物理必修 第二册4 生活中的圆周运动巩固练习

第六章　圆周运动

专题强化练4　水平面内的圆周运动的临界问题

非选择题

1.(2020天津静海六校高三上期中,)如图所示,圆盘可绕过圆心O的竖直轴在水平面内匀速转动,物体P放在圆盘上,一轻质弹簧一端连接物体P,另一端固定在竖直轴上。已知物体的质量m=0.5 kg,弹簧的自然长度l0=10 cm,劲度系数k=75 N/m,物体与圆盘表面间的动摩擦因数μ=0.8。物体P可看作质点,最大静摩擦力等于滑动摩擦力,g取10 m/s2。当圆盘以角速度ω=5 rad/s 转动时,P与圆盘相对静止,弹簧恰处于原长。求:

(1)此时P对圆盘的作用力都有哪些,各为多大?

(2)为使P与圆盘保持相对静止,求弹簧长度的取值范围。(假设弹簧不会超出弹性限度)

2.(2020湖南长沙明德中学高一下月考,)如图所示,两轻绳系一质量为m=0.1 kg的小球,上面绳长L=2 m,两绳都拉直时与竖直轴的夹角分别为37°和53°,取g=10 m/s2,sin 37°=0.6,cos 37°=0.8。问:当小球绕轴转动的角速度为4 rad/s时,上、下两绳拉力分别为多大?

3.(2020安徽合肥肥东二中高二上月考,)如图所示,在光滑的圆锥体顶端用长为L的细线悬挂一质量为m的小球。圆锥体固定在水平面上不动,其轴线沿竖直方向,母线与轴线之间的夹角θ=30°。现使小球绕圆锥体的轴线在水平面内做匀速圆周运动。

(1)当小球角速度ω1=时,求细线对小球的拉力;

(2)当小球角速度ω2=时,求细线对小球的拉力。

4.(2020江苏扬州中学高三上月考,)如图所示的水平转盘可绕竖直轴OO'旋转,盘上的水平杆上穿着两个质量均为m=2 kg的小球A和B。现将A和B分别置于距轴rA=0.5 m和rB=1 m处,并用不可伸长的轻绳相连。已知两球与杆之间的最大静摩擦力都是fm=1 N。试分析转盘的角速度ω从零逐渐缓慢增大(短时间内可近似认为是匀速转动),两球与杆保持相对静止过程中,在满足下列条件下ω的大小。

(1)绳中刚要出现张力时的ω1;

(2)A、B中某个球所受的摩擦力刚要改变方向时的ω2,并指明是哪个球的摩擦力方向改变;

(3)两球相对杆刚要滑动时的ω3。

答案全解全析

1.答案　(1)见解析　(2)7 cm~23 cm

解析　(1)物体P受力如图:

静摩擦力f提供P做匀速圆周运动所需的向心力,P的角速度与圆盘的角速度相同,运动半径r=l0=0.1 m,则

f=mω2r=2.5 N

圆盘对P的支持力N=mg=5 N

根据牛顿第三定律可知物体P对圆盘有大小为2.5 N的静摩擦力和大小为5 N的压力。

(2)物体P所受最大静摩擦力fm=μmg=4 N。当弹簧长度最短时,弹簧处于压缩状态,P受到指向圆心的最大静摩擦力,设此时弹簧的压缩量为x1,满足fm-kx1=mω2(l0-x1),解得x1=3 cm,对应弹簧长度为l1=l0-x1=7 cm;当弹簧长度最长时,弹簧处于伸长状态,P受到背向圆心的最大静摩擦力,设此时弹簧的伸长量为x2,满足kx2-fm=mω2(l0+x2),解得x2=13 cm,对应弹簧长度为l2=l0+x2=23 cm。

2.答案　0　2.4 N

解析　因为上面绳长L=2 m,由几何关系知下面的绳长为L'=1.5 m。

当小球转动的角速度ω很小时,绳AC与竖直轴的夹角很小,BC绳并不张紧。当ω逐渐增大,直至AC绳与竖直轴的夹角为37°时,BC绳才被拉直,但BC绳中的张力仍然为零,设此时小球的角速度为ω1,则有

TAC cos 37°=mg

TAC sin 37°=mL sin 37°

将已知条件代入上式解得ω1=2.5 rad/s

当角速度ω继续增大时,TAC减小,TBC增大。设角速度达到ω2时,TAC=0,则有

TBC cos 53°=mg

TBC sin 53°=mL sin 37°

解得ω2=3.33 rad/s

因为ω=4 rad/s>3.33 rad/s,所以AC绳松弛,拉力为0,BC绳张紧,设此时BC绳与竖直轴的夹角为θ,则有

TBC sin θ=mω2L' sin θ

解得TBC=2.4 N。

3.答案　(1)mg　(2)mg

解析　(1)小球离开圆锥体的临界条件为圆锥体对小球的支持力为FN=0

由牛顿第二定律可得mg tan θ=mL sin θ

解得ω0=

因ω1=<ω0,FN≠0,对小球进行受力分析,如图甲所示,根据牛顿第二定律有

T1 sin θ-N1 cos θ=mL sin θ

T1 cos θ+N1 sin θ-mg=0

解得T1=mg

甲

乙

(2)因ω2=>ω0,小球离开圆锥体,对小球进行受力分析如图乙所示,设细线与竖直方向的夹角为α,由牛顿第二定律得

T2 sin α=mL sin α

解得T2=mg。

4.答案　(1)0.7 rad/s　(2)1 rad/s　A球　(3)1.4 rad/s

解析　(1)当ω较小时,有fA=FnA=mω2rA,fB=FnB=mω2rB

因rB>rA,所以随角速度增大,B球所受静摩擦力先达到最大,此后绳子开始出现张力。

对B球有fm=FnB=mrB

解得ω1== rad/s≈0.7 rad/s。

(2)当绳上出现张力后,对B球:fm+T=FnB=mω2rB

对A球:fA+T=FnA=mω2rA

当ω增大时,T增大,fA减小,当fA减小到0时,

对A球:T=FnA=mrA,对B球:fm+T=FnB=mrB

联立解得ω2==1 rad/s。

当ω继续增大时,fA的方向反向,直至A球和B球一起向B球一侧滑动。

(3)A、B两球相对杆刚要滑动时,对A球:T-fm=FnA=mrA,对B球:fm+T=FnB=mrB

联立解得ω3== rad/s≈1.4 rad/s。