【专项练习】备战中考数学58种模型专练 22.单线段最值问题整合（含答案）

这是一份【专项练习】备战中考数学58种模型专练 22.单线段最值问题整合（含答案），共8页。试卷主要包含了单动点，圆中的弦，动态折叠等内容，欢迎下载使用。

一、单动点
若要求最值的线段一端为定点，另一端为动点，则需要研究动点所在轨迹，一般为圆或直线．
点在直线上运动
点 P 是直线l 上一动点， A 是直线外一点，求 AP 的最小值． 过点 A 作 AP  l ，垂足为 P ，则 AP  AP ．
A
l
PP'
点在圆上运动
点 P 为 O 上一动点， A 是圆外一点，求 AP 的最值．
连接 AO 并延长，交 O 于 P1 、 P2 两点，则 AP1  AP  AP2 ．
P
O
P1
P
A
2
例1. 如图，已知正方形 ABCD ，AB  2 ，E 、F 分别在 BC 、CD 上运动，且 BE  CF ，AE 、
BF 交于点G ，则CG 的最小值为 ．
例2. 如图，在平面直角坐标系中，已知点 A2, 4 ，点 P 1, 0  ， B 是轴 y 上一动点，过点 A
作 AB  AC 交 x 轴于点C ， M 是 BC 中点，则 PM 的最小值为 ．
例3. 如图，在平面直角坐标系中，已知矩形OABC 的顶点 A 在 y 轴上，OA  3，OC  4 ，D 是线段 AB 上一动点， 以 CD 为边在与点 B 同侧作正方形 CDEF ，则 OE 的最小值为
．
G
y
E
A
D
B
F
O
C
Dy
F
EC
例 1
xx
B
A
M
O
PC
例 2例 3
例4. 如图，在边长为a 的等边△ABC 中，AD  BC ，点 E 是直线 AD 上的一个动点，连接CE ， 把线段CE 绕点C 逆时针旋转60 得到CF ，连接 DF ，则 DF 的最小值为 ．
例5. 如图，在Rt△ABC 中，ACB  90 ， AC  BC  4 ， D 是 BC 边上一动点，连接 AD 交以CD 为直径的圆于点 E ，则 BE 的最小值为 ．
例6. 如图，在△ABC 中， ACB  90 ， BAC  30 ， BC  2 ， D 是 AB 边上一点，以 AD 为边在△ABC 外侧作等边△ADE ，过点 D 作 DE 的垂线，F 是垂线上一点，G 是 EF 中点， 则CG 的最小值为 ．
E
D
E
D
A
ABFGE
D
BCCA
B
例 6
F
例 4例 5
多动点转化为单动点
双动点转单动点
例7. 如图，在Rt△ABC 中，C  90 ， AC  4 ， BC  3， D 是 AC 上一动点， DE  AC ，
DF  BC ，则 EF 的最小值为 ．
例8. 如图， A 与 x 轴交于 B 2, 0 、C 4, 0 两点，点 P 是 y 轴上一动点，DP 切A 于点 D ， 则 DP 的最小值为 ．
A
O
B
C
D
P
Ay
D
Ex
CFB
例 8
例 7
相对运动转化
例9. 如图，在坐标系中，点 A 、B 分别在 x 、y 轴上运动，且 AB  2 ，在第一象限作等边△ABC ， 则OC 的最大值为 ．
例10.如图，在坐标系中，点 A 、B 分别在 x 轴、直线 y  x 上运动，且 AB  2 ，以 AB 为边在点O 异侧作等边△ABC ，则OC 的最大值为 ．
C
B
O
A
B
C
O
A
yy
xx
例 10
例 9
二、圆中的弦
圆中的弦，由半径与圆心角（圆周角）决定，若圆心角固定，则弦的最值转化为半径的最值． 半径的最值问题可以转化为单动点问题，也可以由半径与弦的关系求得（ 0  l  2r ）．
例11.如图，在△ABC 中， AB  AC  8 ， BAC  120 ， D 在线段 BC 上且 CD  3BD ，
点 E 、 F 分别在射线 BA 、CA 上，若EDF  60 ，则 EF 的最小值为 ．
例12.如图，已知 y   3 x2  9 x  6 与 x 轴交于 A 、B 两点，与 y 轴交于点C ，D 是线段
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BC 上一动点， P 是 AD 中点．过点 D 分别作 AB 、AC 的垂线，垂足为 E 、F 两点，则 EF
的最小值为 ．
例13.如图，在Rt△ABC 中， AC  6 ， BC  8 ， P 、Q 是 AC 、BC 上的动点，△CPQ 的外接圆，恰好与直线 AB 相切，则 PQ 的最小值为 ．
O E
A
P
B
D
F
C
Q
CyA
D
F
BEA
例 11
xP
CB
例 13
三、动态折叠
例 12
动态折叠的情况更加复杂，可以转化为单动点问题，也可能无法转化．
例14.如图，在Rt△ABC 中， ACB  90 ， AC  6 ， BC  4 ， D 是 AC 中点， E 在 BC
上运动，沿 DE 折叠，使点C 落在C 处，则 BC 的最小值为 ．
例15.如图，在Rt△ABC 中， ACB  90 ， AC  6 ， BC  8 ， D 、 E 分别是 AC 、 BC
上的动点，沿 DE 折叠，使点C 落在C 处，则 AC 的最小值为 ．
例16.如图，已知等边△ABC ，边长为4 ， D 、 E 是 AC 、 AB 上两动点，沿 DE 折叠， 使点 A 恰好落到 BC 上，则CD 的最大值为 ．
C'
C'
AAA
E
D
DD
CEBCE
C
B
BA'
例 14例 15
例 16
单线段最值问题（二）——连锁轨迹
邓晋荣例1. 如图，在△ABC 中， AB  2 ， AC  3 ，以 BC 作等边△BCD ， B 、D 、C 三点为逆时针顺序，则 AD 的最大值为 ．
例2. 如图，在平面直角坐标系中，已知矩形OABC 的顶点 A 在 y 轴上，OA  3，OC  4 ，D 是线段 AB 上一动点， 以 CD 为边在与点 B 同侧作正方形 CDEF ，则 OE 的最小值为
．
例3. 如图，在边长为a 的等边△ABC 中，AD  BC ，点 E 是直线 AD 上的一个动点，连接CE ， 把线段CE 绕点C 逆时针旋转60 得到CF ，连接 DF ，则 DF 的最小值为 ．
y
E
A
D
B
F
O
C
E
D
AA
BC
BC
x
D
F
例 1例 2
例 3
\l "_bkmark0" 实际上，例 1 可以修改如下：
例4. 如图， AC  3 ，点 B 在以 A 为圆心，半径为2 的圆上运动，以 BC 为边作等边△BCD ，
B 、C 、 D 三点为逆时针顺序，则 AD 的最大值为 ． 思考，我们能否证明点 D 也在某个圆上运动？
\l "_bkmark1" 如果把例 4 中的等边三角形改为等腰直角三角形呢？
例5. 如图， AC  3 ，点 B 在以 A 为圆心，半径为 2 的圆上运动，以 BC 为斜边作等腰直角
△BCD ， B 、C 、 D 三点为逆时针顺序，则 AD 的最大值为 ．
D
B
A
D
B
AC
C
例 4例 5
如何准确确定动点所在的轨迹？直线轨迹的位置或者解析式，圆轨迹的圆心和半径。
位似变换
如图， A 是定点，点 P 在直线 BC （或 O ）上运动， M 是 AP 中点
A （定点）
M （从动点）
A （定点）
B'C'
M （从动点）
（主动点） P
（从动点） M
O'
A （定点）
P （主动点）
O
BC
P （主动点）
旋转变换（旋转型全等）
如图， A 是定点，点 P 在直线 BC （或 O ）上运动，作等腰直角△APQ ， PAQ  90
（此处可以看作点 P 绕点 A 逆时针旋转90 ）
A （定点/旋转中心）
（从动点） P
Q （主动点）
B
（从动点）
P
A （定点/旋转中心）
C'
Q
（主动点） P
A （定点）
O'
CB'
（主动点）
OQ
（从动点）
旋转位似变换（旋转型相似）
如图， A 是定点，点 P 在直线 BC （或 O ）上运动，作等腰直角△APQ ， APQ  90
2
（此处可以看作点 P 绕点 A 逆时针旋转45 后，再以点 A 为位似中心扩大倍）
A （定点）
（主动点） P
Q （从动点）
A （定点）
A （定点）

P
（主动点）
C
Q （从动点）
BC'
O
O'
（从动点） Q
（主动点） P
B'
结论 1：若某动点（称为主动点）在某轨迹上运动，则与其连锁运动的点（称为从动点）也在同样的轨迹上运动。主动点在某直线上运动，从动点也在另一直线上运动；主动点在某圆上运动，从动点也在另一圆上运动。
（此处的“连锁运动”即指主动点经过固定几何变换得到从动点）
结论 2：若主动点圆上运动，则应该把圆心进行同样的几何变换，得到从动点的圆心；若主动点在直线上运动，则选择该直线上任意一点，进行同样的几何变换，变换后的点与从动点
构成从动点所在直线。之后，再通过“手拉手”模型进行推导证明。结论 3：主动点所在轨迹与从动点所在轨迹的长度之比等于位似比。
例6. 如图，在四边形 ABCD 中，ABC  ADC  90 ， AD  CD  2 2 ， E 是 BD 中点，则
CE 的最小值为 ．
例7. 如图，在坐标系中，点 A3, 0 ，点 B 在直线 y  
3x 
3 上运动，以 AB 为边作等边
△ABC ， B 、 A 、C 三点为逆时针顺序，则OC 的最小值为 ．
例8. 如图， AB 是 O 的直径，C 是OB 上一点， P 是 O 上一动点，以CP 为底边作等腰直角△CPD ，P 、C 、D 三点为逆时针顺序，若 AB  6 ，OC  2 ，则 AD 的最小值为 ．
A
E
C
B
O
A
D
OC
DyP
AB
B
C
例 6x
例 8
例 7
例9. 如图，点O 在线段 AB 上， OA  1， OB  2 ，以点O 为圆心， OA 长为半径作 O ，点P 在 O 上运动，以 BP 为边作△BCP ，使PBC  90 ， tanBPC  2 ， P 、 B 、C 三点为逆时针顺序，则 AC 的取值范围是 ．
例10. 如图，在平面直角坐标系中，已知点 A2, 4 ，点 P 1, 0 ， B 是轴 y 上一动点， 过点 A 作 AB  AC 交 x 轴于点C ， M 是 BC 中点，则 PM 的最小值为 ．
B
A
M
O
PC
Cy
P
O
B
Ax
例 10
例 9
单线段最值问题练习
练1. 如图，在 O 中，半径为6 ，C 是 O 上一动点，且ACB  30 ，延长CB 交过点 A 的切线于点 D ，则 BD 的最小值为 ．
练2. 如图，点 A 是直线 y  x 上的动点，点 B 在 x 轴上运动，作矩形 ABCD ，AB  2 ，AD  1 ，
A 、 B 、C 、 D 四点为逆时针顺序，则OD 的最大值为 ．
练3. 如图，在等边△ABC 中，AB  3 ，点 D 、E 分别在 BC 、AC 上运动，且 BD  CE ，AD 交 BE 于点 F ，则CF 的最小值为 ．
O
B
D
C
A
O
B
E
F
CyA
ADx
练 1
练 2
BDC
练 3
练4. 如图，在菱形 ABCD 中， AC  2 ，BD  4 ，P 是CD 上一动点，分别作点 P 关于 AC 、
AD 的对称点 P1 、 P2 ，则 P1P2 的最小值为 ．
练5. 如图，已点 A3, 0 ， C 0,  4 ， C 的半径为2 ，点 P 是 C 上一动点， M 是 AP 中
点，则OM 的最小值为 ．
练6. 如图，已知 O 半径为3 ，A 、B 是 O 上两点，将点 B 绕点 A 逆时针旋转90 得到点C ， 则OC 的最小值为 ．
A
O
M
C
P
A
C
O
Ay
BDxB
P
C
练 4
练 6
练 5
练7. 如图，AB 是 O 的直径，C 是 AB 中点，D 是 BC 上一动点，过点C 作CE  CD 交 AD
于点 E ，则 BE 的最小值为 ．
练8. 如图，在等边△ABC 中， D 是 BC 上一动点， M 是 AD 中点，将线段 DM 绕点 D 顺时针旋转60 得到 DN ．当点 D 从点 B 运动到点C 时，点 N 运动的轨迹长为 ．
3
练9. 如图，已知定点 A 横坐标为 2，过点 A 且垂直于 x 轴的直线交 x 轴于点 M ，交直线
y  x 于点 N ． P 是线段ON 上一动点，作△APB ， BAP  90 ， APB  30 ， A 、 P 、
B 三点为逆时针顺序．当点 P 从点O 运动到点 N 时，点 B 运动的轨迹长为 ．
A
B
O
M
P
N
CAy
D
E
O
M
N
AB
x
BDC
练 7练 8
练 9
练10.如图，AP  3 ，BP  4 ，作正方形 ABCD ，A 、B 、C 、D 四点为逆时针顺序，CP 的最大值为 ．
练11.如图等边△ABC 中， P 是 AC 边上一动点，作△BDP ， PBD  30 ， PB  PD ，
P 、 B 、 D 三点为逆时针顺序，则CD 的最小值为 ．
△ADE
练12.如图，△ABC，BAC  DAE  90 ，AB  6 ，AC  8 ，F 是 DE 中点，
若点 D 在直线 BC 上运动，连接CF ，则线段CF 的最小值为 ．
P
F
ADAA
PE
D
BC
BCBCD
练 10练 11练 12
练13.如图，已知菱形 ABCD ，AB  8 ，BAD  60 ，P 在线段 BC 上，CP  3，Q 是 AD
上一动点，沿 PQ 折叠四边形 ABPQ ，得到四边形 ABPQ ，当 DB 最小时， DQ 的值为
．
练14.如图，在△ABC 中， C  30 ， AC  3 ，3  BC  6 ，点 D 、E 分别在 AB 、 AC
上，将△ADE 沿 DE 折叠，使点 A 恰好落在 BC 上，则CE 的最大值为 ．
D
E
AQDA
BPC
练 13
BA'
C
练 14