高中人教A版 (2019)6.3 二项式定理免费一课一练

这是一份高中人教A版 (2019)6.3 二项式定理免费一课一练，共14页。试卷主要包含了下图中的数满足，在10的展开式中,求等内容，欢迎下载使用。

题组一 杨辉三角
1.如图是与杨辉三角有类似性质的三角形数垒,若a,b是某行的前两个数,当a=7时,b=( )

A.20B.21
C.22D.23
2.下图中的数满足:①第n行首尾两数均为n;②图中的递推关系与杨辉三角类似,则第n(n≥2)行的第2个数是 .
1
2 2
3 4 3
4 7 7 4
5 11 14 11 5
……
3.(2020广东江门一中高二上期末)观察如图所示的三角形数阵,则该数阵最后一行各数之和为 .
1
1 1
1 2 1
1 3 3 1
1 4 6 4 1
……
1 10 45 … 45 10 1
4.如图,在由二项式系数所构成的杨辉三角中,第 行中从左到右第14个与第15个数的比为2∶3.
1
1 1
1 2 1
1 3 3 1
1 4 6 4 1
1 5 10 10 5 1
……
题组二 二项式系数的性质
5.在(2-3x)15的展开式中,二项式系数的最大值为( )
A.C159B.C158C.-C159D.-C158
6.在(a-b)20的二项展开式中,二项式系数与第6项的二项式系数相同的项是( )
A.第15项B.第16项
C.第17项D.第18项
7.在(1-3x)n(n∈N*)的展开式中,偶数项的二项式系数的和为128,则展开式的中间项为( )
A.-4 536x4B.-5 670x4C.5 670x4D.4 536x4
8.(2020山东烟台高二下月考)若x+1xn(n∈N*)的展开式的二项式系数之和为64,则展开式的常数项为( )
A.10B.20C.30D.120
9.在(2x-3y)10的展开式中,求:
(1)各二项式系数的和;
(2)各项系数的和;
(3)奇数项的二项式系数的和与偶数项的二项式系数的和.
10.已知x-2x2n(n∈N*)的展开式的第5项的系数与第3项的系数之比是10∶1.
(1)求展开式中各项系数的和;
(2)求展开式中含x32的项;
(3)求展开式中系数最大的项和二项式系数最大的项.
能力提升练
题组一 杨辉三角
1.(2020浙江杭州第二中学高二期末,)如图所示的三角形数阵叫“莱布尼茨调和三角形”,它们是由整数的倒数组成的,第n行有n个数且两端的数均为1n(n∈N*,n≥2),每个数是它下一行左、右相邻两数的和,如11=12+12,12=13+16,13=14+112,……,则第10行第4个数字(从左往右数)为 .
11
12 12
13 16 13
14 112 112 14
15 120 130 120 15
……
2.(2020安徽合肥一中、安庆一中等六校高三上第一次素质测试,)我国南宋数学家杨辉在所著的《详解九章算法》一书中用如图所示的三角形解释二项展开式的系数规律,现把杨辉三角中的数从上到下,从左到右依次排列,得数列:1,1,1,1,2,1,1,3,3,1,1,4,6,4,1,…,记作数列{an},若数列{an}的前n项和为Sn,则S67= .
题组二 二项式系数的性质
3.(2020重庆第八中学高三下月考,)(mx+x)n(n∈N*)的展开式中,各二项式系数和为32,各项系数和为243,则展开式中x3的系数为( )

A.40B.30C.20D.10
4.(2020山东枣庄滕州一中高二下月考,)已知在3x-2xn(n∈N*)的展开式中,仅有第9项的二项式系数最大,则展开式的有理项的项数是( )
A.1B.2C.3D.4
5.(多选)(2020山东烟台高三新高考模拟,)已知ax2+1xn(a>0,n∈N*)的展开式的第5项与第7项的二项式系数相等,且展开式的各项系数之和为1 024,则下列说法正确的是( )
A.展开式的奇数项的二项式系数的和为256
B.展开式的第6项的系数与二项式系数相等且最大
C.展开式中存在常数项
D.展开式中含x15项的系数为45
6.(多选)(2020山东东营胜利一中高二下月考,)已知n为满足S=a+C271+C272+C273+…+C2727(a≥3)能被9整除的正整数a的最小值,则x-1xn的展开式中,二项式系数最大的项为( )
A.第6项B.第7项
C.第8项D.第9项
7.(2020上海浦东华东师范大学第二附属中学高二下月考,)已知(3x+x2)2n(n∈N*)的展开式的二项式系数和比(3x-1)n+1的展开式的偶数项的二项式系数和大992,求2x-1x20n的展开式中:
(1)二项式系数最大的项;
(2)系数的绝对值最大的项.
8.(2020河北衡水高二下月考,)在x-13xn(n≠7,且n∈N*)的展开式中,
(1)若所有二项式系数之和为256,求展开式中二项式系数最大的项;
(2)若第3项的系数的14倍是第2项与第4项的系数的绝对值之和的9倍,求展开式中各项的系数的绝对值之和.
答案全解全析
6.3.2 二项式系数的性质
基础过关练
1.C 观察题图可知,从第三行开始,每一行除开始和末尾的两个数外,中间的数分别是其“两肩”上相邻两个数的和,当a=7时,b的“两肩”上的第一个数为6,第二个数为16,所以b=6+16=22.
2.答案 n2-n+22
解析 由题图中数字的规律可知,第n(n≥2)行的第2个数是1+2+3+…+(n-1)+1=n(n-1)2+1=n2-n+22.
3.答案 1 024
解析 由题图得最后一行各数之和为C100+C101+C102+…+C1010=210=1 024.
4.答案 34
解析 ∵在第n(n≥14,n∈N*)行中,即(a+b)n的展开式中,第14个与第15个二项式系数分别为Cn13和Cn14,∴Cn13∶Cn14=2∶3,即3n!13!(n-13)!=2n!14!(n-14)!,∴n=34.
5.B (2-3x)15的展开式中共有16项,中间的两项为第8项和第9项,这两项的二项式系数相等且最大,为C157=C158,故选B.
6.B 第6项的二项式系数为C205,又C2015=C205,所以第6项与第16项的二项式系数相同,故选B.
7.C 偶数项的二项式系数的和为2n-1=128=27,即n=8,故展开式的中间项为T5=C84×(-3x)4=5 670x4.故选C.
8.B ∵Cn0+Cn1+…+Cnn=2n=64,
∴n=6,
∴该式为x+1x6,其展开式的通项为
Tr+1=C6rx6-2r,
令6-2r=0,得r=3,
∴常数项为T4=C63=20,
故选B.
9.解析 (1)(2x-3y)10的展开式中各二项式系数的和为C100+C101+C102+…+C1010=210=1 024.
(2)令x=1,y=1,得(2×1-3×1)10=1=a0+a1+a2+…+a10,
所以各项系数的和为1.
(3)(2x-3y)10的展开式中奇数项的二项式系数的和为C100+C102+C104+…+C1010=29=512,
偶数项的二项式系数的和为C101+C103+…+C109=29=512.
10.解析 由题意知,第5项的系数为Cn4·(-2)4,第3项的系数为Cn2·(-2)2,则Cn4(-2)4Cn2(-2)2=10,
化简得n2-5n-24=0,解得n=8或n=-3(舍去),故该式为x-2x28.
(1)令x=1,得各项系数的和为(1-2)8=1.
(2)展开式的通项为Tr+1=C8r(x)8-r·-2x2r=C8r(-2)rx4-5r2,
令4-5r2=32,得r=1,故展开式中含x32的项为T2=-16x32.
(3)展开式中的第r项,第r+1项,第r+2项的系数的绝对值分别为C8r-1·2r-1,C8r·2r,C8r+1·2r+1,设第r+1项的系数的绝对值最大,
则C8r-1·2r-1≤C8r·2r,C8r+1·2r+1≤C8r·2r,解得5≤r≤6(r∈N*).
又第6项的系数为负,所以系数最大的项为T7=1 792x-11.
由n=8知第5项的二项式系数最大,即T5=1 120x-6.
能力提升练
1.答案 1840
解析 将杨辉三角中的每一个数Cnr都换成分数1(n+1)Cnr即可得到“莱布尼茨调和三角形”,杨辉三角中,第10行第4个数字为C93=84,所以“莱布尼茨调和三角形”中第10行第4个数字为110×84=1840.
2.答案 2 048
解析 将数列{an}中的项从上到下,从左到右排成杨辉三角.如图所示:
1
1 1
1 2 1
1 3 3 1
1 4 6 4 1
……
使得行数与该行的项数相等,则第k行最后一项在数列{an}中的项数为k(k+1)2,
设a67位于第k(k∈N*)行,则k(k-1)2<67≤k(k+1)2,解得k=12,
且第11行最后一项在数列{an}中的项数为11×122=66,
∴a67位于杨辉三角的第12行第1个,
而第一行各项的和为20=1,第二行各项的和为21=2,第三行各项的和为22=4,
依此类推,第k行各项的和为2k-1,
∴S67=(20+21+22+…+210)+C110=1-2111-2+1=211=2 048.
3.D (mx+x)n的展开式中,各二项式系数和为2n=32,∴n=5.
令x=1,可得各项系数的和为(m+1)5=243=35,∴m=2,
∴(mx+x)n=(2x+x)5,其展开式的通项为Tr+1=C5r·25-r·x5-r2,令5-r2=3,可得r=4,
故展开式中x3的系数为C54×2=10,故选D.
4.C ∵3x-2xn的展开式中,仅有第9项的二项式系数最大,∴n=16,
∴3x-2xn=3x-2x16,其展开式的通项为Tr+1=C16r(3x)16-r-2xr=(-2)rC16r·x32-5r6,
当32-5r6∈Z时,Tr+1为有理项,
∵0≤r≤16且r∈Z,∴r=4,10,16符合要求,
∴有理项有3项,分别为第5,11,17项.
故选C.
5.BCD 由ax2+1xn的展开式的第5项与第7项的二项式系数相等可知n=10,
又展开式的各项系数之和为1 024,即当x=1时,(a+1)10=1 024,所以a=1,
所以ax2+1xn=(x2+x-12)10,
其展开式的各二项式系数的和为210=1 024,则奇数项的二项式系数的和为12×1 024=512,故A错误;
由n=10可知展开式共有11项,中间项的二项式系数最大,即第6项的二项式系数最大,因为x2与x-12的系数均为1,所以展开式的各项的二项式系数与系数相同,即第6项的系数与二项式系数相等且最大,故B正确;
若展开式中存在常数项,则展开式中存在x的指数为0的项,由通项Tr+1=C10rx2(10-r)·x-12r=C10rx20-52r,可得当20-52r=0,即r=8时,符合要求,故C正确;
由通项Tr+1=C10rx20-52r可得,当20-52r=15时,r=2,所以展开式中含x15项的系数为C102=45,故D正确.
故选 BCD.
6.AB S=a+C271+C272+C273+…+C2727
=a+C270+C271+C272+…+C2727-1=a+227-1=(9-1)9+a-1=C9099-C9198+C9297-C9396+C9495-C9594+C9693-C9792+C989-C99+a-1
=9(98-C9197+…+C98)+a-2,
∵a≥3,∴S能被9整除的正整数a的最小值是a-2=9,∴a=11.
∴n=11,
∴x-1xn=x-1x11,其展开式的二项式系数最大的项为第6,7项.
故选AB.
7.解析 (3x+x2)2n的展开式的二项式系数和为22n,
(3x-1)n+1的展开式的偶数项的二项式系数和为2n+1-1=2n.
由题意得22n-2n=992,解得n=5,所以2x-1x20n=2x-1x100.
(1)2x-1x100的展开式中二项式系数最大的项为第51项,即C10050(2x)50-1x50=250C10050.
(2)2x-1x100的展开式的通项为Tr+1=C100r(2x)100-r-1xr=C100r·2100-r·(-1)r·x100-2r,其系数的绝对值为C100r·2100-r,设系数的绝对值最大的项是第k+1项,则C100k·2100-k≥C100k+1·2100-(k+1),C100k·2100-k≥C100k-1·2100-(k-1),解得983≤k≤1013,∵k≤100,k∈N,∴k=33,
∴系数的绝对值最大的项为第34项,即T34=C10033·(2x)67·-1x33=-C10033·267·x34.
8.解析 (1)由已知得Cn0+Cn1+…+Cnn=256,
∴2n=256,∴n=8,
∴展开式中二项式系数最大的项是第5项,即C84(x)4-13x4=7081.
(2)易得x-13xn的展开式的通项为Tr+1=-13rCnrxn2-r(r=0,1,…,n),
∵第3项的系数的14倍是第2项与第4项的系数的绝对值之和的9倍,
∴19Cn2×14=13Cn1+127Cn3×9,解得n=10或n=7(舍去),
因为x-13x10的展开式中各项的系数的绝对值之和与x+13x10的展开式中各项的系数之和相等,
所以对于x+13x10,令x=1,得1+1310=4310,即x-13x10的展开式中各项的系数的绝对值之和为4310.