高中数学人教B版 (2019)必修 第四册10.1.1 复数的概念同步达标检测题

第十章　复数

10.1　复数及其几何意义

10.1.1　复数的概念

基础过关练

题组一　复数的概念

1.有下列四个命题:

(1)方程2x-5=0在自然数集N中无解;

(2)方程2x2+9x-5=0在整数集Z中有一个解,在有理数集Q中有两个解;

(3)x=i是方程x2+1=0在复数集C中的一个解;

(4)x4=1在R中有两个解,在复数集C中也有两个解.

其中正确命题的个数是(　　)

A.1    B.2  C.3   D.4

2.复数i-i2的实部等于(　　)

A.0   B.1   C.-1   D.i

3.复数z=-2+3i的虚部为(　　)

A.-2   B.3i  C.2   D.3

4.以复数3i-的虚部为实部,-3+i的实部为虚部的复数是　　　　　　　　. 

题组二　复数的分类

5.如果C,R,I分别表示复数集、实数集和纯虚数集,其中C为全集,则(　　)

A.C=R∪I    B.R∪I={0}   C.R=C∩I   D.R∩I=⌀

6.如果复数z=m2-4+(m+2)i为纯虚数,其中i为虚数单位,则实数m的值为(　　)

A.-2   B.0   C.2      D.-2或2

7.复数z=a2+b2+(a-|a|)i(a,b∈R)为实数的充要条件是(　　)

A.|a|=|b|    B.a<0且a=-b

C.a>0且a≠b D.a≥0

8.已知复数z=k2-3k+(k2-5k+6)i(k∈R),且z<0,则k=　　　　. 

9.已知复数z=(m2-5m+6)+(m2-3m)i,其中i为虚数单位.

(1)若复数z是实数,求实数m的值;

(2)若复数z是纯虚数,求实数m的值.

10.已知i为虚数单位,当实数m为何值时,复数z=+(m2-2m)i是:

(1)实数?(2)虚数?(3)纯虚数?

题组三　复数相等

11.适合x-2i=(x+y)i的实数x,y的值为(　　)

A.x=0,y=2 B.x=0,y=-2   C.x=2,y=2 D.x=2,y=0

12.已知x,y∈R,若x+y+(x-2y)i=-x-3+(y-19)i,则x+yi=(　　)

A.3+5i    B.-4+5i       C.4-5i   D.-4-5i

13.求使等式3x+1+i=y-(3-y)i成立的实数x,y的值.

14.(1)已知2x-y+1+(y-2)i=0,其中i为虚数单位,求实数x,y的值;

(2)已知(x+y)+(y-1)i=(2x+3y)+(2y+1)i,其中i为虚数单位,求实数x,y的值.

能力提升练

一、单项选择题

1.(★★☆)“复数4-a2+(1-a+a2)i(a∈R)是纯虚数”是“a=-2”的(　　)

A.充分不必要条件    B.必要不充分条件

C.充要条件          D.既不充分也不必要条件

2.(疑难2,★★☆)若(x+y)i=x-1(x,y∈R),则2xy的值为(　　)

A.       B.2   C.0      D.1

二、多项选择题

3.(★★☆)下列命题错误的是(　　)

A.(-i)2=-1              B.-i2=-1

C.若a>b,则a+i>b+i      D.若z∈C,则z2>0

4.(★★☆)已知复数z=cos α+icos 2α(0<α<2π)的实部与虚部互为相反数,则α的取值可能为(　　)

A.     B.      C.π    D.

三、填空题

5.(★★☆)若log2(x2-3x-2)+ilog2(x2+2x+1)>1,则实数x的值是　　　　　. 

6.(★★☆)使不等式m2-(m2-3m)i<(m2-4m+3)i+10成立的实数m的取值集合是　　　　　. 

7.(疑难1,★★★)若复数z=(sin θ+cos θ+1)+(sin θ-cos θ)i是纯虚数,则sin2 021θ+cos2 021θ=　　　　. 

四、解答题

8.(疑难1,★★☆)设复数z=lg(m2-2m-2)+(m2+3m+2)i,i为虚数单位,m∈R.

(1)当m为何值时,z是实数?

(2)当m为何值时,z是纯虚数?

9.(疑难2,★★☆)定义运算=ad-bc,如果(x+y)+(x+3)i=,求实数x,y的值.

10.(★★★)已知集合M={1,(m2-2m)+(m2+m-2)i},P={-1,1,4i},若M∪P=P,求实数m的值.

11.(疑难2,★★★)关于x的方程3x2-x-1=(10-x-2x2)i有实数根,求实数a的值和这个实数根.

答案全解全析

10.1.1　复数的概念

基础过关练

1.C　(1)中方程的解为x=∉N,故(1)正确;(2)中方程的两个解分别为x1=-5,x2=,在整数集Z中有一个解,在有理数集Q中有两个解,故(2)正确;(3)显然正确;(4)x4=1在R中有两个解,为±1,在C中有四个解,为±1,±i,故(4)错误.故正确命题的个数是3.

2.B　由于复数i-i2=i+1=1+i,故实部等于1.

3.D　因为复数z=-2+3i,所以复数z的虚部为3,故选D.

4.答案　3-3i

解析　复数3i-的虚部是3,-3+i的实部是-3,故所求复数是3-3i.

5.D　复数包括实数和虚数,所以实数集与纯虚数集无交集.所以R∩I=⌀.故选D.

6.C　因为复数z=m2-4+(m+2)i为纯虚数,所以解得m=2,故选C.

7.D　复数z为实数的充要条件是a-|a|=0,即|a|=a,故a≥0.故选D.

8.答案　2

解析　因为z<0,所以z∈R,由题意得解得k=2.

9.解析　(1)令m2-3m=0,解得m=0或m=3,所以当m=0或m=3时,复数z是实数.

(2)令m2-5m+6=0,解得m=2或m=3,又m2-3m≠0,即m≠0且m≠3,所以m=2.所以当m=2时,复数z是纯虚数.

10.解析　(1)当即m=2时,复数z是实数.

(2)当m2-2m≠0且m≠0,即m≠0且m≠2时,复数z是虚数.

(3)当即m=-3时,复数z是纯虚数.

11.B　依题意得解得故选B.

12.B　因为x,y∈R,所以利用复数相等的充要条件可得解得所以x+yi=-4+5i.故选B.

13.解析　由复数相等的充要条件可得解得

故当等式3x+1+i=y-(3-y)i成立时,x=1,y=4.

14.解析　(1)因为2x-y+1+(y-2)i=0,所以解得

(2)因为(x+y)+(y-1)i=(2x+3y)+(2y+1)i,所以解得

能力提升练

一、单项选择题

1.B　因为1-a+a2=+>0,所以若复数4-a2+(1-a+a2)i(a∈R)是纯虚数,则4-a2=0,即a=±2;当a=-2时,4-a2+(1-a+a2)i=7i为纯虚数.所以“复数4-a2+(1-a+a2)i(a∈R)是纯虚数”是“a=-2”的必要不充分条件.故选B.

2.A　由复数相等的充要条件知,解得所以xy=-1,所以2xy=2-1=.故选A.

二、多项选择题

3.BCD　-i2=1,故B错误;虚数不能比较大小,故C错误;若z=i,则z2=-1<0,故D错误.故选BCD.

4.ACD　由题意可得,cos α+cos 2α=0,所以2cos2α+cos α-1=0,所以cos α= -1或cos α=,因为0<α<2π,所以α=π或α=或α=.故选ACD.

三、填空题

5.答案　-2

解析　∵log2(x2-3x-2)+ilog2(x2+2x+1)>1,∴解得x=-2.

6.答案　{3}

解析　由已知,得解得m=3,所以所求的实数m的取值集合是{3}.

7.答案　-1

解析　由题意得由①得sin θ+cos θ=-1,

又sin2θ+cos2θ=1,所以或

所以sin2 021θ+cos2 021θ=(-1)2 021+02 021=-1.

四、解答题

8.解析　(1)要使复数z为实数,需满足解得m=-2或m=-1.

故当m=-2或m=-1时,z是实数.

(2)要使复数z为纯虚数,需满足解得m=3.

故当m=3时,z是纯虚数.

9.解析　由=ad-bc,得=3x+2y+yi,

故有(x+y)+(x+3)i=3x+2y+yi.因为x,y为实数,所以有解得

10.解析　因为M∪P=P,所以M⊆P,即(m2-2m)+(m2+m-2)i=-1或(m2-2m)+(m2+m-2)i=4i.

由(m2-2m)+(m2+m-2)i=-1,得解得m=1;

由(m2-2m)+(m2+m-2)i=4i,得解得m=2.

综上可知m=1或m=2.

11.解析　设方程的实数根为x=m,则3m2-m-1=(10-m-2m2)i,

根据复数相等的充要条件,得解得或

所以当实数a=11时,实数根为2;当实数a=-时,实数根为-.