高中数学人教B版 (2019)必修 第四册9.2 正弦定理与余弦定理的应用同步达标检测题

9.2　正弦定理与余弦定理的应用

9.3　数学探究活动:得到不可达两点之间的距离

基础过关练

题组一　距离问题

1.如图,B、C两点在河的两岸,在河岸AC测量B,C两点间的距离有下列四组数据,较适宜测量的数据是(　　)

A.c,γ,α B.b,c,α  C.c,α,β  D.b,α,γ

2.海上A、B两个小岛相距10千米,从A岛望C岛和B岛成30°的视角,从B岛望C岛和A岛成105°的视角,则B、C间的距离是(　　)

A.5千米    B.5千米   C.10千米   D.10千米

3.某船在海平面A处测得灯塔B在北偏东60°方向,与A相距6千米处.该船由A处向正北方向航行8千米到达C处,这时灯塔B与船相距(　　)

A.6千米    B.2千米   C.2千米  D.8千米

4.如图,某炮兵阵地位于A点,两个观察所分别位于C,D两点.已知△ACD为等边三角形,且DC= km,当目标出现在B点时,测得∠CDB=45°,∠BCD=75°,则炮兵阵地与目标之间的距离约是(　　)

A.1.1 km   B.2.2 km  C.2.9 km  D.3.5 km

5.如图所示,为了测量河的宽度,在岸边选定两点A,B,望对岸标记物C,测得∠CAB=30°,∠CBA=75°,AB=120 m,则河的宽度为　　　m. 

6.如图,要计算岸边两景点B与C之间的距离,由于地形的限制,需要在岸上选取A和D两点,现测得AD⊥CD,AD=10 km,AB=14 km,∠BDA=60°,∠BCD=135°,则两景点B与C之间的距离等于　　　　. 

题组二　高度问题

7.如图所示,为测量某树的高度,在地面上选取A,B两点,从A,B两点测得树尖的仰角分别为30°和45°,且A,B两点之间的距离为60 m,则树的高度为(　　)

A.(30+30)m B.(30+15)m  C.(15+30)m   D.(15+3)m

8.有一长为10 m的斜坡,倾斜角为75°,在不改变坡高和坡顶的前提下,通过加长坡面的方法将它的倾斜角改为30°,则坡底要延长(　　)

A.5 m    B.10 m   C.10 m     D.10 m

9.如图,在地面上共线的三点A,B,C处测得一个建筑物的仰角分别为30°,45°,60°,且AB=BC=60 m,则建筑物的高度为(　　)

A.15 m     B.20 m   C.25 m      D.30 m

10.如图,A,B是海平面上的两个点,相距800 m,在点A测得山顶C的仰角为45°,∠BAD=120°,又在点B测得∠ABD=45°,其中点D是点C在海平面上的射影,则山高CD为　　　　　　. 

题组三　角度问题

11.如图所示,两座灯塔A和B与海岸观察站C的距离相等,灯塔A在观察站南偏西40°方向上,灯塔B在观察站南偏东60°方向上,则灯塔A在灯塔B的　　　　方向上(　　) 

A.北偏东10° B.北偏西10°  C.南偏东80° D.南偏西80°

12.如图所示,在一个坡度一定的山坡AC上有一高度为25 m的建筑物CD,为了测量该山坡相对于水平地面的坡角θ,在山坡的A处测得∠DAC=15°,沿山坡前进50 m到达B处,又测得∠DBC=45°,根据以上数据可得cos θ=　　　　. 

13.甲船在A处观察到乙船在它的北偏东60°方向的B处,两船相距a 千米,乙船向正北方向行驶.若甲船的速度是乙船速度的倍,问甲船应沿什么方向前进才能最快追上乙船?相遇时乙船行驶了多少千米?

14.(2019江苏高考模拟)某公园内有一块以O为圆心,20米为半径的圆形区域.为丰富市民的业余文化生活,现提出如下设计方案:如图,在圆形区域内搭建露天舞台,舞台为扇形OAB区域,其中点A,B均在圆周上,观众席为梯形ABQP且在圆O外的区域,其中AP=AB=BQ,∠PAB=∠QBA=,且AB,PQ在点O的同侧.为保证视听效果,要求观众席内每一个观众到舞台O处的距离都不超过60米.设∠OAB=α,α∈.那么,对于任意角α,上述设计方案是否符合要求?

能力提升练

一、单项选择题

1.(★★☆)如图所示,长为3.5 m的木棒AB斜靠在石堤旁,木棒的一端A在离堤足C处1.4 m的地面上,另一端B在离堤足C处2.8 m的石堤上,石堤的倾斜角为α,则坡度的正切值tan α等于(　　)

A.       B.    C.      D.

2.(★★☆)如图所示,A,B两地之间有一座山,汽车原来从A地到B地需经C地沿折线A—C—B行驶,现开通隧道后,汽车可直接沿直线AB行驶.已知AC=10 km,A=30°,B=45°,则隧道开通后,汽车从A地到B地比原来少走(结果精确到0.1 km;参考数据:≈1.41,≈1.73)(　　)

A.3.4 km     B.2.3 km  C.5 km   D.3.2 km

3.(★★☆)如图所示,要测量底部不能到达的某电视塔AB的高度,在塔的同一侧选择C,D两个观测点,且在C,D两点测得塔顶的仰角分别为45°,30°,在水平面上测得∠BCD=120°,C,D两地相距500 m,则电视塔AB的高度是(　　)

A.2 100 m    B.400 m   C.200 m   D.500 m

4.(★★☆)甲船在A岛正南方向的B处,以每小时4千米的速度向正北方向航行,AB=10千米,同时乙船自A岛出发,以每小时6千米的速度向北偏东60°方向驶去,当甲、乙两船相距最近时,它们所航行的时间为(　　)

A.分钟   B.分钟   C.21.5分钟  D.2.15小时

5.(★★★)据气象部门预报,在距离某码头南偏东45°方向600 km的A处的热带风暴中心正以20 km/h的速度向正北方向移动,距风暴中心450 km以内的地区都将受到影响,则该码头将受到热带风暴影响的时间为(　　)

A.14 h   B.15 h  C.16 h  D.17 h

6.(★★★)如图,为了测量山坡上灯塔CD的高度,某人从高为h=40的楼AB的底部A处和楼顶B处分别测得塔顶的仰角β=60°,α=30°,若山坡的高度a=35,则灯塔的高度是(　　)

A.15   B.25  C.40     D.60

7.(疑难,★★★)某小区打算将如图所示的Rt△ABC区域进行改建,在三边上各选一点连成等边三角形DEF,在其内部建造文化景观.已知AB=20 m,AC=10 m,则△DEF区域面积(单位:m2)的最小值为(　　)

A.25 B.25    C.15     D.

二、填空题

8.(★★☆)一只蜘蛛沿东北方向爬行x cm捕捉到一只小虫,然后向右转105°,爬行10 cm捕捉到另一只小虫,这时它向右转135°爬行回到出发点,那么x=　　　　. 

9.(★★☆)如图所示,一艘船在海上自西向东航行,在A处测得某岛M位于北偏东α方向,前进m千米后,在B处测得该岛位于北偏东β方向,已知该岛周围n千米范围内(包括边界)有暗礁,现该船继续向东行驶,当α与β满足条件　　　　时,该船没有触礁危险. 

10.(★★☆)如图,某山上原有一条笔直的山路BC,现在又新建了一条索道AC,小李在山脚B处测得∠ABC=120°,从B处攀登400米后到达D处,在D处测得∠ADC=150°,从D处再攀登800米到达C处,则索道AC的长度为　　　　米. 

11.(★★★)如图所示,位于A处的信息中心获悉:在其正东方向相距40千米的B处有一艘渔船遇险,在原地等待营救.信息中心立即把消息告知在其南偏西30°、相距20千米的C处的乙船,现乙船朝北偏东θ的方向沿直线CB前往B处救援,则cos θ=　　　　. 

三、解答题

12.(★★☆)如图,A,B两点在河的同侧,且A,B两点均不可到达,为了测出A,B两点间的距离,测量者在河岸边选定两点C,D,测得CD= km,同时在C,D两点分别测得∠ADB=∠CDB=30°,∠ACD=60°,∠ACB=45°,求A,B两点间的距离.

13.(疑难,★★☆)如图,某人在塔正东方向上的C处,在与塔垂直的水平面内沿南偏西60°的方向以每小时6千米的速度步行了1分钟以后,在D处望见塔的底端B在东北方向上,已知沿途塔的仰角∠AEB=α,α的最大值为60°.

(1)求该人沿南偏西60°的方向走到仰角α最大时,走了几分钟;

(2)求塔高AB(结果保留根号,不求近似值).

14.(疑难,★★★)如图,一辆汽车从A市出发沿海岸一条笔直公路以每小时100 km的速度向东匀速行驶,汽车开动时,在A市的南偏东方向距A市500 km且与海岸距离为300 km的海上B处有一快艇与汽车同时出发,要把一份文件交给汽车的司机.

(1)快艇至少以多大的速度行驶才能把文件送到司机手中?

(2)在(1)的条件下,求快艇以最小速度行驶时的行驶方向与AB所成的角.

答案全解全析

9.2　正弦定理与余弦

定理的应用

9.3　数学探究活动:得到

不可达两点之间的距离

基础过关练

1.D　依题意,a,c,β三个数据不易测量,因此应测量b,α,γ三个数据.

2.B　由题意得,在△ABC中,C=180°-30°-105°=45°,由正弦定理得=,所以BC=5(千米).

3.C　如图,由已知得AB=6,AC=8,A=60°,因此由余弦定理可得BC=

==2(千米).

4.C　∠CBD=180°-∠BCD-∠CDB=60°.在△BCD中,由正弦定理,得BD==.

在△ABD中,∠ADB=45°+60°=105°.由余弦定理,得AB2=AD2+BD2-2AD·BD·cos 105°=3+-2×××=5+2,则AB=≈2.9(km),故炮兵阵地与目标之间的距离约是2.9 km.

5.答案　60

解析　由题意知,∠ACB=180°-30°-75°=75°,所以△ABC为等腰三角形.河宽即AB边上的高的长度,与AC边上的高相等,过点B作BD⊥AC于点D,因此河宽BD==60(m).

6.答案　8 km

解析　在△ABD中,由余弦定理可得AB2=AD2+DB2-2AD·DB·cos∠BDA,所以142=102+DB2-2×10×DB×cos 60°,解得DB=16(DB=-6舍去).在△BCD中,由于AD⊥CD,所以∠CDB=90°-60°=30°,由正弦定理得=,于是BC==8(km).

7.A　在△PAB中,由正弦定理可得=,

则PB==30(+)(m),设树的高度为h,

则h=PB·sin 45°=(30+30)(m).

8.C　如图,设将坡底加长到B'点时,倾斜角为30°,在△ABB'中,B'=30°,∠BAB'=75°-30°=45°,AB=10 m,由正弦定理,得BB'===10(m),故当坡底延长10 m时,斜坡的倾斜角变为30°.

9.D　设建筑物的高度为h m,由题图知,PA=2h m,PB=h m,PC=h m,在△PBA和△PBC中,分别由余弦定理的推论,得

cos∠PBA=①,

cos∠PBC=②,

因为∠PBA+∠PBC=180°,

所以cos∠PBA+cos∠PBC=0③,

由①②③,解得h=30或h=-30(舍去),即建筑物的高度为30 m.

10.答案　800(+1)m

解析　由于CD⊥AD,∠CAD=45°,

所以CD=AD,在△ABD中,∠BDA=180°-45°-120°=15°,由=,得AD===800(+1)(m).故CD=AD=800(+1)m.

11.D　由条件及题图可知,∠BAC=∠ABC=40°,

又∠BCD=60°,所以∠CBD=30°,

所以∠DBA=10°,因此灯塔A在灯塔B的南偏西80°方向上.

12.答案　-1

解析　由∠DAC=15°,∠DBC=45°,可得∠DBA=135°,∠ADB=30°.

在△ABD中,根据正弦定理可得=,即=,

所以BD=100sin 15°=100×sin(45°-30°)=25(-).

在△BCD中,由正弦定理得=,

即=,解得sin∠BCD=-1.

所以cos θ=cos(∠BCD-90°)=sin∠BCD=-1.

13.解析　如图所示,设两船在C处相遇,∠CAB=θ,乙船行驶距离BC为x 千米,则AC=x,

由正弦定理得sin θ==,而θ<60°,所以θ=30°,因此∠ACB=30°,BC=AB=a.所以甲船应沿北偏东30°方向前进才能最快追上乙船,两船相遇时乙船行驶了a千米.

14.解析　如图,过O作OH垂直于AB,垂足为H.在直角三角形OHA中,OA=20,∠OAH=α,所以AH=20cos α,因此AB=2AH=40cos α.由图可知,点P处观众离点O处最远.

连接OP,在三角形OAP中,由余弦定理可知OP2=OA2+AP2-2OA·AP·cos

=400+(40cos α)2-2×20×(40cos α)×

=400(6cos2α+2sin αcos α+1)

=400(3cos 2α+sin 2α+4)

=800sin+1 600.

因为α∈,所以2α+∈,当2α+=,即α=时,OP2取得最大值,且(OP2)max=800+1 600,

即(OP)max=(20+20)米.

因为20+20<60,所以观众席内每一个观众到舞台O处的距离都不超过60米.

故对于任意角α,上述设计方案符合要求.

能力提升练

一、单项选择题

1.A　由题意可得,在△ABC中,AB=3.5 m,AC=1.4 m,BC=2.8 m,且α+∠ACB=π,由余弦定理可得AB2=AC2+BC2-2×AC×BC×cos∠ACB,即3.52=1.42+2.82-2×1.4×2.8×cos(π-α),解得cos α=,所以sin α=,所以tan α==.

2.A　过点C作CD⊥AB,垂足为D.在Rt△CAD中,A=30°,AC=10 km,CD=AC=5 km,AD=AC·cos 30°=5 km.在Rt△BCD中,B=45°,BD=CD=5 km,BC==5 km.AB=AD+BD=(5+5)km,AC+BC-AB=10+5-(5+5)=5+5-5≈5+5×1.41-5×1.73=3.4(km).

3.D　设AB=x m,在Rt△ABC中,∠ACB=45°,所以BC=AB=x m.在Rt△ABD中,∠ADB=30°,所以BD=x m.在△BCD中,∠BCD=120°,CD=500 m,由余弦定理得(x)2=5002+x2-2×500xcos 120°,解得x=500(x=-250舍去).

4.A　如图,设t小时后甲行驶到D处,则AD=(10-4t)千米,乙行驶到C处,则AC=6t千米.易知∠BAC=120°,所以DC2=AD2+AC2-2AD·AC·cos 120°=(10-4t)2+(6t)2-2×(10-4t)×6t×cos 120°=28t2-20t+100=28+.当t=时,DC2最小,即DC最小,此时它们所航行的时间为×60=(分钟).

5.B　记t小时后热带风暴中心到达点B位置,在△OAB中,OA=600 km,AB=20t km,∠OAB=45°,根据余弦定理得OB2=6002+400t2-2×600×20t×,令OB2≤4502,即4t2-120t+1 575≤0,解得≤t≤,所以该码头将受到热带风暴影响的时间为-=15(h).

6.B　过点B作BE⊥DC于点E,过点A作AF⊥DC的延长线于点F,如图所示,在△ABD中,由正弦定理得,=,即=,所以AD=,在Rt△ADF中,DF=ADsin β=,又山坡高a=35,则灯塔CD的高度CD=DF-CF=-a=-35=60-35=25.

7.D　在Rt△ABC中,AB=20 m,AC=10 m,可得CB=10 m.设∠CED=θ,DE=x m,那么∠BFE=+θ,CE=xcos θ.在△BFE中,由正弦定理,可得=,可得x==,其中tan α=.所以当sin(θ+α)=1时,x取到最小值,最小值为,故△DEF面积的最小值为S=x2×sin=.

二、填空题

8.答案　

解析　如图所示,设蜘蛛原来在O点,先爬行到A点,再爬行到B点,易知在△AOB中,AB=10 cm,∠OAB=75°,∠ABO=45°,则∠AOB=60°,由正弦定理知,x===.

9.答案　mcos αcos β>nsin(α-β)

解析　在△ABM中,由正弦定理得=,故BM=,要使该船没有触礁危险,需满足BM·sin(90°-β)=>n.所以当α与β满足mcos αcos β>nsin(α-β)时,该船没有触礁危险.

10.答案　400

解析　在△ABD中,BD=400米,∠ABD=120°,因为∠ADB=180°-∠ADC=30°,所以∠DAB=30°,所以AB=BD=400米,AD==400(米).在△ADC中,DC=800米,∠ADC=150°,AC2=AD2+DC2-2AD·DC·cos∠ADC=(400)2+8002-2×400×800×cos 150°=4002×13,所以AC=400米,故索道AC的长度为400米.

11.答案　

解析　在△ABC中,AB=40千米,AC=20千米,∠BAC=120°,由余弦定理知BC2=AB2+AC2-2AB·AC·cos 120°=2 800,故BC=20千米.由正弦定理可得,=,即sin∠ACB=·sin∠BAC=,又因为∠BAC=120°,所以∠ACB为锐角,cos∠ACB=.由θ=∠ACB+30°,得cos θ=cos(∠ACB+30°)=cos∠ACB·cos 30°-sin∠ACB·sin 30°=.

三、解答题

12.解析　因为∠ADC=∠ADB+∠CDB=60°,∠ACD=60°,

所以∠DAC=60°,所以AC=CD= km.

在△BCD中,易知∠DBC=45°,

由正弦定理,得BC=·sin∠CDB=·sin 30°=(km).

在△ABC中,由余弦定理,得AB2=AC2+BC2-2AC·BCcos 45°=+-2×××=,所以AB= km.

故A,B两点间的距离为 km.

13.解析　(1)依题意知,在△BCD中,∠BCD=30°,∠DBC=180°-45°=135°,CD=6 000×=100(m),∠BDC=45°-30°=15°.在△BCD中,由正弦定理得=,

所以BC=====50(-1)(m),

在Rt△ABE中,tan α=,

因为AB为定长,所以当BE的长最小时,α取最大值60°,这时BE⊥CD.当BE⊥CD时,在Rt△BEC中,EC=BC·cos∠BCE=50(-1)×=25(3-)(m),

设该人沿南偏西60°的方向走到仰角α最大时,走了t分钟,则t=×60=×60=(分钟).

(2)由(1)知当α取得最大值60°时,BE⊥CD,在Rt△BEC中,BE=BC·sin∠BCE,所以AB=BE·tan 60°=BC·sin∠BCE·tan 60°=50(-1)××=25(3-)(m),即塔高AB为25(3-)m.

14.解析　(1)如图,设快艇以v km/h的速度从B处出发,沿BC方向,t h后与汽车在C处相遇,在△ABC中,AB=500 km,AC=100t km,BC=vt km,BD为AC边上的高,BD=300 km.设∠BAC=α,则sin α=,cos α=.在△ABC中,由余弦定理得BC2=AC2+AB2-2AC·ABcos α,即v2t2=(100t)2+5002-2×100t×500×,整理得,v2=-+10 000=250 000×+10 000-

=250 000+3 600.当=,即t=时,=3 600,vmin=60 km/h,即快艇至少以60 km/h的速度行驶才能把文件送到司机手中.

(2)当v=60 km/h时,在△ABC中,AB=500 km,AC=100×=625 km,BC=60×=375 km,易得cos∠ABC==0,所以∠ABC=90°,故快艇行驶的方向与AB所成的角为90°.