【专项练习】备战中考数学58种模型专练 29.弦图及推广图在三角形面积最大值中的应用（含答案）

弦图及推广图在某些三角形面积最大值中的应用

    弦图由我国三国时期数学家赵爽发现与研究的，由四个全等的直角三角形拼成的内外都为正方形(外正方形的边为直角三角形的斜边)的一个图形，如下图1、弦(斜边)在外的弦图称为外弦图，如下图2中的弦在内的弦图称为内弦图.

    弦图一般用来证明勾股定理之外，笔者研究发现还可以用来求某些直角三角形面积最大值问题.

例1.(1)求斜边为4的直角三角形面积的最大值；

    (2)求直角边之和为4的直角三角形面积的最大值.

解：(1) 如图3，取4个这样的全等直角三角形组         成外弦图，直角三角形面积等于外正方形的面         积减去内正方形面积的差再除以4的结果.

外正方形的面积为16，

当这种这种直角三角形的两条直角边相等时，

内正方形的面积为0，直角三角形的面积最大，         故斜边为4的直角三角形面积最大值为:

16÷4=4.

        (2)如图4，取4个这样的全等直角三角形组成         内弦图，同样，直角三角形面积等于外正方形         的面积减去内正方形面积的差再除以4的结           果.

外正方形的面积为16，当内正方形的半径最小时，内正方形的面积取得最小值，而内正方形的半径最小值为2，此时直角三角形的两边相等，故直角三角形的面积最大值为：×2×2=2.

    分析与反思：这2道问题略有不同，差别在于已知条件的不同，一个是斜边为定值，一个是直角边之和为定值，因而选择不同的弦图，那么为什么要选择弦图来解决这类问题呢？当然这2个问题的解决还有许多方法，不一一列举了，经过观察，我们能发现，首先，直角三角形最大角是直角，正多边形内角为直角的仅仅是正方形，而且，直角三角形两个锐角之和也为直角，因此，此类问题都可以运用弦图来解决.

拓展：既然这类直角三角形面积最大值问题可以用弦图来解答，那么其他斜三角形的某些面积最大值能否找到类似方法呢？这是肯定的，但是仅限于特殊内角的三角形，大家看看例2.

例2.(1)一个三角形的一条边为4，其对角为120°，求该三角形面积的最大值；

(2)一个三角形的两边之和为4，这两边的夹角为120°，求该三角形面积的最大值.

解：(1)如图5，取3个这样符合条件的全等三角形拼成正三角形，

外正三角形的面积为：×4×=.

        当内正三角形面积为0，即该三角形为等腰三角形时，三角形面积有最大值，最大值为：÷3=.

        (2)如图6，取6个这样符合条件的全等三角形拼成正六边形，外正六边形的面积为：×4××6=×6=.

        当内正六边形面积最小，即半径最小，即半径垂直外正六边形的边时，

        内正六边形的边长为，面积为：××3×6=×6=.

        故这样的三角形面积最大值为：(－)÷6=.

    质疑：是否所有三角形面积最大值问题都有类似解法呢？我们下面来看看例3.

    例3.(1)一个三角形一个内角是45°，其对边为定值，求证：当该角的两条夹边相等时，该三角形的面积最大.

         (2)一个三角形一个内角是45°，该角的两条夹边之和为定值，求证：当这2条边相等时，该三角形的面积最大.

         证明：(1)如图7，取8个这样的三角形组成正八边形，45°角的对边为              该正八边形的边.

             ∵该三角形45°角所对的边为定值，

             ∴该图形中的外正八边形的面积为定值.

             当45°角的两条夹边不等时，该图形会产生一个内正八边形，

             当45°角的两条夹边相等时，这8个三角形45°角的顶点会重合，

             从而不产生内正八边形.

             ∴当该角的两条夹边相等时，该三角形的面积最大，恰等于这个正               八边形面积的八分之一.

               (2)如图8，取8个这样的三角形按一定方向组成一个正八边形，              45°角所对的边为正八边形的边，这样就形成了一个“八角星”，

             依次连接“八角星”的8个顶点，这样又产生了外正八边形.

             外正八边形和内正八边形之间的环形区域由8个两直角边为

             的直角三角形和8个两边为且夹角为45°的三角                 形组成.

             这两类三角形面积比值为：：=.

             令环形面积为S，则这2个两类三角形面积之和为S.

             ∴这种三角形面积为：S×S.

             那么何种情形下，环形面积最大呢？

             显然，当时，直角三角形的斜边(外正八边形的边)最             大[例1(2)有详细严谨的证明]，而且45°角的对边最小(不                是很严谨)，外、内正八边形的面积分别最大和最小，环形面积最大！

             ∴当这2条夹边相等时，该三角形面积最大.

    分析与反思：例3(1)依然有类似于例1(1)、例2(1)的方法解决，但是例3(2)的解决之法与例1(2)、例2(2)的方法相去甚远，而且证明过程中对于内正八边形的最小面积的证明不是很有说服力，若要毫无破绽地证明，那么需要其他方面的知识！这与我们用更简单的方法来证明此类问题的目的背离了！这不如直接利用三角形面积公式、余弦定理和基本不等式来证明！原因何在？我们观察例1(2)与例2(2)，发现90°和120°都可以成为一个正多边形的内角，而没有任何一个正多边形的内角可以是45°！我们应当放弃这种方法！

    拓展：这类三角形面积最大值问题可分为两类：第一类为：已知一角的大小及对边的长度，第二类：已知一角的大小及两条夹边的长度之和.例1(1)、例2(1)、例3(1)都属于第一类，例1(2)、例2(2)、例3(2)都属于第二类.第一类对应的图形为图3、图5、图7，第二类对应的图形为图4、图6.这5个图形除了图3、图4称之为弦图，剩下3个图形都与弦图有很大的类似！我们不妨来个定义：对于有一个内角为的三角形，把若干个这样的三角形拼成一个正多边形，象图3、图5、图7这样都是由剩下的2个内角的和作为正多边形的内角，我们称之为该三角形的“关联正多边形Ⅰ型”，象图4、图6这样直接由该角作为正多边形的内角，我们称之为干三角形的“关联正多边形Ⅱ型”.

    总结与归纳：

    此类三角形面积最大值问题能否类似于弦图来解决，关键在于这个三角形的某个内角或某2个内角之和能不能成为一个正多边形的内角.

    1.当有一个内角为的三角形的对边已知，能成为一个正多边形的外角(即剩下2个角的和可成为正多边形的内角)时，我们用“关联正多边形Ⅰ型”来证明或解答其面积最大值；

    2.当有一个内角为的三角形，能成为一个正多边形的内角，2条夹边和为定值时，我们用“关联正多边形Ⅱ型”来证明或解答其面积最大值.

练习：

求一个内角为150°，且2条夹边之和为8的三角形的面积最大值.