【专项练习】备战中考数学58种模型专练 42.反比例函数图象中的等角模型及其在中考题中的应用（含答案）

反比例函数图象中的等角模型及其在中考题中的应用

 原先自己研究反比例函数图象，得到了以下三条结论，当时以为解决反比例函数图象难题，用好这三条就足够了。
三条结论分别是：
结论一：过反比例函数一支上两点分别向x轴和y轴作垂线段，则垂足连线与原两点连线平行。如图，即AB∥CD。

证明：根据平行线带来的等面积转换，S△ACD=S△ACO=∣k∣/2=S△BDO=S△BDC，即A，B两点到直线CD的距离相等，且位于CD同侧，故AB∥CD。

结论二：三顶点分别在原点、x轴上，y轴上的矩形，若反比例函数图象经过其两边，则两边被分出的两条线段之比对应相等。 
如图，即EA：AC=EB：BD

证明：连AB，CD，由结论一有AB∥CD，根据相似知识显然结论二成立。

结论三：过双曲线一支上两点作直线与坐标轴相交，则每点与其相邻坐标轴交点构成的线段长相等。如图，即AE=BF

证明：过A作y轴垂线段垂足为C，过B作x轴垂线段垂足为D。连接CD，由结论一有AB∥CD，则四边形ACDF与BDCE均为平行四边形，得到AC=DF，CE=DB，再通过全等得到△ACE≌△FDB，AE=BF。

至于设点坐标用代数证，一来略超纲，二来繁琐，最重要是没有美感，反正我没有这个习惯。
 这三个结论还有一些小的变形，比如一支上的两点变两支上的两点，作垂线的顺序改变等，基本都是结论相同，证明类似，且这些不是今天要讲的重点内容而只是铺垫，因此不再赘述只是给出几张图。

今天要讲的内容：后来才发现， 反比例函数图象还有一些模型和结论，不能由前三个结论直接解决，但可以以前三个结论为基础推出结果间接解决。有如下结论（个人称为等角模型）：
结论四：双曲线一支上任取两点A，B，在围着双曲线该支所在象限的坐标轴上再取两点C，D，使ABCD构成平行四边形。则有：∠DCO=∠BCx，∠CDO=∠ADy

证明：过A向y轴作垂线段垂足E，过B向x轴作垂线段垂足F，连接EF。由结论一，有EF∥CD，则CO：OD=CF：ED。由全等知△AED≌△CFB，ED=BF，即有CO：OD=CF：BF，△COD∽△CFB，∠DCO=∠BCx，∠CDO=∠ADy。

结论五：双曲线一支上任取两点A，B，在在围着双曲线该支所在象限对顶的象限的坐标轴上再取两点C，D，使ABCD构成平行四边形。则有：∠ADO=∠CDO，∠BCO=∠DCO，若AD交y轴于F，BC交x轴于E，则四边形CDFE为菱形。

证明：过A作x轴平行线，过D作y轴平行线，两者交于G，AG交y轴于I；
过C作x轴平行线，过B作y轴平行线，两者交于H，BH交x轴于J；连接IJ。
易知△AGD≌△CHB，DG=BH。
根据结论一，有CD∥IJ，则OD：OC=OJ：OI=CH：DG=CH：BH，则△ODC∽△HCB
∠DCO=∠CBH=∠BCO，∠ADO=∠CDO。
有等角后易证CDFE是菱形，略。

结论六：双曲线一支上任取A，B两点，BO直线交双曲线另一支于C，则AB直线，AC直线关于x轴和y轴的夹角都相等，即∠ADE=∠AED，∠AFG=∠AGF。由此还有一堆线段相等，如AF=AG=DC=BE，AB=DG等。

证明：过A作y轴垂线段垂足为H，过C，B作x轴垂线段垂足分别为I，J。连IH，JH。
由双曲线中心对称性质知CO=OB，则△CIO≌△BJO，CI=BJ。
由结论一知，四边形ICHG与BJHF均为平行四边形，则CI=HG，BJ=FH，又CI=BJ，∴HG=HF，∠AFG=∠AGF，∠ADE=∠AED，进而推出一系列等边关系。

有意思的是，结论四五和结论六可以统一在一个图里，能挖掘出许多有意思的东西。篇幅关系不再详细描述。

我们来看一看结论四五六在中考中的应用：
2011年武汉中考填空16题（填空压轴题）

解：先用面积思想得到AD=3AE。
再用结论五知∠DAO=∠BAO，AE=AB，过D作DF垂直x轴，△ADF∽△ABO，AF=3AO=3，DF=3OB=6，直接得到D坐标（2,6）及k值12.

2013年武汉中考数学填空15题

解：作C关于y轴垂线段CE，根据结论四，∠ABO=∠CBE，△ABO∽△CBE，则BE=2BO=4，CE=2AO=2，则C（-2,6),k=-12。

2015年常州中考数学28题（压轴题）

解：（1）略。
（2）即结论六，略。
（3）根据结论六，有∠PMN=∠PNM，∠QCD=∠QDC
则∠PAQ=∠PMN-∠MCA=∠PMN-∠QCD，∠PBA=∠DBN=∠PNM-∠QDC，∴∠PAQ=∠PBQ。这个也算一种等角模型了。