【新课标新高考】考点8 平面解析几何中的定点与定值问题——2022届高考数学一轮复习考点创新题拔高练

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 【新课标新高考】考点8 平面解析几何中的定点与定值问题—2022届高考数学一轮复习考点创新题拔高练【答题技巧】1.定点问题常见的两种解法解法一：参数法——把曲线方程中的变量x，y当作常数看待，把方程一端化为零，另一端按参数进行整理，如，这个方程就要对任意参数成立，则方程组的解所确定的点为曲线所经过的定点.解法二：特值法——通过特例（参数取特殊值，曲线的特殊位置、极限位置）探求出定点，再证明.2.定值问题常见的两种求法解法一：参数法——引进参数，用参数表示相关的量，再通过计算推理消去参数，从而得到定值；解法二：特值法——从特殊入手，求出定值，再证明这个定值与变量无关. 【练习】1.已知过圆外一点作圆的切线交圆于A，B两点，则直线AB的方程为，该性质适用于所有圆锥曲线，直线上一动点M向椭圆作切线，切点为，则直线一定过定点为(   )
A. B. C. D.2.已知动点M到点的距离比它到直线的距离小2.
（1）求动点M的轨迹E的方程.
（2）过点F作斜率为的直线与轨迹E交于点A，B，线段AB的垂直平分线交x轴于点N，证明：为定值.3.已知椭圆的上顶点为M、右顶点为N.（点O为坐标原点）的面积为1，直线被椭圆C所截得的线段长度为.
（1）椭圆C的标准方程；
（2）试判断椭圆C内是否存在圆，使得圆O的任意一条切线与椭圆C交于A，B两点时，满足为定值？若存在，求出圆O的方程；若不存在，请说明理由.4.双曲线经过点，且虚轴的一个顶点到一条渐近线的距离为.（1）求双曲线C的方程；（2）过点P的两条直线，与双曲线C分别交于A，B两点（A，B两点不与P点重合），设直线，的斜率分别为，，若，证明：直线AB过定点.5.已知椭圆的左、右焦点分别为，左、右顶点分别为，长轴长为4，椭圆上任意一点P（不与重合）与AB连线的斜率的乘积恒为.（1）求椭圆C的标准方程；（2）已知圆，圆O上任意一点Q处的切线交椭圆于两点，在x轴上是否存在一定点D，使得以MN为直径的圆过该定点？若存在，请求出该定点坐标；若不存在，请说明理由.6.已知抛物线与直线交于M，N两点，且线段MN的中点为.（1）求抛物线C的方程；（2）过点P作直线m交抛物线于点A，B，证明：以弦AB为直径的圆恒过点.7.T为椭圆上顶点，正方形OMNT的边MN交椭圆C于点P.是椭圆右焦点.的面积分别为.（1）求椭圆C的方程，并求其离心率；（2）过P点作两条倾斜角互补的直线与椭圆C分别交于点A，B时，直线AB的斜率k是否为定值？若是，求出斜率k；若不是，请说明理由.8.已知F为抛物线的焦点，过点F且斜率为1的直线l交抛物线于A，B两点，线段AB的中点到准线的距离为4.
（1）求抛物线的方程.
（2）过点作两条互相垂直的直线分别交抛物线于C，D两点和M，N两点，且CD与MN的中点分别为P，Q，求证：直线PQ恒过定点.9.已知直线与椭圆交于第四象限内一点为椭圆C的左、右焦点，且面积为，椭圆C的短轴长为.
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）若M为椭圆C上第一象限内一点，点M关于直线l的对称点为N，直线PN与椭圆C的另一个交点为Q，求证：MQ的斜率为定值.10.如图，已知椭圆的离心率为，其右顶点为A，下顶点为B，定点的面积为3，过点C作与y轴不重合的直线l交椭圆C于P，Q两点，直线BP，BQ分别与x轴交于M，N两点.
 （1）求椭圆C的方程.（2）试探究点M，N的横坐标的乘积是否为定值，若是，请求出该定值；若不是，请说明理由.11.在平面直角坐标系中，，点P为平面内一个动点，若.
（1）求点P的轨迹C的方程；
（2）过坐标原点O作，交轨迹C于E，G，过点O作，交轨迹C于F，H，依次连接EFGH得到平行四边形，判断此时平行四边形EFGH的面积是否为定值？若是，求出这个定值；若不是，请说明理由.12.已知双曲线的左顶点为A，右焦点为F，动点B在双曲线C上.当时，.（1）求双曲线C的方程.（2）设P为双曲线上一点，点M，N在双曲线的渐近线上，且分别位于第一、四象限，若P恰为线段MN的中点，试判断的面积是否为定值？若为定值，请求出这个定值；若不为定值，请说明理由.13.已知椭圆的左、右焦点分别为，点在椭圆C上，是直角三角形.
(1)求椭圆C的标准方程.
(2)若过点M作直线分别交椭圆C于A，B两点，直线的斜率分别为，且，直线是否过定点？若过定点，求出定点的坐标；若不过定点，请说明理由.


 
答案以及解析1.答案：B解析：设点，根据类比可得直线的方程为，即，可得解得直线过定点，故选B.2.答案：（1）由题意知，动点M到点的距离与到直线距离相等，
由抛物线的定义知，轨迹E是以为焦点，以直线为准线的抛物线.
所以点M的轨迹E的方程为.
（2）证明：设直线，
联立得.
设，，G为线段AB的中点，
则，，
所以，
所以线段AB的垂直平分线的方程为，
则.
从而，
，
所以为定值.3.答案：（1）由题意知，，由，得.
设直线与椭圆C交于点，，则.
把代入椭圆方程，得，
故，即.
由①②，解得或（舍去），
所以椭圆C的标准方程为.
（2）假设存在这样的圆O，设.
当直线AB的斜率存在时，设直线AB的方程为.
由，得.
设，，则，.
故
.
由，得.
由③④，得，当与k无关时，，，即圆O的半径为.
当直线AB的斜率不存在时，若直线AB的方程为，
将其代入椭圆C的方程，得，，
此时.
若直线AB的方程为，同理可得.
综上，存在满足题意的圆O，其方程为.4.答案：（1）由题得双曲线C的一条渐近线方程为，虚轴的一个顶点为，
依题意得，即，
即，①
又点在双曲线C上，
所以，即，②
由①②解得，，
所以双曲线C的方程为.
（2）当直线AB的斜率不存在时，点A，B关于x轴对称，
设，，
则由，解得，
即，解得，不符合题意，所以直线AB的斜率存在.
不妨设直线AB的方程为，代入，
整理得，，
设，，
则，，
由，得，
即，
整理得，
所以，
整理得，即，
所以或.
当时，直线AB的方程为，经过定点；
当时，直线AB的方程为，经过定点，不符合题意.
综上，直线AB过定点.5.答案：(1)由题意知，且，
设，则点P与点A连线的斜率，
点P与点B连线的斜率，
由题意知，即，①
因为点P在椭圆C上，所以，②
联立①②，解得，所以椭圆C的标准方程为.
(2)假设满足条件的点存在，
当过点Q且与圆O相切的直线斜率存在时，设切线方程为，将其代入椭圆C的方程，得，
，即，
设，
所以，
因为直线与圆O相切，所以圆心O到直线的距离
，所以，符合题意，
因为以MN为直径的圆过定点D，所以，
所以


，
因为不恒成立，所以，则，故以MN为直径的圆经过定点.
当过点Q且与圆O相切的直线斜率不存在时，不妨设切线方程为，将其代入椭圆C的方程，得，则交点坐标为，故以MN为直径的圆经过点
综上，在x轴上存在一定点，使得以MN为直径的圆经过该定点.6.答案：(1)由题知，.
设M，N两点的坐标分别为，，显然，
所以.
又，
所以，解得，
所以抛物线C的方程为.
(2)当直线m的斜率存在时，
设直线，，.
联立
整理得，，
，，
所以，
.
令，
则

，
所以，故以弦AB为直径的圆恒过点.
当直线m的斜率不存在时，直线，
此时直线m与抛物线的两个交点分别为，，
不妨令，，
此时，，
则，
所以，故以弦AB为直径的圆过点.
综上所述，以弦AB为直径的圆恒过点.7.答案：（1）由已知条件可得，
，
则，
解得或（舍去），
所以椭圆C的方程为，
椭圆C的离心率.
（2）由（1）知点.
设直线，
同理得直线.
联立
可得点，
同理可得点，
则直线的斜率，
所以直线AB的斜率k是定值.8.答案：（1）由题意得，可设直线l的方程为.
与联立并消去y，得，
即.
设，，
则，所以，即，
所以抛物线的方程为.
（2）设，，直线CD的方程为.
将直线CD的方程与联立并消去x，得，
所以，所以，则.
因为直线CD与直线MN垂直，所以直线MN的方程为，
同理可得.
当时，直线PQ的斜率，
所以直线PQ的方程为，即，
则直线PQ过定点.
当时，，所以直线PQ的方程为，过定点.
综上可知，直线PQ恒过定点.9.答案：（1）由题意可知，，
，
即点P的纵坐标.
设，所以，
即，
则.
又，则.
又，
联立解得或(舍)，
所以椭圆C的标准方程为.
（2）证明：由（1）可知.
因为直线PM与直线PN关于直线对称，
所以，
设直线PM的斜率为k，则直线PN的斜率为，
故可得直线PM的方程为，
即，
直线PN的方程为，
即，
设，
联立消去y整理得
所以，解得，
同理，
所以


，
所以MQ的斜率为定值.10.答案：(1)由已知得
的面积为①.
由化简得②.
联立①②两式，解得或（舍去），，
椭圆C的方程为
(2)设直线PQ的方程为
则直线BP的方程为令得点M的横坐标
直线BQ的方程为令得点N的横坐标.
把直线方程代入椭圆方程得
由得.
由根与系数的关系，得
.
故点M，N的横坐标的乘积为定值.11.答案：（1）设点，
则，
所以，
整理得，
即点P的轨迹C的方程为.
（2）设直线，
联立
消去y并整理得，
所以.
由得
，
即，
所以，化简得，
且.
又点O到直线EF的距离，
所以，
由平行四边形的面积等于4个面积之和得平行四边形EFGH的面积为定值4.12.答案：（1）由题意，易得，则由，可得，，即.又，解得（负值舍去），，解得，双曲线C的方程为.（2）的面积为定值2，证明如下：由（1）可知双曲线C的渐近线方程为，设，其中.为线段MN的中点，，将点P的坐标代入双曲线C的方程得，解得.设，则.又，，.又，，的面积为定值2.13.答案：(1)依题意得所以
所以椭圆C的标准方程为.
(2)若直线的斜率存在，则设直线的方程为.
联立得，
由，得.
设，则.
因为，
所以，
即，
所以，
整理得.
由题意知
所以，由，得或.
所以直线方程为，
所以直线过定点.
若直线的斜率不存在，则设直线方程为，且，
所以，
所以，即直线方程为，此时直线过定点.
综上，直线过定点.