人教B版 (2019)必修 第三册8.1.3 向量数量积的坐标运算同步测试题

8.1.3　向量数量积的坐标运算

基础过关练

题组一　数量积的坐标运算

1.已知向量a=(1,-1),b=(2,x),若a·b=1,则x=(　　)　　　　　　　　　　　　　　　　　　

A.-1     B.-      C.       D.1

2.已知a=(2,1),b=(-1,1),则a在b上的投影的数量为(　　)

A.     B.-      C.-   D.

3.已知向量a=(,1),b是不平行于x轴的单位向量,且a·b=,则b=(　　)

A.　  B.　   C.　  D.(1,0)

4.已知A(1,2),B(2,3),C(-2,5),则△ABC的形状是(　　)

A.直角三角形      B.锐角三角形

C.钝角三角形      D.等边三角形

题组二　求向量的夹角

5.已知向量a=(1,-),b=(0,-2),则a与b的夹角为(　　)

A.       B.       C.      D.

6.已知非零向量a=(t,0)(t∈R),b=(-1,),若a·b=-4,则a+2b与b的夹角为　(　　)

A.       B.       C.         D.

7.已知平面向量a=(3,-4),b=(2,x),c=(2,y),a∥b,a⊥c,求:

(1)向量b,c的坐标;

(2)向量a-2c与-3b的夹角.

题组三　求向量的模

8.已知向量a=(4,4),b=(5,m)(m∈R),c=(1,3),若(a-2c)⊥b,则|b|=(　　)　　　　　　　　　　　　　　　

A.5          B.5       C.10     D.10

9.已知平面向量a,b满足a=(1,),|b|=3,a⊥(a-2b),则|a-b|=(　　)

A.2          B.3          C.4        D.6

10.已知向量a=(sin θ,1),b=(0,cos θ),θ∈,则|a+b|的取值范围是(　　)

A.[0,]    B.[0,2]       C.[1,2]     D.[,2]

11.已知向量a=(3,m)(m∈R),b=(1,-3),若a⊥b,则|a|=　　　　. 

12.已知在直角梯形ABCD中,AD∥BC,∠ADC=90°,AD=2,BC=1,P是腰DC上的动点,求|+3|的最小值.

题组四　向量垂直

13.已知向量a=(2,0),a-b=(3,1),则下列结论正确的是(　　)

A.a·b=2    B.a∥b       C.b⊥(a+b)       D.|a|=|b|

14.已知向量a=(-1,2),b=(3,1),c=(k,4),且(a-b)⊥c,则实数k=(　　)

A.-6       B.-1        C.1 D.6

15.已知向量a=(1,2),b=(2,-3),若向量c满足(c+a)∥b,c⊥(a+b),则c=(　　)

A.         B.

C.         D.

16.在四边形ABCD中,=(1,2),=(-4,2),则该四边形的面积是(　　)

A. B.2 C.5 D.10

17.在△ABC中,三个顶点的坐标分别为A(3,t),B(t,-1),C(-3,-1),若△ABC是以B为直角顶点的直角三角形,求实数t的值.

能力提升练

一、单项选择题

1.(疑难1、2、3,★★☆)已知向量a=(0,-1),b=,则下列结论正确的是(　　)　　　　　　　　　　　　　　　　　　

A.a∥b       B.(a+b)⊥b      C.(a-b)⊥b   D.|a-b|=|b|

2.(疑难3,★★☆)若O(0,0),A(1,3),B(3,1),则sin∠AOB=(　　)

A.         B.        C.-     D.-

3.(疑难1,★★☆)在直角三角形ABC中,C为直角,且AC=BC=1,点P是斜边上靠近点B的一个三等分点,则·+·=(　　)

A.0         B.1       C.        D.-

4.(疑难1,★★★)在边长为2的正方形ABCD中,E为CD的中点,则·=(　　)

A.-       B.     C.-1       D.1

二、多项选择题

5.(★★☆)已知a=(1,0),|b|=1,c=(0,-1),满足3a+kb+7c=0,则实数k的值可能为(　　)

A.       B.-      C.58       D.-58

6.(疑难1,★★★)已知△ABC是边长为2a(a>0)的等边三角形,P为△ABC所在平面内一点,则·(+)的值可能是(　　)

A.-2a2       B.-a2        C.-a2        D.-a2

三、填空题

7.(疑难3,★★☆)平面向量a=(1,2),b=(4,2),c=ma+b(m∈R),且c与a的夹角等于c与b的夹角,则m=　　　　. 

8.(疑难1、2,★★☆)已知点A(2,m),B(1,2),C(3,1),若·-||=0,则实数m的值为　　　　. 

9.(★★☆)已知a=(2,-3),b=(-3,4),则a-b在a+b上的投影的数量为　　　　. 

四、解答题

10.(2018安徽六安月考,疑难1,★★☆)已知△ABC是边长为1的正三角形,动点M为△ABC所在平面内一点,若·<0,||=1,求·的取值范围.

11.(疑难2、3,★★☆)在平面直角坐标系xOy中,A(1,0),B(0,1),C(2,5),D是AC上的动点,满足=λ(λ∈R).

(1)求|2+|的值;

(2)求cos∠BAC;

(3)若⊥,求实数λ的值.

答案全解全析

基础过关练

1.D　∵a·b=(1,-1)·(2,x)=2-x=1,∴x=1.

2.B　由题意知a·b=-1,|b|=,∴a在b上的投影的数量为==-,故选B.

3.B　解法一:设b=(x,y),其中y≠0,则a·b=x+y=.

由解得即b=,.故选B.

解法二:利用排除法.D中,y=0,∴D不符合题意;

C中,当b=,时,不是单位向量,∴C不符合题意;

A中,当b=,时,a·b=2,∴A不符合题意.故选B.

4.A　∵=(1,1),=(-3,3),∴·=1×(-3)+1×3=0,

∴⊥,∴∠BAC=90°,∴△ABC为直角三角形.

5.A　设向量a与向量b的夹角为θ(θ∈[0,π]),则cos θ= ==,

所以θ=.故选A.

6.A　因为a·b=-t=-4,所以t=4,

所以a=(4,0),又b=(-1,),所以a+2b=(2,2).

设a+2b与b的夹角为θ(θ∈[0,π]),则cos θ===,所以θ=.

故选A.

7.解析　(1)∵a=(3,-4),b=(2,x),a∥b,∴3x+8=0,∴x=-.

∵c=(2,y),a⊥c,∴6-4y=0,∴y=.

∴b=,c=.

(2)设a-2c与-3b的夹角为θ,∵a-2c=(3,-4)-(4,3)=(-1,-7),-3b=(-6,8),

∴cos θ===-.

∵0≤θ≤π,∴θ=.

故a-2c与-3b的夹角为.

8.   B　因为向量a=(4,4),c=(1,3),所以a-2c=(2,-2).因为(a-2c)⊥b,所以(a-2c)·b=0,所以10-2m=0,

解得m=5,故b=(5,5),则|b|=5,故选B.

9.B　由题意可得|a|==2,

且a·(a-2b)=0,即a2-2a·b=0,

∴4-2a·b=0,

∴a·b=2.

∵|b|=3,

∴|a-b|2=a2+b2-2a·b=4+9-4=9,

∴|a-b|=3.故选B.

10.D　|a+b|====,

因为θ∈,

所以cos θ∈[0,1],

所以∈[,2],故选D.

11.答案　

解析　由a⊥b可得3-3m=0,得m=1,故|a|==,故答案为.

12.解析　建立如图所示的平面直角坐标系,设DC=h,则A(2,0),B(1,h).设P(0,y)(0≤y≤h),则=(2,-y),=(1,h-y),

∴|+3|=≥=5.

故|+3|的最小值为5.

13.C　设b=(x,y),因为向量a=(2,0),a-b=(3,1),则解得所以b=(-1,-1),所以a+b=(1,-1),b·(a+b)=-1×1+(-1)×(-1)=0,

所以b⊥(a+b),故选C.

14.C　∵a=(-1,2),b=(3,1),∴a-b=(-4,1).

∵(a-b)⊥c,c=(k,4),

∴-4k+4=0,解得k=1,故选C.

15.D　设c=(m,n),

则c+a=(1+m,2+n).

由(c+a)∥b,

得-3×(1+m)=2×(2+n),

由c⊥(a+b),a+b=(3,-1),

得3m-n=0,

故m=-,n=-.

∴c=-,-.

16.C　因为=(1,2),=(-4,2),

所以||=,||=2,

·=1×(-4)+2×2=0,

所以⊥,

所以S四边形ABCD=||×||=××2=5.故选C.

17.解析　由已知得·=0,

即(3-t,t+1)·(-3-t,0)=0,

∴(3-t)(-3-t)=0,解得t=3或t=-3,

当t=-3时,点B与点C重合,不符合题意,故t的值是3.

能力提升练

一、单项选择题

1.B　因为0×-(-1)×-=-≠0,所以A不成立;

由题意得a+b=,所以(a+b)·b=-,-·-,=-=0,所以B成立;

由题意得a-b=,所以(a-b)·b=,-·-,=--=-1≠0,所以C不成立;

因为|a-b|=,|b|=,所以|a-b|≠|b|,所以D不成立.故选B.

2.   B　∵=(1,3),=(3,1),∴cos∠AOB===,

又0≤∠AOB≤π,∴sin∠AOB=,故选B.

3.B　以C为原点,CA所在直线为x轴,CB所在直线为y轴,建立平面直角坐标系(图略),则C(0,0),A(1,0),B(0,1),P,则·+·=·(0,1)+·(1,0)=+=1,故选B.

4.D　以A点为坐标原点,AB所在直线为x轴,AD所在直线为y轴,建立如图所示的平面直角坐标系,则A(0,0),E(1,2),C(2,2),则=(1,2),=(1,0).

由数量积的坐标运算可得·=1+0=1.故选D.

二、多项选择题

5.AB　由题可得,kb=-3a-7c=-3×(1,0)-7×(0,-1)=(-3,7),∴|kb|=|k|·|b|==.

∵|b|=1,∴k=±.

6.BCD　建立如图所示的平面直角坐标系.

设P(x,y),又A(0,a),B(-a,0),C(a,0),

则=(-x,a-y),=(-a-x,-y),=(a-x,-y).

所以·(+)

=(-x,a-y)·[(-a-x,-y)+(a-x,-y)]

=(-x,a-y)·(-2x,-2y)

=2x2+2y2-2ay

=2x2+2-a2≥-a2.

故选BCD.

三、填空题

7.答案　2

解析　因为a=(1,2),b=(4,2),所以c=ma+b=(m+4,2m+2),

又因为c与a的夹角等于c与b的夹角,

所以cos<a,c>=cos<b,c>,即=,易知|c|≠0,

所以=,解得m=2.

8.答案　

解析　∵A(2,m),B(1,2),C(3,1),

∴=(-1,2-m),=(1,1-m),

=(-2,1),

又·=||,

∴-1×(-2)+(2-m)×1=,

两边平方得(4-m)2=2-2m+m2,解得m=,

∴实数m的值为.

9.答案　-6

解析　∵a=(2,-3),b=(-3,4),

∴a-b=(5,-7),a+b=(-1,1),

∴(a-b)·(a+b)=5×(-1)+(-7)×1=-12,|a+b|=,

∴a-b在a+b上的投影的数量为==-6.

四、解答题

10.解析　如图,以A为原点,AB所在直线为x轴建立平面直角坐标系,

则B(1,0),C,.设M(x,y),则·=(x,y)·(1,0)=x<0,

由||=1得x-2+y-2=1,所以-≤x<0.

因为·=x-,y-·(1,0)=x-,所以-1≤x-<-,所以·的取值范围是.

11.解析　(1)因为=(-1,1),=(1,5),所以2+=(-1,7),所以|2+|==5.

(2)cos∠BAC===.

(3)=-=λ-=λ(1,5)-(-1,1)=(λ+1,5λ-1).

因为⊥,所以·=0.又=(1,-1),所以(λ+1)×1+(5λ-1)×(-1)=0,解得λ=.