数学7.1 条件概率与全概率公式课堂检测

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7.1.1 条件概率
基础过关练
题组一 利用定义求条件概率
1.(2020山东日照第一中学高三上期中)根据历年气象统计资料,某地四月份吹东风的概率为730,既吹东风又下雨的概率为110.则该地四月份在吹东风的条件下,下雨的概率为( )
A.311B.37C.711D.110
2.(2020广东顺德高三第三次教学质量检测)已知一种元件的使用寿命超过1年的概率为0.8,超过2年的概率为0.6,若一个这种元件使用到1年时还未失效,则这个元件使用寿命超过2年的概率为( )
B.0.6
3.(2020辽宁沈阳实验中学高三上月考)每场足球比赛的时间为90分钟,若比赛过程中体力消耗过大,则运动员腿部会发生抽筋现象,无法继续投入到比赛之中.某足球运动员在比赛前70分钟抽筋的概率为20%,比赛结束前20分钟抽筋的概率为50%.若某场比赛中该运动员已经顺利完成了前70分钟的比赛,那么他能顺利完成90分钟比赛的概率为( )
A.45B.310C.58D.25
4.(2020东北三省哈尔滨师大附中、东北师大附中、辽宁省实验中学三校高三第一次联合模拟考试)近年来,新能源汽车技术不断推陈出新,新产品不断涌现,在汽车市场上影响力不断增大.动力蓄电池技术作为新能源汽车的核心技术,它的不断成熟也是推动新能源汽车发展的主要动力.假定现在市售的某款新能源汽车上,车载动力蓄电池充放电循环次数达到2 000次的概率为85%,充放电循环次数达到2 500次的概率为35%.若某用户的自用新能源汽车已经经过了2 000次充电,那么该用户的车能够充电2 500次的概率为 .
题组二 由样本点数求条件概率
5.已知6个高尔夫球中有2个不合格,每次任取1个,不放回地取两次.在第一次取到合格高尔夫球的条件下,第二次取到不合格高尔夫球的概率为( )
A.35B.25C.23D.310
6.(2020福建南平高级中学高二下期中)同时抛掷一颗红骰子和一颗蓝骰子,观察向上的点数,记“红骰子向上的点数小于4”为事件A,“两颗骰子的点数之和等于7”为事件B,则P(B|A)=( )
A.12B.13C.14D.16
7.(2020山东烟台高二下期中)甲、乙、丙3位大学毕业生去4个工厂实习,每位毕业生只能选择其中的一个工厂实习,设“3位大学毕业生去的工厂各不相同”为事件A,“甲独自去一个工厂实习”为事件B,则P(A|B)= ( )
A.23B.13C.34D.58
8.(2020山东济宁高三二模)已知n是一个三位数,若n的十位数字大于个位数字,百位数字大于十位数字,则称n为递增数.已知a,b,c∈{0,1,2,3,4},设事件A为“由a,b,c组成一个三位数”,事件B为“由a,b,c组成的三位数为递增数”,则P(B|A)=( )
A.35B.110C.225D.1225
9.某班组织甲、乙、丙等5名同学参加演讲比赛,现采用抽签法决定演讲顺序,在学生甲不是第一个出场,学生乙不是最后一个出场的前提下,学生丙第一个出场的概率为( )
A.313B.413C.14D.15
10.甲、乙等4人参加4×100米接力赛,在甲不跑第一棒的条件下,乙不跑第二棒的概率是 .
题组三 条件概率的综合应用
11.(2020东北三省四市教研联合体高考模拟)从集合{-3,-2,-1,1,2,3,4}中随机选取一个数记为m,从集合{-2,-1,2,3,4}中随机选取一个数记为n,则在方程x2m+y2n=1表示双曲线的条件下,方程x2m+y2n=1表示焦点在y轴上的双曲线的概率为( )
A.917B.817
C.1735D.935
12.(2020河南南阳高二下期中)某校从学生文艺部6名成员(4男2女)中挑选2人参加学校举办的文艺汇演活动.
(1)求男生甲被选中的概率;
(2)求在已知男生甲被选中的条件下,女生乙被选中的概率;
(3)在要求被选中的两人中必须一男一女的条件下,求女生乙被选中的概率.
13.某险种的基本保费为a(单位:元),继续购买该险种的投保人称为续保人,续保人本年度的保费与其上年度出险次数的关联如下:
设该险种一续保人一年内出险次数与相应概率如下:
(1)求该续保人本年度的保费高于基本保费的概率;
(2)已知该续保人本年度的保费高于基本保费,求其保费比基本保费高出60%的概率.
14.(2020湖北荆门高三下模拟)某学校为进一步规范校园管理,强化饮食安全,提出了“远离外卖,健康饮食”的口号.当然,也需要学校食堂能提供安全丰富的菜品来满足同学们的需求.在某学期期末,校学生会为了调研学生对本校食堂的用餐满意度,从用餐的学生中随机抽取了200人,每人分别对其评分,满分为100分.随后整理评分数据,将得分分成6组:第1组[40,50),第2组[50,60),第3组[60,70),第4组[70,80),第5组[80,90),第6组[90,100],得到频率分布直方图如图.
(1)求得分的中位数(精确到小数点后一位);
(2)为进一步改善经营,从得分在80分以下的四组中,采用分层随机抽样的方法抽取8人进行座谈,再从这8人中随机抽取3人参与“端午节包粽子”实践活动,求在第3组仅抽到1人的情况下,第4组抽到2人的概率.
答案全解全析
第七章 随机变量及其分布
7.1 条件概率与全概率公式
7.1.1 条件概率
基础过关练
1.B 设事件A表示该地四月份吹东风,事件B表示该地四月份下雨,
则P(A)=730,P(AB)=110,
根据条件概率计算公式可得,该地四月份在吹东风的条件下,下雨的概率P(B|A)=P(AB)P(A)=110730=37.故选B.
2.A 记事件A表示该元件使用寿命超过1年,事件B表示该元件使用寿命超过2年,
则P(A)=0.8,P(AB)=0.6,
因此,若一个这种元件使用到1年时还未失效,则这个元件使用寿命超过2年的概率为P(B|A)=P(AB)P(A)=,故选A.
3.C 设事件A表示该足球运动员在比赛前70分钟不抽筋,事件B表示该足球运动员在比赛结束前20分钟不抽筋,
则P(A)=0.8,P(AB)=0.5,
所以他能顺利完成90分钟比赛的概率为P(B|A)=P(AB)P(A)=
故选C.
4.答案 717
解析 记“该用户的自用新能源汽车已经经过了2 000次充电”为事件A,“该用户的车能够充电2 500次”为事件B,
则P(A)=0.85,P(AB)=0.35,
由条件概率计算公式可得P(B|A)=P(AB)P(A)=
5.B 记事件A表示第一次取到的是合格高尔夫球,事件B表示第二次取到的是不合格高尔夫球,则“第一次取到合格高尔夫球的条件下,第二次取到不合格高尔夫球”为事件AB.
由题意可得,事件AB发生所包含的样本点数n(AB)=4×2=8,
事件A发生所包含的样本点数n(A)=4×5=20,
所以P(B|A)=n(AB)n(A)=820=25.
故选B.
6.D 由题意得,n(A)=3×6=18,n(AB)=3,
则P(B|A)=n(AB)n(A)=318=16.
故选D.
7.A 由题意得,n(B)=C41×32=36,
n(AB)=A43=24,
则P(A|B)=n(AB)n(B)=2436=23.
故选A.
8.B 因为a,b,c∈{0,1,2,3,4},
所以由a,b,c组成的三位数有4×5×5=100个,即n(A)=100.
其中满足递增数的有以下三类:
①当百位为2时,有1个;
②当百位为3时,有C32=3个;
③当百位为4时,有C42=6个,
所以n(AB)=1+3+6=10.
因此P(B|A)=n(AB)n(A)=10100=110.
故选B.
9.A 设事件A为“学生甲不是第一个出场,学生乙不是最后一个出场”,事件B为“学生丙第一个出场”,
则n(A)=A44+C31C31A33=78,
n(AB)=C31A33=18,
则P(B|A)=n(AB)n(A)=1878=313.
10.答案 79
解析 由题意得,甲不跑第一棒的总的样本点数为C31A33=18,
甲不跑第一棒,乙跑第二棒的样本点数为C21A22=4,
所以甲不跑第一棒,乙不跑第二棒的样本点数为18-4=14,
所以在甲不跑第一棒的条件下,乙不跑第二棒的概率P=1418=79.
11.A 设事件A为“方程x2m+y2n=1表示双曲线”,事件B为“方程x2m+y2n=1表示焦点在y轴上的双曲线”,
由题意得,P(A)=3×3+4×27×5=1735,
P(AB)=3×37×5=935,
则P(B|A)=P(AB)P(A)=917.故选A.
12.解析 (1)从6名成员中挑选2名成员,有C62=15种情况,
记“男生甲被选中”为事件M,若男生甲被选中,则只需再从另外5人中选1人,有C51=5种选法,
故P(M)=515=13.
(2)记“男生甲被选中”为事件M,“女生乙被选中”为事件N,
则P(MN)=115,又由(1)知P(M)=13,所以P(N|M)=P(MN)P(M)=15.
(3)记“被选中的两人为一男一女”为事件S,
则P(S)=C41C21C62=815,
“女生乙被选中”为事件N,
则P(SN)=C41C62=415,
故P(N|S)=P(SN)P(S)=12.
13.解析 (1)设A表示事件“该续保人本年度的保费高于基本保费”,
则事件A发生即一年内出险次数大于1,
故P(A)=0.2+0.2+0.1+0.05=0.55.
(2)设B表示事件“该续保人本年度的保费比基本保费高出60%”,
则事件B发生即一年内出险次数大于3,
故P(B)=0.1+0.05=0.15.
易知P(AB)=P(B),
故P(B|A)=P(AB)P(A)=P(B)P(A)=
14.解析 (1)由0.05+0.05+0.10+0.15+0.45+10a=1,得a=0.020.
设得分的中位数为x,易知80≤x<90,
则0.05+0.05+0.10+0.20+(x-80)×0.045=0.5,得x≈82.2.
所以得分的中位数约为82.2.
(2)第1,2,3,4组的人数分别为10,10,20,40,
从第1,2,3,4组采用分层随机抽样的方法抽取8人,
则从第1,2,3,4组应分别抽取的人数为1,1,2,4.
从8人中抽取3人,记第3组仅抽到1人为事件A,第4组抽到2人为事件B,
则P(B|A)=C21C42C83C21C62C83=25.
即在第3组仅抽到1人的情况下,第4组抽到2人的概率为25. 上年度
出险次数
0
1
2
3
4
≥5
保费
0.85a
a
1.25a
1.5a
1.75a
2a
一年内
出险次数
0
1
2
3
4
≥5
概率
0.3
0.15
0.2
0.2
0.1
0.05