【新课标新高考】考点4 函数模型及应用——2022届高考数学一轮复习考点创新题拔高练

【新课标新高考】考点4 函数模型及应用—2022届高考数学一轮复习考点创新题拔高练

【答题技巧】

解决函数模型的实际应用题，首先应考虑该题考查的是哪种函数，并要注意定义域，然后结合所给模型，列出函数关系式，最后结合其实际意义作出回答.

基本解题步骤：读题（文字语言）→建模（数学语言）→求解（数学应用）→作答（检验作答）.

【练习】

1.在新冠肺炎疫情初期，部分学者利用逻辑斯蒂增长模型预测某地区新冠肺炎患者数量（t的单位：天），逻辑斯蒂增长模型具体为，其中K为环境最大容量.当时，标志着已初步遏制疫情，则约为(   )

A.63 B.65 C.66 D.69

2.“绿水青山就是金山银山”，党的十九大以来，城乡深化河道生态环境治理，科学治污.某乡村一条污染河道的蓄水量为v立方米，每天的进出水量为k立方米.已知污染源以每天r个单位污染河水，某一时段t（单位：天）河水污染质量指数（每立方米河水所含的污染物）满足（为初始质量指数），经测算，河道蓄水量是每天进出水量的80倍.若从现在开始停止污染源，要使河水的污染水平下降到初始时的10%，需要的时间大约是(参考数据：)(   )

A.1个月 B.3个月 C.半年 D.1年

3.2020年7月31日上午，中共中央总书记、国家主席、中央军委主席习近平宣布北斗三号全球卫星导航系统正式开通并提出“新时代北斗精神”.已知组成北斗三号全球卫星导航系统的卫星中包含地球静止轨道卫星，它的运行轨道为圆形轨道，角速度约为15度/时，若将卫星抽象为质点，以地球球心为原点，在卫星运行轨道所在平面建立平面直角坐标系，则以下函数模型中最适合用来刻画地球静止轨道卫星的纵坐标与运行时间的关系的是(   )

A.指数函数模型 B.对数函数模型 C.幂函数模型 D.三角函数模型

4.大西洋鲑鱼每年都要逆流而上，游回到自己出生的淡水流域产卵.记鲑鱼的游速为v(单位：m/s)，鲑鱼的耗氧量的单位数为Q.科学研究发现v与成正比，且当时，鲑鱼的耗氧量的单位数为900.现有如下说法：
①v与的正比例系数为；
②当时，鲑鱼的耗氧量的单位数为2700；
③当鲑鱼的耗氧量的单位数为100时，游速.
则说法正确的个数为(   )
A.0 B.1 C.2 D.3

5.纳皮尔是苏格兰数学家，其主要成果有球面三角中纳皮尔比拟式、纳皮尔圆部法则（1614）和纳皮尔算筹（1617），而最大的贡献是对数的发明，著有《奇妙的对数定律说明书》，并且发明了对数尺，可以利用对数尺查询出任意一对数值.现将物体放在空气中冷却，如果物体原来的温度是，空气的温度是，经过t分钟后物体的温度可由公式得出，如温度为90℃的物体，放在空气中冷却2.526分钟后，物体的温度是50℃，若根据对数尺可以查询出，则空气温度是(   )

A.5℃ B.10℃ C.15℃ D.20℃

6.2020年12月24日起，铁路部门在京沪高铁、成渝高铁的部分车次试点“静音车厢”服务，为旅客提供更加安静、舒适的旅行环境.假设强度为v的声音对应的分贝为，且与的关系可用一次函数进行模拟，强度为的声音对应的分贝为80dB，强度为的声音对应的分贝为10dB.若“静音车厢”内要求产生的声音不超过30dB，则其对应的声音强度应不超过(   )

A. B. C. D.

7.放射性元素的原子核有半数发生衰变时所需要的时间叫半衰期，这种理论也应用在医学上，医学上半衰期的具体定义为药物在生物体内浓度下降一半所需要的时间现有A，B两种新研制的药物，为研究其药性特点，在两只身体状况一致的小白鼠体内分别注射药物，已知药物A的半衰期为8小时，设经过个半衰期，两种药物的浓度分别为，若，经过相同的时间后，则药物B的半衰期为(   )
A.6小时 B.7.5小时 C.10小时 D.12小时

8.当一束平行单色光垂直通过某一均匀非散射的吸光物质时，透光度T的数学表达式为，其中系数k与吸光物质的性质及入射光线的波长有关，c为吸光物质的浓度（单位：mol/L），l为吸收介质的厚度（单位：cm）.已知吸光物质及入射光线保持恒定，当吸收介质的厚度为20cm时，透光度为，则当吸收介质的厚度增加20cm时，透光度为原来的(   )
A. B. C. D.

9.一般来说，事物总是经过发生、发展、成熟三个阶段，每个阶段的发展速度各不相同，通常在发生阶段变化速度较为缓慢、在发展阶段变化速度加快、在成熟阶段变化速度又趋于缓慢，按照上述三个阶段发展规律得到的变化曲线称为生长曲线.美国生物学家和人口统计学家雷蒙德・皮尔提出一种能较好地描述生物生长规律的生长曲线，称为“皮尔曲线”，常用的“皮尔曲线”的函数解析式为该函数也可以简化为的形式.已知描述的是一种果树的高度随着时间x(单位：年)的变化规律，若刚栽种时该果树的高为经过一年，该果树的高为则该果树的高度超过8m，至少需要(   )

A.4年 B.3年 C.5年 D.2年

10.《中国互联网发展报告2020》蓝皮书显示，据统计，从2020年开始，全球5G网络将有三分之一来自中国技术.5G通信技术的原理之一为“香农定理”，即公式，它给出了信道信息传送速率的上限（比特每秒）和信道信噪比及带宽的关系，即在受噪声干扰的信道中，最大信息传送速率C取决于信道带宽W，信道内所传信号的平均功率S，信道内部的高斯噪声功率N的大小，其中即信噪比，且当信噪比较大时，公式中真数中的1可以忽略不计.依照香农定理，若传送时信道带宽不变，信噪比的初始值为1000，则当传送速率提高20%时，信噪比的值为(   )

A. B. C. D.

11.为了检测某种病毒传染性的强弱某研究机构利用小白鼠进行试验在不采取防护措施的情况下，每天新增感染的小白鼠数量是前一天新增感染数量的1.2倍如果采取科学有效的防护措施，每天新增感染的小白鼠数量是前一天新增感染数量的0.8倍.现将小白鼠分为两组，已知11月20日，A组新感染的小白鼠数量为120只，B组新感染的小白鼠数量为30只，现对B组的小白鼠釆取防护措施，对A组的小白鼠不采取防护措施，若要使A组新增感染的小白鼠数量超过B组新增感染数量的4倍，则至少需要（参考数据：）(   )

A.5天 B.6天 C.7天 D.8天

12.天文学中为了衡量天体的明暗程度，古希腊天文学家喜帕恰斯（ Hipparchus，又名依巴谷）在公元前二世纪首先提出了星等这个概念.星等的数值越小，天体就越亮；星等的数值越大，天体就越暗.到了1850年，由于光度计在天体光度测量中的应用，英国天文学家普森（M.R.Pogson）又提出了衡量天体明暗程度的亮度的概念.天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述，两颗星的星等与亮度满足，其中星等为的星的亮度为.已知“心宿二”的星等是1.00，“天津四”的星等是1.25，“心宿二”的亮度是“天津四”的r倍，则r的近似值为（当较小时，）(   )
A.1.23 B.1.26 C.1.51 D.1.57

13.网店和实体店各有利弊，两者的结合将在未来一段时间内成为商业的一个主要发展方向.某品牌行车记录仪支架销售公司从2017年1月起开展网络销售与实体店体验安装结合的销售模式.根据几个月的运营发现，产品的月销量x万件与投入实体店体验安装的费用t万元之间满足关系式.已知网店每月固定的各种费用支出为3万元，每1万件产品的进货价格为32万元，若每件产品的售价定为“进货价的150%”与“平均每件产品的实体店体验安装费用的一半”之和，则该公司最大月利润是___________万元.

答案以及解析

1.答案：B

解析：本题考查指数函数模型的实际应用.由题知，，即，所以，解得.故选B.

2.答案：C

解析：某一时段t河水污染质量指数，由题意可知，.
从现在开始停止污染源，则，，，要使河水的污染水平下降到初始时的，则，即，解得，所以需要的时间大约是半年.
故选C.

3.答案：D

解析：本题考查函数模型的实际应用.如图，不妨设卫星与地球球心的距离为R，卫星运行方向为逆时针，初始位置在点处，与x轴正半轴的夹角为经过t小时后，卫星在点P处，则OP与x轴正半轴的夹角为则点P的纵坐标所以最适合用来刻画地球静止轨道卫星的纵坐标与运行时间的关系的是三角函数模型.故选D.
 

4.答案：A

解析：本题考查对数函数模型的应用，依题意，设，则有，解得，故①错误；当时，有，解得，故②错误；当时，游速，故③错误.故选A.

5.答案：B

解析：根据题意可得，
即，
根据可得，
解得，
则空气温度是.

6.答案：A

解析：由已知，设，则，

解得，所以，则由可得.故选A.

7.答案：B

解析：设，则.当药物A的浓度为时，药物A经历了15个半衰期，故药物已被注射进小白鼠体内小时，设药物B的半衰期为t小时，则由题意可得，解得，所以药物B的半衰期为7.5小时.

8.答案：C

解析：因为时，，所以，所以.设吸收介质的厚度增加20cm时，透光度为，则，选C.

9.答案：A

解析：由题可得则解得所以由函数解析式可知，在上单调递增，且故该果树的高度超过至少需要4年.故选A.

10.答案：C

解析：由题意可设提速前的传送速率（其中，提速后的传送速率，依题意可得，即，所以，则，选C.

11.答案：B

解析：由题意得，经过x天后，A组新增感染的小白鼠数量为

组新增感染的小白鼠数量为，由，得

所以，故至少需要6天.

12.答案：B

解析：本题考查对数式与指数式的互化以及对数运算.设“心宿二”和“天津四”的亮度分别为由题意得，，所以，所以，所以与r最接近的是1.26，故选B.

13.答案：37.5

解析：由题意，产品的月销量x万件与投入实体店体验安装的费用t万元之间满足，

即，

设月利润为y万元，

则

，

当且仅当，即时取等号，

故该公司的最大月利润为37.5万元.