物理必修 第二册第七章 万有引力与宇宙航行综合与测试复习练习题

第七章　万有引力与宇宙航行

本章复习提升

易混易错练

易错点1　混淆地面物体所受重力和万有引力

1.(2020江西南昌八一中学高一下期中,)假设地球可视为质量均匀分布的球体,已知地球表面的重力加速度在两极的大小为g0,在赤道的大小为g;地球自转的周期为T,引力常量为G,则地球的半径为(　　)

A.  B.       C.  D.

易错点2　混淆万有引力表达式中的r和向心力表达式中的r

2.()宇宙中,两颗靠得比较近的恒星,受到彼此的万有引力作用而互相绕转,称为双星系统。双星以两者连线上的某点为圆心做匀速圆周运动,不会因万有引力作用而吸在一起(不考虑其他天体对它们的影响)。已知双星的质量分别为m1和m2,相距L,求它们运转的角速度ω。

某个同学对本题的解答如下:

设质量分别为m1、m2的两星体的运动轨道半径为r1、r2,则得

G=m1r1ω2①

G=m2r2ω2②

r1+r2=L③

联立①②③三式解得ω=

(1)该同学的解答是正确的还是错误的?请你作出判断,并对你的判断作出解释;

(2)对题中给出的求解问题,写出你自己的解答过程和结果。

易错点3　混淆卫星的发射速度、运行速度

3.(2020江苏淮安淮阴高一下期中,)2020年1月7日,我国成功发射通信技术试验卫星五号,该卫星属于地球静止轨道卫星,即地球同步卫星。该卫星(　　)

A.入轨后的速度大于第一宇宙速度

B.发射速度大于第一宇宙速度

C.发射速度大于第二宇宙速度

D.入轨后可以定点于淮安市正上方

易错点4　混淆卫星的稳定运行速度和动态变轨速度

4.(2019湖南益阳赫山高一下期中,)2019年春节电影《流浪地球》热播,观众分析《流浪地球》中的发动机推动地球的原理:行星发动机通过逐步改变地球绕太阳运行的轨道,达到极限以后通过引力弹弓效应弹出地球,整个流浪时间长达几十年。具体过程如图所示,轨道1为地球公转的近似圆轨道,轨道2、3为椭圆轨道,P、Q为椭圆轨道3长轴的端点。以下说法正确的是(　　)

A.地球在1、2、3轨道的运行周期分别为T1、T2、T3,则T1>T2>T3

B.地球在1、2、3轨道运行时经过P点的速度分别为v1、v2、v3,则v1>v2>v3

C.地球在3轨道运行时经过P、Q点的速度分别为vP、vQ,则vP<vQ

D.地球在1轨道P点加速后进入2轨道,在2轨道P点再加速后进入3轨道

易错点5　混淆赤道上物体随地球自转与卫星绕地球运动的区别

5.(2020天津静海四校高二上联考,)西昌卫星发射中心的火箭发射架上,有一待发射的卫星,它随地球自转的线速度为v1、加速度为a1;发射升空后在近地轨道上做匀速圆周运动,线速度为v2、加速度为a2;实施变轨后,使其在同步卫星轨道上做匀速圆周运动,运动的线速度为v3、加速度为a3。则v1、v2、v3的大小关系和a1、a2、a3的大小关系是(　　)

A.v3>v2>v1;a3>a2>a1  B.v2>v3>v1;a2>a3>a1

C.v2>v3>v1;a2<a3<a1  D.v3>v2>v1;a2>a3>a1

思想方法练

一、估算法

1.(2019山东济南历下高三模拟,)2019年4月10日,黑洞事件视界望远镜合作组织协调召开全球六地联合新闻发布会,宣布成功捕获到人类历史上的首张黑洞“照片”,这是人类第一次“凝视”曾经只存在于理论中的天体。如果把太阳压缩到半径大小只有3 km且质量不变,太阳就变成了一个黑洞,连光也无法从太阳表面逃逸。已知逃逸速度是第一宇宙速度的倍,光速为3×108 m/s,G=6.67×10-11 N·m2·kg-2,则根据以上信息可知太阳的质量约为(　　)

A.2×1028 kg  B.2×1030 kg

C.8×1031 kg  D.8×1033 kg

2.(2020北京清华附中高一下期末,)土星周围有美丽壮观的“光环”,组成环的颗粒是大小不等、线度从1 μm到10 m的岩石、尘埃,类似于卫星,它们与土星中心的距离从3.0×104 km延伸到1.4×105 km。已知环的外缘颗粒绕土星做圆周运动的周期约为14小时,引力常量G=6.67×10-11 N·m2/kg2,则土星的质量最接近以下哪个值(估算时不考虑环中颗粒间的相互作用)(　　)

A.6×1015 kg  B.6×1017 kg

C.6×1024 kg  D.6×1026 kg

二、数形结合思想

3.()(多选)某行星外围有一圈厚度为d的发光物质,简化为如图甲所示模型,R为该行星除发光带以外的半径。现不知发光带是该行星的组成部分还是环绕该行星的卫星群,某科学家做了精确观测后发现:发光带绕行星中心运行的速度与到行星中心的距离r的关系如图乙所示(图中所标v0为已知),则下列说法正确的是(　　)

A.发光带是该行星的组成部分

B.行星表面的重力加速度g=

C.该行星的质量为

D.该行星的平均密度为

4.()两颗互不影响的行星P1、P2,各有一颗近地卫星S1、S2绕其做匀速圆周运动。图中纵轴表示行星周围空间某位置的向心加速度a,横轴表示某位置到行星中心距离r平方的倒数,a-关系如图所示,卫星S1、S2的向心加速度大小均为a0。则(　　)

A.S1的质量比S2的大

B.P1的质量比P2的大

C.P1的第一宇宙速度比P2的小

D.P1的平均密度比P2的大

三、割补思想

5.()如图所示,一个质量均匀分布的半径为R的球体对球外质点P的万有引力为F。如果在球体中央挖去半径为r的一部分球体,且r=,则原球体剩余部分对质点P的万有引力大小变为(　　)

A.F  B.F  C.F  D.F

6.(2019河北衡水高二下期末,)如图所示,一个质量为M的匀质实心球,半径为R。从球内挖去一个直径为R的小球,放在距离为d的地方,求两者之间的引力。

答案全解全析

易混易错练

1.A　在地球两极,物体所受重力等于万有引力,即有mg0=;在赤道处,物体所受万有引力和支持力的合力提供向心力,其中支持力的大小等于物体的重力,则有-mg=mR;联立解得R=,选项A正确,B、C、D错误。

易错分析

解答本题容易出错的地方是:混淆赤道上物体受到的万有引力和物体的重力,不明白物体受到的万有引力F、重力mg和向心力之间的关系。

2.答案　见解析

解析　(1)该同学的解答是错误的。解释如下:计算天体做匀速圆周运动的向心力时,应用万有引力提供向心力,万有引力表达式中的r和向心力表达式中的r始终是同一个量导致错误。

(2)双星间的万有引力提供它们做圆周运动所需的向心力,有

G=m1r1ω2①

G=m2r2ω2②

r1+r2=L③

联立①②③三式解得ω=

易错分析

解答本题易犯的错误是混淆万有引力表达式和向心力表达式中两个r的真实含义。实际上,万有引力表达式F=G中的r表示两个物体质心之间的距离,向心力表达式F=m=mω2r中的r表示物体做匀速圆周运动的轨道半径,可见这两个公式中的r的含义是不同的。

3.B　第一宇宙速度是所有环绕地球做圆周运动的卫星的最大运行速度,则通信技术试验卫星五号入轨后的速度小于第一宇宙速度,选项A错误;第一宇宙速度是所有环绕地球做圆周运动的卫星的最小发射速度,则通信技术试验卫星五号的发射速度大于第一宇宙速度,选项B正确;通信技术试验卫星五号的发射速度不能大于第二宇宙速度(11.2 km/s),否则会摆脱地球的束缚,选项C错误;地球同步卫星只能定点在赤道的上空,则通信技术试验卫星五号入轨后不能定点于淮安市正上方,选项D错误。

易错分析

在解答卫星发射速度与运行速度相关的题目时,同学们容易出错的地方有两个:一是弄不清轨道半径越大卫星的运行速度越小的特点;二是不明白三个宇宙速度的含义。

4.D　根据题图结合开普勒第三定律=k可知地球在1、2、3轨道的运行周期关系为T1<T2<T3,选项A错误。地球从轨道1上的P点进入轨道2要做离心运动,需点火加速,可知v1<v2;同理,地球从轨道2上的P点进入轨道3要做离心运动,需点火加速,可知v2<v3;所以有v1<v2<v3,选项B错误,D正确。根据开普勒第二定律可知,地球在近日点的速度比在远日点的速度大,即vP>vQ,选项C错误。

易错分析

因为行星运行的圆轨道半径越大,其运行速度越小,不少同学就错误地用这条规律来分析地球在1、2、3轨道经过P点的速度;实际上,地球在同一椭圆轨道上运行的速度大小是变化的,不能用圆轨道上的运行速度规律来分析选项B、D,应该用变轨速度的规律分析。

5.B　对于近地卫星和地球同步卫星,有G=ma=m,解得a=,v=,可知v2>v3、a2>a3;待发射卫星和地球同步卫星的角速度相等,根据v=ωr可知v3>v1,根据a=ω2r可知a3>a1;综合以上分析可知v2>v3>v1、a2>a3>a1,选项B正确。

易错分析

待发射的卫星不是运行的卫星,是随地球一起转动的物体,其所受的万有引力是大于向心力的,不能用卫星运行规律来分析它的运动特点。此类问题最佳的突破方法是用同步卫星作为纽带,先将同步卫星与其他运行的卫星进行对比,再将同步卫星与随地球一起转动的物体进行对比。

思想方法练

1.B　把太阳压缩到半径大小只有3 km且质量不变,太阳就变成了一个黑洞,光无法从太阳表面逃逸,故有G=m,其中v=,解得M== kg=2×1030 kg,选项B正确。

2.D　环的外缘颗粒绕土星做圆周运动,万有引力提供向心力,有G=mr,解得M=,其中r为轨道半径,大小为1.4×105 km,T为周期,约为14 h,代入数据得M≈6.4×1026 kg,最接近6×1026 kg,选项D正确。

3.BC　若发光带是该行星的组成部分,则其角速度与行星自转的角速度相同,有v=ωr,v与r应成正比,与题图乙不符,因此发光带不是该行星的组成部分,选项A错误;当r=R时,有mg=m,得行星表面的重力加速度g=,选项B正确;发光带是环绕该行星的卫星群,由万有引力提供向心力,有G=m,得该行星的质量M=,由题图乙知,当r=R时,v=v0,则有M=,选项C正确;该行星的平均密度为ρ==,选项D错误。

4.B　由万有引力提供卫星做圆周运动的向心力,有G=ma,得a=,不能判断近地卫星S1、S2的质量大小,由a-图线斜率表示GM大小,知P1的质量大于P2的质量,选项A错误,B正确;设行星的第一宇宙速度为v,则a0=,v=,由图得P1的半径比P2的半径大,a0相等,可知P1的第一宇宙速度比P2的大,选项C错误;行星密度ρ===,>,a0相等,故<,选项D错误。

5.C　设原球体的质量为M,质点P的质量为m0,球心与质点P的距离为L。根据m=ρπr3知,挖去部分的小球的质量m=M,没挖去前,原球体对质点P的引力F=G,挖去的部分对质点P的引力F'==F,则剩余部分对质点P的引力F″=F-F'=F。故选C。

6.答案　GM2

解析　匀质球体的质量M=πR3·ρ∝R3,可知挖去的小球体和剩余部分的质量分别为m=,M'=。利用割补法,先将挖去小球体后剩余部分转化为理想模型,即用同样的材料将其填补为实心球,这时两者之间的引力为F=G=G;填补的小球体对挖去的小球体的引力ΔF=G=G,所以,剩余部分与挖去的小球之间的引力为F'=F-ΔF=GM2