2020-2021学年18.1 平行四边形的性质教学课件ppt

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平行四边形的性质——对角线互相平分 平行四边形的面积
1. 平行四边形的定义是什么？2. 平行四边形的边、角有哪些性质？
平行四边形的性质——对角线互相平分
ABCD是一个中心对称图形，对角线的交点O就是对称中心，有 OA = OC, OB = OD. 由此可得： 平行四边形的性质定理3 平行四边形的对角线互相平分.
对角线的性质：平行四边形的对角线互相平分．数学表达式：如图，∵四边形ABCD是平行四边形，对角线AC，BD相交于点O，∴OA＝OC，OB＝OD.拓展：(1)平行四边形的两条对角线把它分割成四个面积相等的三角形；数学表达式：如图，∵四边形ABCD是平行四边形，对角线AC，BD相交于点O，∴S△ABO＝S△BCO＝S△CDO＝S△ADO.
(2)若一条直线过平行四边形两条对角线的交点，则该直线平分平行四边形的周长和面积．数学表达式：如图，∵直线EF过平行四边形ABCD两对角线的交点O，∴AE＋AB＋BF＝FC＋CD＋DE＝ (AB＋BC＋CD＋DA)，S四边形ABFE＝S四边形FCDE＝
如图， ABCD的对角线AC和BD相交于点O，△AOB的周长为15，AB = 6，那么对角线AC与BD的和是多少？
在 ABCD中，∵AB = 6, AO +BO +AB = 15,∴AO+BO =15-6 =9.又∵AO =OC, BO =OD (平行四边形的对角线互相平分)，∴AC+BD=2AO+2BO= 2(AO+ BO) =2×9=18.
如图， ABCD的对角线AC和BD相交于点O，EF过点O且与边AB、CD分别相交于点E和点F. 求证：OE=OF.
要证明OE= OF，只要证明它们所在的两个三角形全等即可.
∵四边形ABCD是平行四边形，∴OB=OD(平行四边形的对角线互相平分).又∵AB // DC ,∴∠EBO =∠FDO.又∵∠BOE =∠DOF,∴△BEO≌△DFO.∴OE = OF.
由平行四边形对边相等知，2AB＋2BC＝60，所以AB＋BC＝30.又由△AOB的周长比△BOC的周长长8，知AB－BC＝8，联立以上两式，即可求出各边长．
如图，已知 ABCD的周长是60，对角线AC，BD相交于点O.若△AOB的周长比△BOC的周长长8，求这个平行四边形各边的长．
∵四边形ABCD是平行四边形，∴OA＝OC，OB＝OD，AB＝CD，AD＝BC.∵AB＋BC＋CD＋DA＝60，OA＋AB＋OB－(OB＋BC＋OC)＝8，∴AB＋BC＝30，AB－BC＝8.∴AB＝CD＝19，BC＝AD＝11，即这个平行四边形各边长分别为19，11，19，11.
在应用平行四边形的性质时，我们应从三个方面去考虑：从边、角、对角线看它们的性质；解本例时，我们从“平行四边形的对角线互相平分”中得出“平行四边形被它的两条对角线分成四个小三角形，相邻两个三角形的周长之差等于平行四边形的两邻边之差”；熟记这些结论，能为计算带来很多方便．
平行四边形的性质提供了边的平行与相等，角的相等与互补，对角线的平分，当所要证明的结论中的线段在对角线上时，往往利用平行四边形的对角线互相平分这一性质.因此本例要证对角线上的AE＝CF，可考虑利用对角线互相平分这一性质，先连接BD交AC于O，再进行证明．
如图，已知▱ABCD与▱EBFD的顶点A、E、F、C在一条直线上，求证：AE＝CF.
如图，连接BD交AC于O.∵四边形ABCD是平行四边形，∴OA＝OC(平行四边形的对角线互相平分)．∵四边形EBFD是平行四边形，∴OE＝OF(平行四边形的对角线互相平分)，∴AE＝CF(等式的性质)．
本例易受全等三角形思维定式的影响．欲证的两线段相等且又属于不同的三角形，习惯上就联想到证这两个三角形全等，这样虽然能达到证明的目的，却忽视了平行四边形的特有的性质，易走弯路.因此在解决平行四边形的有关问题中，应注意运用平行四边形的性质．
如图， ABCD的对角线AC、BD相交于点O,指出图中各对相等的线段
如图，在 ABCD中，O是对角线AC、BD的交点，BE⊥AC, DF⊥AC, 垂足分别为E、F. 求证：OE= OF.
　 (中考·常州)如图，已知 ABCD的对角线AC， BD相交于点O，则下列说法一定正确的是(　　)A．AO＝OD B．AO⊥ODC．AO＝OC D．AO⊥AB
4　如图，在平行四边形ABCD中，AB＝3 cm，BC＝5 cm，对角线AC，BD相交于点O，则OA的取值范围是(　　)A．2 cm＜OA＜5 cm B．2 cm＜OA＜8 cmC．1 cm＜OA＜4 cm D．3 cm＜OA＜8 cm
5　(中考·河南)如图，已知 ABCD的对角线AC与BD相交于点O，AB⊥AC. 若AB＝4，AC＝6，则BD的长是(　　)A．8 B．9 C．10 D．11
6　如图，在 ABCD中，对角线AC与BD交于点O，AE⊥BD于E，CF⊥BD于F，则图中全等的三角 形共有(　　)A．7对 B．6对C．5对 D．4对
7　如图，已知 ABCD的对角线AC与BD相交于O，OE⊥BD于O交BC于E，连接DE，若△CED的周长是21 cm，则 ABCD的周长是________．
1.面积公式：平行四边形的面积＝底×高(底为平行四边形的任意一条边，高为这条边与其对边间的距离)；2.等底等高的平行四边形的面积相等．要点精析：(1)求面积时，底和高一定要对应，必须是底边上的高；(2)等底等高的平行四边形与三角形面积间的关系：三角形面积等于与它等底等高的平行四边形面积的一半．
拓展：(1)两等底平行四边形(三角形)面积的比等于它们高的比；(2)两等高平行四边形(三角形)面积的比等于它们底的比．3.根据平行四边形的两组对边相等，可知平行四边形的周长等于两邻边和的2倍．
〈福州〉如图，在 ABCD中，DE平分∠ADC， AD＝6，BE＝2，则 ABCD的周长是________．
求 ABCD的周长，已知一条边AD＝6，只需求出AD的邻边AB或CD的长即可．∵四边形ABCD是平行四边形，AD＝6，BE＝2，∴AD＝BC＝6，∴EC＝BC－BE＝6－2＝4， ∵ AD∥BC，∠ADE＝∠DEC.∵DE平分∠ADC，∠ADE＝∠EDC.∴∠EDC＝∠DEC. ∴DC＝EC＝4.∴ ABCD的周长是2×(4＋6)＝20.
〈本溪〉如图，在 ABCD中，AB＝4，BC＝6， ∠B＝30°，则此平行四边形的面积是(　　) A．6　　　 B．12　　　 C．18　　　 D．24
过点A作AE⊥BC于E，根据含30°角的直角三角形的性质：在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半可求出AE的长，利用平行四边形的面积公式即可求出其面积．如图，过点A作AE⊥BC于E，∵在直角三角形ABE中，∠B＝30°，∴AE＝ ×AB＝ ×4＝2.∴平行四边形ABCD的面积＝BC·AE＝6×2＝12.
求平行四边形的面积时，根据平行四边形的面积公式，要知道平行四边形的一边长及这边上的高．平行四边形的高不一定是过顶点的垂线段，因为平行线间的距离处处相等．
如图，在 ABCD中，对角线AC＝21cm，BC⊥AC＝6，垂足为点E，且BE=5cm，AD=7cm.求AD和BC之间的距离.
设AD和BC之间的距离为x，则 ABCD的面积等于AD·x.∵∴AD·x=AC·BE，即7x=21×5，∴x=15(cm).即AD和BC之间的距离为15cm.
1　将一张平行四边形的纸片折一次，使得折痕平分这个平行四边形的面积．则这样的折纸方法有(　 )A．1种 B．2种 C．4种 D．无数种
2　如图, 在平行四边形ABCD中，点A1，A2，A3，A4和C1，C2，C3，C4分别是AB和CD的五等分点,点B1，B2和D1，D2分别是BC和DA的三等分点,已知四边形A4B2C4D2的面积为1，则平行四边形ABCD的面积为(　　)A．2 B. C. D．15
3　如图，过 ABCD的对角线BD上一点M分别作平行四边形两边的平行线EF与GH，那么图中的 AEMG的面积S1与 HCFM的面积S2的大小关系是(　　)A．S1＞S2 B．S1＜S2C．S1＝S2 D．2S1＝S2
1.平行四边形的性质：(1)边：平行四边形的对边相等.(2)角：平行四边形的对角相等.(3)对角线：平行四边形的对角线相等.2.平行四边形的面积：(1)面积公式：平行四边形的面积＝底×高(底为平行四边形的任意一条边，高为这条边与其对边间的距离)；(2)等底等高的平行四边形的面积相等．