=an(1+50%)-d=32an-d.(5分)
(2)由(1)得an=32an-1-d=32·32an-2-d-d=322·an-2-32d-d=…=32n-1a1-d1+32+322+…+32n-2,(7分)
整理得an=32n-1(3 000-d)-2d·32n-1-1=32n-1(3 000-3d)+2d.(9分)
由题意知am=4 000,所以32m-1(3 000-3d)+2d=4 000,
解得d=32m-2×1 00032m-1
=1 000(3m-2m+1)3m-2m.(11分)
故该企业每年上缴资金d的值为1 000(3m-2m+1)3m-2m万元时,经过m(m≥3)年企业的剩余资金为4 000万元.(12分)
21.解析 (1)依题意得,∠AOC=2π3-θ2=π3-θ2,(2分)
则y=12×π3-θ2×202×40×2+12×202×sin θ×50+12×θ×202-12×202×sin θ×30
=16 000×π3-θ2+10 000sin θ+6 000θ-6 000sin θ
=16 000π3+4 000sin θ-2 000θ,0<θ<2π3.(6分)
(2)由(1)得,y'=4 000cos θ-2 000,
令y'=0,得cos θ=12,
又0<θ<2π3,所以θ=π3,(8分)
当0<θ<π3时,y'>0,当π3<θ<2π3时,y'<0,(10分)
所以θ=π3是函数的极大值点,且唯一;
所以当θ=π3时,日效益总量达到最大值.(12分)
22.解析 (1)由f(x)=ln(2x+a),
得f'(x)=22x+a,因此f'(1)=22+a.(1分)
又因为f(1)=ln(2+a),
所以曲线y=f(x)在点(1, f(1)处的切线方程为y-ln(2+a)=22+a(x-1),
即y=22+ax+ln(2+a)-22+a.(2分)
由题意得,ln(2+a)-22+a=ln 3-23,
易得a=1,符合上式.(3分)
令φ(a)=ln(2+a)-22+a(a>0),
则φ'(a)=12+a+2(2+a)2>0,
所以φ(a)为单调递增函数,故a=1是唯一解.(4分)
(2)由(1)可知,g(x)=ln(2x+1)-2x(x>0),h(x)=ln(2x+1)-2x2x+1(x>0),
则g'(x)=22x+1-2=-4x2x+1<0,
所以g(x)=f(x)-2x(x>0)为单调递减函数.(6分)
因为h'(x)=22x+1-2(2x+1)2=4x(2x+1)2>0,
所以h(x)=f(x)-2x2x+1(x>0)为单调递增函数.(8分)
(3)证明:由a1=25,an+1=f(an)=ln(2an+1),易得an>0.
所以5-2n+12n<1an-2等价于an<2n5.(9分)
由(2)可知,g(x)=f(x)-2x=ln(2x+1)-2x在(0,+∞)上为单调递减函数.
因此,当x>0时,g(x)
即an<2an-1.
因此,当n≥2时,an<2an-1<22an-2<…<2n-1·a1=2n5.
所以5-2n+12n<1an-2成立.(10分)
下面证明:1an-2<0.
由(2)可知,h(x)=f(x)-2x2x+1=ln(2x+1)-2x2x+1在(0,+∞)上为单调递增函数,
因此,当x>0时,h(x)>h(0)=0,
即f(x)>2x2x+1>0.
因此1f(x)<12x+1,即1f(x)-2<121x-2.
令x=an-1(n≥2),
得1f(an-1)-2<121an-1-2,
即1an-2<121an-1-2.
当n=2时,
1an-2=1a2-2=1f(a1)-2=1f25-2=1ln1.8-2.
因为ln 1.8>ln3>lne=12,
所以1ln1.8-2<0,所以1a2-2<0.(11分)
所以,当n≥3时,
1an-2<121an-1-2<1221an-2-2<…<12n-21a2-2<0.
所以,当n≥2时,1an-2<0成立.
综上所述,当n≥2时,5-2n+12n<1an-2<0成立.
(12分)
全书综合测评
(满分:150分;时间:120分钟)
一、单项选择题(本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)
1.已知等差数列{an}的公差d≠0,且a3+a6+a9=18,若an=6,则n为( )
A.12 B.8 C.6 D.4
2.已知函数f(x)=aln x+2,f'(e)=2,则a的值为( )
A.-1 B.1 C.2e D.e2
3.在等比数列{an}中,a2+a3=1,a4+a5=2,则 a6+a7=( )
A.2 B.22
C.4 D.42
4.我国古代数学名著《九章算术》中有如下问题:“今有女子善织,日自倍,五日织五尺,问日织几何?”意思是:“一女子善于织布,每天织出的布都是前一天的2倍,已知她5天共织布5尺,问这女子每天分别织布多少?”根据上述已知条件,该女子第3天所织布的尺数为( )
A.1031 B.2031 C.54 D.52
5.在等差数列{an}中,首项a1>0,公差d≠0,前n项和为Sn(n∈N*),且满足S3=S15,则Sn 的最大项为( )
A.S7 B.S8 C.S9 D.S10
6.已知函数f(x)=e-x(cos x+sin x),记f'(x)是f(x)的导函数,将满足f'(x)=0的所有正数x从小到大排成数列{xn},n∈N*,则f(xn)=( )
A.(-1)ne-(n+1)π B.(-1)n+1e-nπ
C.(-1)ne-nπ D.(-1)n+1e-(n+1)π
7.设奇函数f(x)在R上存在导函数f'(x),且在(0,+∞)上f'(x)
C.-∞,-12 D.12,+∞
8.已知定义在R上的函数y=f(x)满足:函数y=f(x-1)的图象关于直线x=1对称,且当x∈(-∞,0)时,有f(x)+xf'(x)<0(f'(x)是函数f(x)的导函数)成立.若a=sin 12·fsin 12, b=(ln 2)·f(ln 2),c=log1214·flog1214,则a,b,c的大小关系是(深度解析)
A.a>b>c B.b>a>c
C.c>a>b D.a>c>b
二、多项选择题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.
在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求,全部选对的得5分,部分选对的得3分,有选错的得0分)
9.设等差数列{an}的首项为a1,公差为d,其前n项和为Sn,已知S16>0,S17<0,则下列结论正确的是( )
A.a1>0,d<0
B.a8+a9>0
C.S8与S9均为Sn的最大值
D.a9<0
10.已知函数f(x)=ex-ln x-2,则下列说法正确的是( )
A. f(x)有且仅有一个极值点
B. f(x)有零点
C.若f(x)的极小值点为x0,则0< f(x0)<12
D.若f(x)的极小值点为x0,则12< f(x0)<1
11.已知数列{an}为等差数列,a1=1,且a2,a4,a8是一个等比数列中的相邻三项,记bn=anqan(q≠0,1),则{bn}的前n项和Sn可以是( )
A.n
B.nq
C.q+nqn+1-nqn-qn(1-q)2
D.q+nqn+2-nqn+1-qn+1(1-q)2
12.已知f(x)=ex·x3,则下列结论正确的是( )
A. f(x)在R上单调递增
B. f(log52)< f(e-12)
D.存在实数k,使得方程f(x)=kx有4个实数根
三、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.将答
案填在题中横线上)
13.在等差数列{an}中,已知a3=4,a6=10,则a10-a7= .
14.已知数列{an}的前n项和为Sn,若a1=1,an+1=3Sn(n∈N*),则a6= .
15.已知函数f(x)=xg(x),曲线y=f(x)在点(1, f(1))处的切线方程是x-y-1=0,则曲线y=g(x)在点(1,g(1))处的切线方程是 .
16.已知函数f(x)=(4-x2)(x2+ax+b)的图象关于直线x=1对称,则a+b= , f(x)的最大值为 .(第一空2分,第二空3分)
四、解答题(本大题共6小题,共70分.解答应写出必要
的文字说明、证明过程或演算步骤)
17.(本小题满分10分)在等差数列{an}中,a2=3,a5=6.
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)设bn=1anan+1,求数列{bn}的前n项和Sn.
18.(本小题满分12分)已知函数f(x)=ex(x-1)-12eax2,a<0.
(1)求曲线y=f(x)在点(0, f(0))处的切线方程;
(2)求函数f(x)的极小值;
(3)求函数f(x)的零点个数.
19.(本小题满分12分)已知数列{an}是首项为正数的等差数列,数列1anan+1的前n项和为n2n+1.
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)设bn=(an+1)·2an,求数列{bn}的前n项和Tn.
20.(本小题满分12分)某公司一下属企业从事某种高科技产品的生产.该企业第一年年初有资金2 000万元,将其投入生产,到当年年底资金增长了50%.预计以后每年资金年增长率与第一年的相同.公司要求企业从第一年开始,每年年底上缴资金d万元,并将剩余资金全部投入下一年生产.设第n年年底企业上缴资金后的剩余资金为an万元.
(1)用d表示a1,a2,并写出an+1与an的关系式;
(2)若公司希望经过m(m≥3)年使企业的剩余资金为4 000万元,试确定企业每年上缴资金d的值(用m表示).
21.(本小题满分12分)如图,有一块半径为20米,圆心角∠AOB=2π3的扇形展示台,该展示台分为四个区域:三角形OCD,弓形CMD,扇形AOC和扇形BOD(其中∠AOC=∠BOD).某次菊花展依次在这四个区域摆放:泥金香、紫龙卧雪、朱砂红霜、朱砂红霜.预计这三种菊花展示带来的日效益分别是:泥金香50元/米2,紫龙卧雪30元/米2,朱砂红霜40元/米2.
(1)设∠COD=θ,试建立日效益总量y关于θ的函数关系式;
(2)试探求θ为何值时,日效益总量达到最大值.
22.(本小题满分12分)已知函数f(x)=ln(2x+a)(x>0,a>0),曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线在y轴上的截距为ln 3-23.
(1)求a的值;
(2)讨论函数g(x)=f(x)-2x(x>0)和h(x)=f(x)-2x2x+1(x>0)的单调性;
(3)设a1=25,an+1=f(an),求证:5-2n+12n<1an-2<0(n≥2).
答案全解全析
一、单项选择题
1.C 由a3+a6+a9=18,得3a6=18,∴a6=6,
又an=6,∴an=a6,又d≠0,∴{an}为单调数列,∴n=6.故选C.
2.C 由f(x)=aln x+2得, f'(x)=ax,
∴f'(e)=ae=2,解得a=2e.故选C.
3.C 设等比数列{an}的公比为q,
则a4+a5a2+a3=a2q2+a3q2a2+a3=q2=2,
∴a6+a7=a4q2+a5q2=(a4+a5)q2=2×2=4.
故选C.
4.B 设该女子每天分别织布的尺数构成数列{an},则数列{an}为等比数列,设其首项为a1,公比为q,前n项和为Sn.则q=2,S5=5,
∴5=a1(1-25)1-2,解得a1=531,
∴a3=531×22=2031.故选B.
5.C 由S3=S15得,a4+a5+…+a15=0,
∴6(a9+a10)=0,即a9+a10=0.
又a1>0,∴a9>0,a10<0,
∴Sn的最大项为S9.故选C.
6.C f'(x)=-e-x(cos x+sin x)+e-x(-sin x+cos x)=-2e-xsin x.
令f'(x)=0,得-2e-xsin x=0,解得x=kπ,k∈Z,从而xn=nπ,n∈N*, f(xn)=(-1)ne-nπ.因为f(xn+1)f(xn)=-e-π,所以数列{f(xn)}是公比为-e-π的等比数列,其首项f(x1)=(-1)1e-π=-e-π.
其通项公式为f(xn)=(-1)ne-nπ,故选C.
7.D 由f(1-m)-f(m)≥13[(1-m)3-m3]得, f(1-m)-13(1-m)3≥f(m)-13m3,构造函数g(x)=f(x)-13x3,则g'(x)=f'(x)-x2<0.故g(x)在(0,+∞)上单调递减,由函数f(x)为奇函数可得g(x)为奇函数,故g(x)在R上单调递减,
因此原不等式可化为1-m≤m,解得m≥12,故选D.
8.A 由函数y=f(x-1)的图象关于直线x=1对称知,f(x)是偶函数,设g(x)=x·f(x),则g(x)是奇函数,且当x<0时,g'(x)=f(x)+x·f'(x)<0,即g(x)是减函数,∴当x>0时,g(x)也是减函数.
又0
即sin12fsin12>(ln 2)f(ln 2)>log1214flog1214.
∴a>b>c.
故选A.
解题模板 构造函数,利用单调性解决比较大小的问题中,掌握一些基本的大小关系可帮助解题,如本题中,当0
二、多项选择题
9.ABD ∵S16=16(a1+a16)2>0,
∴a8+a9=a1+a16>0,∴B正确.
又S17=17(a1+a17)2=17a9<0,∴a9<0,
∴a8>0,∴d=a9-a8<0,∴a1>0,∴A、D正确.
易知S8是Sn的最大值,S9不是Sn的最大值,∴C错误.故选ABD.
10.AC 由题意得, f(x)的定义域为(0,+∞),且f'(x)=ex-1x,设h(x)=f'(x),则h'(x)=ex+1x2>0,∴h(x)在(0,+∞)上单调递增,
又h12=e12-2=e-2<0,h(1)=e1-1>0,
∴h(x)存在唯一零点,设为x0,
当0
∴f(x)有唯一极小值点x0,∴A正确.
令f'(x0)=ex0-1x0=0,得ex0=1x0,
∴x0=ln1x0=-ln x0.
∴f(x0)=ex0-ln x0-2=1x0+x0-2
≥21x0·x0-2=0(当且仅当x0=1时等号成立),又12
∴f(x)无零点,∴B错误.
由f(x0)=1x0+x0-2,12
当12
11.BD 设等差数列{an}的公差为d,由题意得a42=a2a8,即(1+3d)2=(1+d)(1+7d),
∴d2-d=0,解得d=0或d=1.
当d=0时,an=a1=1,
∴bn=anqan=q,
∴{bn}的前n项和为nq,B正确.
当d=1时,an=n,
∴bn=n·qn(q≠0,1).
∴Sn=1×q+2×q2+…+nqn,
∴qSn=1×q2+…+(n-1)qn+n·qn+1,
∴(1-q)Sn=q+q2+…+qn-nqn+1=q(1-qn)1-q-nqn+1=q-qn+1+nqn+2-nqn+11-q.
又q≠1,∴Sn=q+nqn+2-nqn+1-qn+1(1-q)2,D正确.故选BD.
12.BCD f(x)=ex·x3,
∴f'(x)=ex(x3+3x2).
令f'(x)=0,得x=0或x=-3.
当x<-3时, f'(x)<0, f(x)单调递减,
当x>-3时, f'(x)≥0, f(x)单调递增,A错误.
又0
∵f(0)=0, f(-3)=e-3·(-3)3=-3e3<-1,
∴f(x)=-1有实数根,C正确.
设f(x)=kx,显然x=0是方程的根,
当x≠0时,k=f(x)x=ex·x2,设g(x)=ex·x2,则g'(x)=x(x+2)ex,
令g'(x)=0,得x=0或x=-2.当x发生变化时,g'(x),g(x)的变化情况如下表:
x
(-∞,-2)
-2
(-2,0)
0
(0,+∞)
g'(x)
+
0
-
0
+
g(x)
↗
4e2
↘
0
↗
画出y=g(x)的大致图象,如图,
∴当0
13.答案 6
解析 设等差数列{an}的公差为d.则3d=a6-a3=6,解得d=2.
所以a10-a7=3d=6.
14.答案 768
解析 由an+1=3Sn,得Sn+1-Sn=3Sn,即Sn+1=4Sn,又S1=a1=1,所以数列{Sn}是首项为1,公比为4的等比数列,所以Sn=4n-1,所以a6=S6-S5=45-44=3×44=768.
15.答案 x-y-1=0
解析 ∵f(x)=xg(x),∴f'(x)=g(x)+xg'(x).
∵曲线y=f(x)在(1, f(1))处的切线方程是x-y-1=0,
∴1-f(1)-1=0,f'(1)=1,∴f(1)=0,f'(1)=1.
∴f(1)=1×g(1)=0,f'(1)=g(1)+1×g'(1)=1,解得g(1)=0,g'(1)=1.
则曲线y=g(x)在(1,g(1))处的切线方程为y-0=1×(x-1),即x-y-1=0,
即切线方程为x-y-1=0.
16.答案 -4;16
解析 由4-x2=0可得x=2或x=-2,即2,-2是函数f(x)的零点,
∵f(x)=(4-x2)(x2+ax+b)的图象关于直线x=1对称,且(2,0),(-2,0)关于x=1对称的点分别为(0,0),(4,0),∴0,4也是函数f(x)的零点,
∴0,4是x2+ax+b=0的根,∴b=0,a=-4,∴a+b=-4,
∴f(x)=(4-x2)(x2-4x),∴f'(x)=-4(x-1)(x2-2x-4),
令f'(x)=0,得x=1或x=1-5或x=1+5.
当x>1+5或1-5
又当x→∞时, f(x)<0, f(1+5)=f(1-5)=16,∴f(x)的最大值为16.
四、解答题
17.解析 (1)设等差数列{an}的首项为a1,公差为d.
∵a2=3,a5=6,
∴a1+d=3,a1+4d=6,解得a1=2,d=1,(2分)
∴an=a1+(n-1)d=n+1.(4分)
(2)由(1)知an=n+1,∴bn=1anan+1=1(n+1)(n+2)=1n+1-1n+2,(6分)
∴Sn=b1+b2+…+bn=12-13+13-14+…+1n+1-1n+2(8分)
=12-1n+2=n2(n+2).(10分)
18.解析 (1)由已知得, f(x)的定义域为R,
f'(x)=ex(x-1)+ex-eax=x(ex-ea), f'(0)=0.
又f(0)=-1,∴切点坐标为(0,-1).
∴曲线y=f(x)在点(0,-1)处的切线方程为y=-1.(4分)
(2)由(1)知f'(x)=x(ex-ea).
令f'(x)=0,得x=0或x=a(a<0).
当x发生变化时, f'(x), f(x)的变化情况如下表:
x
(-∞,a)
a
(a,0)
0
(0,+∞)
f'(x)
+
0
-
0
+
f(x)
↗
极大值
↘
极小值
↗
∴f(x)在(-∞,a),(0,+∞)上单调递增,在(a,0)上单调递减.
∴f(x)在x=0处取得极小值,且极小值为f(0)=-1.(8分)
(3)由(2)知f(x)的极大值为f(a)=ea(a-1)-12eaa2=a-1-12a2ea<0(a<0),
f(0)=-1<0, f(2)=e2-2ea.
∵a<0,∴0
∴函数f(x)的零点个数为1.(12分)
19.解析 (1)设等差数列{an}的首项为a1,公差为d,
令n=1,得1a1a2=13,所以a1a2=3.①(1分)
令n=2,得1a1a2+1a2a3=25,
所以a2a3=15.②(3分)
由①②得a1=1,d=2,所以an=2n-1.(5分)
(2)由(1)知bn=2n·22n-1=n·4n,
所以Tn=1·41+2·42+…+n·4n,
所以4Tn=1·42+…+(n-1)·4n+n·4n+1,(7分)
两式相减,得-3Tn=41+42+…+4n-n·4n+1(9分)
=4(1-4n)1-4-n·4n+1=1-3n3·4n+1-43,(11分)
所以Tn=3n-19·4n+1+49=4+(3n-1)·4n+19.(12分)
20.解析 (1)由题意得a1=2 000(1+50%)-d=3 000-d,a2=a1(1+50%)-d=32a1-d=4 500-52d,(2分)
an+1=an(1+50%)-d=32an-d.(5分)
(2)由(1)得an=32an-1-d=32·32an-2-d-d=322·an-2-32d-d=…=32n-1a1-d1+32+322+…+32n-2,(7分)
整理得an=32n-1(3 000-d)-2d·32n-1-1=32n-1(3 000-3d)+2d.(9分)
由题意知am=4 000,所以32m-1(3 000-3d)+2d=4 000,
解得d=32m-2×1 00032m-1
=1 000(3m-2m+1)3m-2m.(11分)
故该企业每年上缴资金d的值为1 000(3m-2m+1)3m-2m万元时,经过m(m≥3)年企业的剩余资金为4 000万元.(12分)
21.解析 (1)依题意得,∠AOC=2π3-θ2=π3-θ2,(2分)
则y=12×π3-θ2×202×40×2+12×202×sin θ×50+12×θ×202-12×202×sin θ×30
=16 000×π3-θ2+10 000sin θ+6 000θ-6 000sin θ
=16 000π3+4 000sin θ-2 000θ,0<θ<2π3.(6分)
(2)由(1)得,y'=4 000cos θ-2 000,
令y'=0,得cos θ=12,
又0<θ<2π3,所以θ=π3,(8分)
当0<θ<π3时,y'>0,当π3<θ<2π3时,y'<0,(10分)
所以θ=π3是函数的极大值点,且唯一;
所以当θ=π3时,日效益总量达到最大值.(12分)
22.解析 (1)由f(x)=ln(2x+a),
得f'(x)=22x+a,因此f'(1)=22+a.(1分)
又因为f(1)=ln(2+a),
所以曲线y=f(x)在点(1, f(1)处的切线方程为y-ln(2+a)=22+a(x-1),
即y=22+ax+ln(2+a)-22+a.(2分)
由题意得,ln(2+a)-22+a=ln 3-23,
易得a=1,符合上式.(3分)
令φ(a)=ln(2+a)-22+a(a>0),
则φ'(a)=12+a+2(2+a)2>0,
所以φ(a)为单调递增函数,故a=1是唯一解.(4分)
(2)由(1)可知,g(x)=ln(2x+1)-2x(x>0),h(x)=ln(2x+1)-2x2x+1(x>0),
则g'(x)=22x+1-2=-4x2x+1<0,
所以g(x)=f(x)-2x(x>0)为单调递减函数.(6分)
因为h'(x)=22x+1-2(2x+1)2=4x(2x+1)2>0,
所以h(x)=f(x)-2x2x+1(x>0)为单调递增函数.(8分)
(3)证明:由a1=25,an+1=f(an)=ln(2an+1),易得an>0.
所以5-2n+12n<1an-2等价于an<2n5.(9分)
由(2)可知,g(x)=f(x)-2x=ln(2x+1)-2x在(0,+∞)上为单调递减函数.
因此,当x>0时,g(x)
即an<2an-1.
因此,当n≥2时,an<2an-1<22an-2<…<2n-1·a1=2n5.
所以5-2n+12n<1an-2成立.(10分)
下面证明:1an-2<0.
由(2)可知,h(x)=f(x)-2x2x+1=ln(2x+1)-2x2x+1在(0,+∞)上为单调递增函数,
因此,当x>0时,h(x)>h(0)=0,
即f(x)>2x2x+1>0.
因此1f(x)<12x+1,即1f(x)-2<121x-2.
令x=an-1(n≥2),
得1f(an-1)-2<121an-1-2,
即1an-2<121an-1-2.
当n=2时,
1an-2=1a2-2=1f(a1)-2=1f25-2=1ln1.8-2.
因为ln 1.8>ln3>lne=12,
所以1ln1.8-2<0,所以1a2-2<0.(11分)
所以,当n≥3时,
1an-2<121an-1-2<1221an-2-2<…<12n-21a2-2<0.
所以,当n≥2时,1an-2<0成立.
综上所述,当n≥2时,5-2n+12n<1an-2<0成立.
(12分)
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