人教B版 (2019)必修 第三册7.2.4 诱导公式达标测试

7.2.4　诱导公式

基础过关练

题组一　给角求值

1.计算:cos=(　　)　　　　 　　　　　

A.            B.         C.-         D.-

2.计算tan 300°+sin 450°的值是(　　)

A.-1+       B.1+      C.-1-        D.1-

3.已知600°角的终边上有一点P(a,-3),则a的值为　　　　. 

4.计算的值是　　　　. 

5.计算sin+cos+tan的值为　　　　. 

6.计算下列各式的值:

(1)cos+cos +cos+cos;

(2)sin 420°cos 330°+sin(-690°)cos(-660°).

题组二　给值求值

7.已知sin=,那么cos α=(　　)

A.-        B.-        C.        D.

8.已知α∈,tan α=-,则sin(α+π)=(　　)

A.          B.-       C.         D.-

9.已知sin(-α)=,则cos的值为(　　)

A.       B.-       C.         D.-

10.已知sin(π+α)=,且α是第四象限角,则cos(α-2π)的值是(　　)

A.-       B.          C.-        D.

11.已知α是三角形的一个内角,cos(π+α)=,则tan(π-α)=(　　)

A.-       B.       C.      D.-

12.已知tan θ=2,则=　　　　. 

13.已知cos α=,且-<α<0,求的值.

题组三　化简求值

14.化简:=(　　)

A.1          B.-1         C.tan α           D.-tan α

15.若=,则tan θ=(　　)

A.1         B.-1       C.3              D.-3

16.化简sin·cos·tan的结果是(　　)

A.1         B.sin2α      C.-cos2α         D.-1

17.化简:=　　　　. 

18.已知sin(3π+α)=2sin,则=　　　　. 

19.化简:+.

题组四　利用诱导公式证明

20.求证:=.

21.证明:=.

22.设tan=m.求证:=.

题组五　诱导公式的综合应用

23.已知a=tan,b=cos,c=sin,则a,b,c的大小关系是　　　　(用“>”连接). 

24.已知f(x)=则f +f 的值为　　　　. 

25.已知sin θ,cos θ是关于x的方程x2-ax+a=0(a∈R)的两个根.

(1)求cos+sin的值;

(2)求tan(π-θ)-的值.

能力提升练

一、单项选择题

1.(2019天津一中高一期末,疑难2,★★☆)已知cos=-,则sin的值为(　　)　　　　　 　　　　　 　　　　　

A.           B.-         C.         D.-

2.(2019广东惠州高一期末,疑难2,★★☆)已知cos=,则sin=(　　)

A.-        B.-         C.            D.

3.(2019四川宜宾高一质检,疑难2,★★☆)已知角α的顶点在坐标原点,始边与x轴的非负半轴重合,P为其终边上一点,则  sin=(　　)

A.-        B.-         C.            D.

4.(2019河南周口高三期末,疑难2,★★☆)已知3sin=-5cos,则tan=(　　)

A.-         B.-        C.          D.

5.(2019海南海口龙华高一期末,疑难2,★★★)已知α是第四象限角,且3sin2α=8cos α,则cos=(　　)

A.-       B.-        C.         D.

二、多项选择题

6.(★★☆)定义:角θ与φ都是任意角,若满足θ+φ=,则称θ与φ“广义互余”.已知sin(π+α)=-,则下列角β中,可能与角α“广义互余”的是(　　)

A.sin β=    B.cos(π+β)=     C.tan β=       D.tan β=

7.(疑难3,★★☆)下列化简正确的是(　　)

A.tan(π+1)=tan 1      

B.=cos α

C.=1

D.若θ∈,则=sin θ-cos θ

三、填空题

8.(疑难1,★★☆)计算:cos+sin=　　　　. 

9.(疑难1,★★☆)计算:

sin+costan 2020π-cos+sin=　　　　. 

10.(疑难2,★★☆)若cos=,则sin=　　　　. 

11.(疑难3,★★☆)化简:=　　　　. 

12.(疑难1、3,★★☆)若函数f(x)=,则

f=　　　　. 

四、解答题

13.(2019重庆江津、合川等七校高一期末联考,疑难1、2、3,★★☆)已知f(α)=.

(1)求f的值;

(2)若α∈(0,π),且f(α)+f=-,求sin2α-cos α的值.

答案全解全析

基础过关练

1.C　cos=cos=cos=cos=cos=-cos=-.

2.D　原式=tan(360°-60°)+sin(360°+90°)

=tan(-60°)+sin 90°=-tan 60°+1=-+1.

3.答案　-

解析　tan 600°=tan(360°+240°)

=tan(180°+60°)

=tan 60°==-,即a=-.

4.答案　-2

解析　原式=

=

=

===-2.

5.答案　0

解析　原式=sin+cos-+10π+tan

=sin+cos+tan=+-1=0.

6.解析　(1)cos+cos +cos+cos

=cos+cos+cos+cos=cos+cos-cos-cos=0.

(2)原式=sin(360°+60°)cos(360°-30°)+sin(-2×360°+30°)cos(-2×360°+60°)

=sin 60°cos 30°+sin 30°cos 60°

=×+×=1.

7.C　sin=sin=cos α,

故cos α=.故选C.

8.B　由tan α=-,α∈,得sin α=,又∵sin(α+π)=-sin α,∴sin(α+π)=-.

9.A　∵sin(-α)=-sin α=,

∴cos=-sin α=.

10.B　∵sin(π+α)=-sin α=,

∴sin α=-.

又α是第四象限角,∴cos(α-2π)=cos α===.

11.C　∵cos(π+α)=,∴cos α=-.

又α是三角形的一个内角,∴sin α=,

∴tan(π-α)=-tan α=-=.故选C.

12.答案　-2

解析　原式==,把tan θ=2代入,得原式==-2.

13.解析　∵-<α<0,

∴sin α=-

=-=-.

原式= = = = -2.

14.C　原式==tan α,故选C.

15.D　原式===,解得tan θ=-3.

16.C　因为sin=cos α,cos=cos=-sin α,tan==,

所以原式=cos α(-sin α)·=-cos2α.故选C.

17.答案　1

解析　 = = = =1.

18.答案　-

解析　∵sin(3π+α)=2sin,∴-sin α=-2cos α,即sin α=2cos α,

∴原式====-.

19.解析　∵tan(-α)=-tan α,sin=cos α,

cosα-=cos-α=-sin α,

tan(π+α)=tan α,∴原式=+ = + = = - = -1.

20.证明　因为原式右边

=

=

=

=

===左边,

所以原等式成立.

21.证明　原式左边=

==

===右边,

故原等式成立.

22.证明　原式左边

=

=

=,

把tan=m代入,

得原式左边==右边,故原等式成立.

23.答案　b>a>c

解析　∵a=-tan=-tan=-, b=cos=cos=, c=-sin=-sin=-,

∴b>a>c.

24.答案　-2

解析　因为f=sin

=sin=sin=,

f=f-1=f-2

=sin-2=--2=-,

所以f+f=-2.

25.解析　由已知得原方程的判别式Δ≥0,

即(-a)2-4a≥0,解得a≥4或a≤0.

根据根与系数的关系,得

由(sin θ+cos θ)2=1+2sin θcos θ,得a2-2a-1=0,

解得a=1-或a=1+(舍去).

∴sin θ+cos θ=sin θcos θ=1-.

(1)cos+sin

=sin θ+cos θ=1-.

(2)tan(π-θ)-=-tan θ-

=-=-

=-=-=+1.

能力提升练

一、单项选择题

1.A　∵cos=-,∴sin=sin=-cos=.

2.C　∵cos=,∴sin=sin-=cos=.

3.A　因为P在角α的终边上,所以x=-,y=,从而求得=1,

所以cos α=-,故sin=cos α=-,故选A.

4.A　∵3sin=3sin=3sin=-5cos,

∴tan=-.

5.A　∵3sin2α=8cos α,∴sin2α+=1,整理可得9sin4α+64sin2α-64=0,

解得sin2α=或sin2α=-8(舍去),

又∵α是第四象限角,

∴sin α=-,

∴cos=cos

=-cos=sin α=-.

二、多项选择题

6.AC　∵sin(π+α)=-sin α=-,∴sin α=,若α+β=,则β=-α.

A中,sin β=sin=cos α=±,故A符合条件;

B中,cos(π+β)=-cos=-sin α=-,故B不符合条件;

C中,tan β=,即sin β=cos β,又sin2β+cos2β=1,所以sin β=±,故C符合条件;

D中,tan β=,即sin β=cos β,又sin2β+cos2β=1,所以sin β=±,故D不符合条件.故选AC.

7.ABD　由诱导公式易知A正确;B正确,==cos α;

C错误,

==-1;

D正确,

==

=|sin θ-cos θ|,

∵θ∈,∴sin θ>0,cos θ<0,

∴sin θ-cos θ>0,

∴

=sin θ-cos θ.故选ABD.

三、填空题

8.答案　

解析　依题意,原式=cos+sin=cos+sin=cos+sin=.

9.答案　-1

解析　原式=-sin+cos×0-cos-sin

=-sin+cos-1

=-+-1=-1.

10.答案　

解析　sin=sin-

=cos=.

11.答案　-1

解析　原式= = = -1.

12.答案　-

解析　∵f(x)=

=,

∴f= ==-.

四、解答题

13.解析　(1)因为f(α)==-cos α,

所以f=-cos=-.

(2)因为f(α)+f=-,所以-cos α-cos=-,所以cos α+sin α=,

两边分别平方,得1+2sin αcos α=,所以2sin αcos α=-,

所以1-2sin αcos α=,即(sin α-cos α)2=,

因为2sin αcos α=-<0,α∈(0,π),所以α∈,所以sin α-cos α>0,

所以sin α-cos α=,结合cos α+sin α=,解得sin α=,cos α=-,

故sin2α-cos α=-=.