【专项练习】备战中考数学58种模型专练 20.辅助圆思想（含答案）

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 辅助圆思想     【例1】         在中，，是的中点，是线段上的动点，将线段绕点顺时针旋转得到线段．        ⑴ 若且点与点重合（如图1），线段的延长线交射线于点，请补全图形，并写出的度数；        ⑵ 在图2中，点不与点重合，线段的延长线与射线交于点，猜想的大小（用含的代数式表示），并加以证明；（2012年北京中考节选）【解析】       ⑴ 图略，．⑵ 如图，连接，   根据对称性可知，，   以为圆心、长为半径作，   则，   ∴．  【例2】         已知：中，，中，，．连接、，点、、分别为、、的中点．            ⑴ 如图1，若、、三点在同一直线上，且，则的形状是___________，此时________；⑵ 如图2，若、、三点在同一直线上，且，证明，并计算的值（用含的式子表示）；（海淀一模）【解析】       ⑴ 等边三角形，1； ⑵ 证明：连接、．由题意，得，，．∵、、三点在同一直线上，∴、、三点在同一直线上．∴．∵为中点，∴在中，．在中，．∴．∴、、、四点都在以为圆心，为半径的圆上．∴．又∵，∴．∴．∴．由题意，，又．∴．∴．在Rt中，．∵， ∴．∴．    【例3】         已知，是的平分线．将一个直角的直角顶点在射线上移动，点不与点重合．如图，当直角的两边分别与射线、交于点、时，请判断与的数量关系，并证明你的结论；            【解析】       与的数量关系是相等  ． 常规证法：过点作，，垂足分别为点．∵，易得，∴，而，∴．∵是的平分线，∴，又∵，∴．∴．         辅助圆证法：∵，∴四点共圆，        ∵平分，∴，∴．  【例4】         如图，四边形是正方形，是上一点，交的外角平分线于，求证：．        【解析】       连接∵四边形是正方形，∴，∵是外角平分线，∴，∴，∵，∴四点共圆，∴，∴，∴．    【例5】         在矩形ABCD中，点P在AD上，AB=2，AP=1，将三角板的直角顶点放在点P处，三角板的两直角边分别能与AB、BC边相交于点E、F，连接EF．⑴ 如图，当点E与点B重合时，点F恰好与点C重合，求此时PC的长；⑵ 将三角板从⑴中的位置开始，绕点P顺时针旋转，当点E与点A重合时停止，在这个过程中，请你观察、探究并解答：① ∠PEF的大小是否发生变化？请说明理由；② 直接写出从开始到停止，线段EF的中点所经过的路线长．     备用图（朝阳一模）【解析】       ⑴ 在矩形ABCD中，，AP=1，CD=AB=2，∴PB= ，．∵，∴．∴．∴ △ABP∽△DPC．∴，即．∴PC=2．⑵ ① ∠PEF的大小不变．理由：过点F作FG⊥AD于点G．∴四边形ABFG是矩形．∴．∴GF=AB=2，．∵，∴．∴．∴ △APE∽△GFP.   ∴．∴在Rt△EPF中，tan∠PEF=． 即tan∠PEF的值不变．∴∠PEF的大小不变． ② .          辅助圆证法：         连接，         ∵，∴四点共圆，         ∴，∴不会发生变化．    【例6】         如图，在四边形中，是的平分线，若，求证：． 【解析】       ∵，∴是圆内接四边形，∵平分，∴，∴．   【例7】         已知：如图，正方形中，为对角线，，将绕顶点逆时针旋转（），旋转后角的两边分别交于点、点，交于点、点，联结．在的旋转过程中，的大小是否改变？若不变写出它的度数，若改变，写出它的变化范围． 【解析】       ∵是对角线，∴，∵，∴四点共圆，∴，∴的大小不发生改变．  
【例8】         （海淀区2010-2011学年度第一学期初三期末25）如图一，在△ABC中，分别以AB，AC为直径在△ABC外作半圆和半圆，其中和分别为两个半圆的圆心. F是边BC的中点，点D和点E分别为两个半圆圆弧的中点. ⑴ 连结，证明：；⑵ 如图二，过点A分别作半圆和半圆的切线，交BD的延长线和CE的延长线于点P和点Q，连结PQ，若∠ACB=90°,DB=5，CE=3，求线段PQ的长;⑶ 如图三，过点A作半圆的切线，交CE的延长线于点Q，过点Q作直线FA的垂线，交BD的延长线于点P，连结PA. 证明：PA是半圆的切线.                【解析】       ⑴ 如图一，∵，，F分别是AB，AC，BC边的中点，∴F∥AC且F =A，F∥AB且F =A，∴∠BF=∠BAC，∠CF=∠BAC，∴∠BF=∠CF∵点D和点E分别为两个半圆圆弧的中点，∴F =A=E，F =A=D，∠BD =90°，∠CE =90°，∴∠BD=∠CE.∴∠DF=∠FE.∴. ⑵ 如图二，延长CA至G，使AG=AQ,连接BG、AE.∵点E是半圆圆弧的中点，∴AE=CE=3∵AC为直径，∴∠AEC=90°，∴∠ACE=∠EAC =45°，AC==，∵AQ是半圆的切线，∴CA⊥AQ，∴∠CAQ=90°，∴∠ACE=∠AQE=45°，∠GAQ=90°   ∴AQ=AC=AG=同理：∠BAP=90°，AB=AP=∴CG=,∠GAB=∠QAP∴，∴PQ=BG∵∠ACB=90°，∴BC==∴BG==，∴PQ=. ⑶ 证法一：如图三，设直线FA与PQ的垂足为M，过C作CS⊥MF于S，过B作BR⊥MF于R，连接DR、AD、DM.∵F是BC边的中点，∴.∴BR=CS，由⑵已证∠CAQ=90°, AC=AQ，∴∠2+∠3=90°∵FM⊥PQ, ∴∠2+∠1=90°，∴∠1=∠3,同理：∠2=∠4,∴，∴AM=CS，∴AM=BR，同⑵可证AD=BD，∠ADB=∠ADP=90°,∴∠ADB=∠ARB=90°, ∠ADP=∠AMP=90°∴A、D、B、R四点在以AB为直径的圆上，A、D、P、M四点在以AP为直径的圆上，且∠DBR+∠DAR=180°，∴∠5=∠8, ∠6=∠7,∵∠DAM+∠DAR=180°，∴∠DBR=∠DAM∴，∴∠5=∠9，∴∠RDM=90°，∴∠5+∠7=90°，∴∠6+∠8=90°，∴∠PAB=90°，∴PA⊥AB,又AB是半圆直径，∴PA是半圆的切线.        
训练1.              如图，分别切于两点，满足，且，，求的度数．【解析】 ∵都是的切线，∴∵，∴∴，∴三点都在以为圆心，为半径的圆上．设，则，∴∵，∴在中，，即∴，∴，即． 训练2.          如图，分别是正方形的边的中点，相交于，求证：．       【解析】       连接∵是的中点，∴，∴，∴，即，∴四点共圆，∴，，很明显，∴，∴． 训练3.        如图，已知在五边形中，，，且．求证：． 【解析】 连接，∵，，∴，∴，∴，∴四点共圆．同理四点共圆，∴五点共圆，∵，∴．
题型一  共顶点等线段 【练习1】       如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与轴交于点，与轴交于点，点的坐标为，连结． ⑴ 求证：是等边三角形；⑵ 点在线段的延长线上，连结，作的垂直平分线，垂足为点，并与轴交于点，分别连结、．①若，直接写出的度数；②若点在线段的延长线上运动（不与点重合），的度数是否变化？若变化，请说明理由；若不变，求出的度数；【解析】       ⑴ 证明：如图，∵一次函数的图象与x轴交于点A（－3，0），B（0，）．∵C（3，0）．∴OA＝OC．又y轴⊥AC，∴AB＝BC．在Rt△AOB中， ．∴∠BAC=60°.∴△ABC是等边三角形. ⑵ ①答：∠AEP=120°． 　　   ②解：如图，作EH⊥CP于点H，∵y轴垂直平分AC，△ABC是等边三角形，∴EA=EC，∠BEA＝∠BEC＝，∠DEP=30°．∴∠BEH=60°．∵ED垂直平分AP，∴ EA=EP．∴ EA＝EC＝EP，∴EH垂直平分CP，在△CEP中，∠CEH=∠PEH＝，∵∠BEH=∠BEC＋∠CEH＝＋=60°．∴∠AEP=∠AEC＋∠PEC＝120°． 辅助圆的证法：∵点在轴上，∴，∵，∴以为圆心、长为半径作圆，在该圆上，∴．   题型二  共斜边的直角三角形 【练习2】   如图，正方形的中心为，面积为，为正方形内一点，且，，求的长．       【解析】 连接，∵是正方形，∴，，∵，∴四点共圆，∴．在中，，∴，设，则，解得，∴，∴．  题型三  四点共圆的简单应用【练习3】        设是等腰底边的中点，过两点（但不过点）任作一圆交直线于点，连接交此圆于点．求证：．【解析】 连接，由题意可知四点共圆，⑴ 若在线段上，则，∵，∴四点共圆，∴，∴．⑵ 若在的延长线上，则，∵，∴四点共圆，∴，∴．⑶ 若在的延长线上，则，∵，∴四点共圆，∴，∴，∴．综上所述，命题成立．