高中数学人教B版 (2019)必修 第四册第十章 复数10.2 复数的运算10.2.2 复数的乘法与除法习题

10.2.2　复数的乘法与除法

基础过关练

题组一　复数的乘、除运算

1.已知复数z=2-i,则z·的值为(　　)

A.5 B. C.3 D.

2.已知i是虚数单位,则复数=(　　)

A.1-i B.-1+i

C.+i D.-+i

3.满足=i(i为虚数单位)的复数z=(　　)

A.+i B.-i

C.-+i D.--i

4.在复平面内,表示复数z=i(-2+i)的点位于(　　)

A.第一象限 B.第二象限

C.第三象限 D.第四象限

5.已知i是虚数单位,复数z满足(1+i)z=2,则z的实部为　　　　. 

6.设复数z1=1+i,z2=x+2i(x∈R),若z1z2∈R,则x等于　　　　. 

7.设复数z1,z2在复平面内对应的点分别为A,B,点A与点B关于实轴对称,若z1(1-i)=3-i,则|z2|=　　　.  

题组二　复数的混合运算

8.已知a,b∈R,i是虚数单位,若a-i与2+bi互为共轭复数,则(a+bi)2=(　　)

A.5-4i B.5+4i C.3-4i D.3+4i

9.设复数z=-1-i(i为虚数单位),z的共轭复数是,则等于(　　)

A.-1-2i B.-2+i C.-1+2i D.1+2i

10.已知i为虚数单位,若复数z=,z的共轭复数为,则z·=　　　　. 

11.计算:(1)(4-i)(6+2i)-(7-i)(4+3i);

(2)+;(3).

12.设复数z1=2-ai(a∈R),z2=4-3i.

(1)若z1+z2是实数,求z1·z2;

(2)若是纯虚数,求z1的共轭复数.

13.已知复数z=.

(1)求复数z;

(2)若z2+az+b=1-i,求实数a,b的值.

题组三　复数的乘方运算及i的周期性

14.已知i为虚数单位,则=(　　)

A.-1 B.1 C.-i D.i

15.已知i为虚数单位,则i607的共轭复数为(　　)

A.i B.-i C.1 D.-1

16.在复平面内,复数z=+i2 022表示的点所在的象限是　　　　. 

17.设i是虚数单位,则=　　　　. 

18.若z=-,则z100+z50+1的值等于　　　　. 

题组四　实系数一元二次方程在复数范围内的解集

19.方程x2+6x+13=0的一个根是(　　)

A.-3+2i B.3+2i C.-2+3i D.2+3i

20.已知关于x的方程x2+(m+2i)x+2+2i=0(m∈R)有实数根n,则复数z=m+ni=　　　　　.  

21.已知-1+i是关于x的方程x2+px+q=0的一个根,则复数z=p+qi(p,q∈R)等于　　　　. 

22.在复数范围内解下列一元二次方程:

(1)x2+9=0;(2)x2-x+1=0.

能力提升练

一、单项选择题

1.(★★☆)若复数z满足=i,其中i是虚数单位,则z=(　　)

A.1-i B.1+i C.-1-i D.-1+i

2.(★★☆)若z1=2+i,z2=3+ai(a∈R),z1z2在复平面内对应的点在实轴上,则实数a的值为(　　)

A. B.2 C.1 D.-

3.(★★☆)i是虚数单位,若=a+bi(a,b∈R),则lg(a+b)的值是(　　)

A.-2 B.-1 C.0 D.

4.(★★☆)若i为虚数单位,图中复平面内的点Z表示复数z,则表示复数的点是(　　)

A.E B.F C.G D.H

5.(疑难1,★★☆)若x=,则=(　　)

A.-2 B.-1 C.1+i D.1

6.(疑难3,★★☆)若关于x的方程x2+(1+2i)x+3m+i=0有实数根,则实数m等于(　　)

A. B. C.- D.-

7.(疑难2,★★★)设复数z=+i(i是虚数单位),则z+2z2+3z3+4z4+5z5+6z6=(　　)

A.6z B.6z2 C.6 D.-6z

8.(★★★)若一个复数的实部与虚部互为相反数,则称此复数为“理想复数”.已知z=+bi(a,b∈R)为“理想复数”,则(　　)

A.a-5b=0 B.3a-5b=0

C.a+5b=0 D.3a+5b=0

9.(疑难2,★★★)若+=2,则n的值可能为(　　)

A.4 B.5 C.6 D.7

二、多项选择题

10.(★★☆)复数z=a+bi,a,b∈R,且b≠0,若z2-4bz是实数,则有序实数对(a,b)可以是(　　)

A.(2,1) B.(2,2) C.(4,2) D.(8,4)

11.(★★☆)对任意z1,z2,z∈C,下列结论成立的是(　　)

A.当m,n∈N*时,有zmzn=zm+n

B.当z1,z2∈C时,若+=0,则z1=0且z2=0

C.互为共轭复数的两个复数的模相等,且||2=|z|2=z·

D.z1=z2的充要条件是|z1|=|z2|

三、填空题

12.(疑难2,★★☆)(1+i)20-(1-i)20的值等于　　　. 

13.(★★☆)若z1=a+2i,z2=3-4i,且为纯虚数,则实数a的值为　　　　. 

14.(★★★)复数|z|=1,若存在负数a使得z2-2az+a2-a=0,则a=　　　　. 

四、解答题

15.(★★☆)已知复数z1满足(z1-2)(1+i)=1-i(i为虚数单位),复数z2的虚部为2,且z1·z2是实数,求z2.

16.(疑难3,★★☆)已知实系数一元二次方程x2-ax+2a+1=0(a∈R)的一个根是1+2i,求a的值以及另一个根.

答案全解全析

基础过关练

1.A　z·=(2-i)(2+i)=22-i2=4+1=5.

2.A　===1-i.

3.B　易得z+i=zi,所以(1-i)z=-i,解得z==-i.故选B.

4.C　因为z=i(-2+i)=-2i+i2=-1-2i,所以在复平面内表示复数z的点位于第三象限.

5.答案　1

解析　因为(1+i)z=2,所以z==1-i,z的实部为1.

6.答案　-2

解析　∵z1=1+i,z2=x+2i(x∈R),

∴z1z2=(1+i)(x+2i)=(x-2)+(x+2)i.

∵z1z2∈R,∴x+2=0,即x=-2.

7.答案　

解析　∵z1(1-i)=3-i,

∴z1===2+i.

∵A与B关于实轴对称,∴z1与z2互为共轭复数,∴z2==2-i,∴|z2|=.

8.D　∵a-i与2+bi互为共轭复数,∴a+i=2+bi,∴a=2,b=1,∴(a+bi)2=(2+i)2=4+4i+i2=4+4i-1=3+4i.

9.C　由题意可得===-1+2i,故选C.

10.答案　1

解析　依题意,得z==i,所以=-i,

所以z·=i·(-i)=1.

11.解析　(1)(4-i)(6+2i)-(7-i)(4+3i)=(24+8i-6i+2)-(28+21i-4i+3)

=(26+2i)-(31+17i)

=-5-15i.

(2)+=+

=i-i=0.

(3)=

=====-1+i.

12.解析　(1)∵z1+z2=6-(3+a)i是实数,

∴3+a=0,∴a=-3,∴z1=2+3i,

∴z1·z2=(2+3i)(4-3i)=17+6i.

(2)∵===是纯虚数,

∴解得a=-,∴z1=2+i,故z1的共轭复数为2-i.

13.解析　(1)z==

==1+i.

(2)把z=1+i代入z2+az+b=1-i,得(1+i)2+a(1+i)+b=1-i,整理得a+b+(2+a)i=1-i,

所以解得

14.A　===-1.

15.A　因为i607=(i2)303·i=-i,-i的共轭复数为i,故选A.

16.答案　第二象限

解析　z=+i2 022=+i2=-+i,在复平面内对应的点的坐标为,在第二象限.

17.答案　-1

解析　∵=-=-=-i,

∴=i3·(-i)=-i4=-1.

18.答案　-i

解析　∵z2==-i,

∴z100+z50+1=(-i)50+(-i)25+1

=(-i)2+(-i)+1=-i.

19.A　一元二次方程x2+6x+13=0中,Δ=62-4×1×13=-16<0,故有一对虚数根,由求根公式可得x1,2==-3±2i.故选A.

20.答案　3-i

解析　由题意,知n2+(m+2i)n+2+2i=0,即解得

∴z=m+ni=3-i.

21.答案　2+2i

解析　由题意可得(-1+i)2+p(-1+i)+q=0,整理得(q-p)+(p-2)i=0,

∴解得p=q=2.

故z=p+qi=2+2i.

22.解析　(1)由x2+9=0得x2=-9=(±3i)2,所以x=±3i.

(2)解法一:由x2-x+1=0配方得

=-=,所以x-=±i,解得x=±i.

解法二:由x2-x+1=0,得Δ=(-1)2-4=-3,由实系数一元二次方程的求根公式,

得x1,2= =±i.

能力提升练

一、单项选择题

1.A　=(1-i)i=-i2+i=1+i,∴z=1-i.

2.D　由题意得z1z2=(2+i)(3+ai)=(6-a)+(2a+3)i,因为z1z2在复平面内对应的点在实轴上,所以z1z2为实数,所以2a+3=0,所以a=-.

3.C　因为==-i=a+bi,所以所以lg(a+b)=lg 1=0.故选C.

4.D　由题图可知z=3+i,

∴====2-i,

对应复平面内的点H.

5.B　∵x2-x=x(x-1)=·=·=-(1-i)(1+i)=-1,∴=-1,故选B.

6.A　设方程的实数根为x=a(a∈R),

则a2+(1+2i)a+3m+i=0,

所以解得

7.C　由题意知z2=-+i,z3=-1,z4=--i,z5=-i,z6=1,

∴原式=+(-1+i)+(-3)+(-2-2i)++6=3-3i

=6=6.

8.D　z=+bi=+bi=+i,由题意,得=--b,即3a+5b=0.

9.A　∵=i,=-i,

∴in+(-i)n=k∈N,

结合选项知,n的值可能为4.

二、多项选择题

10.ACD　∵z2-4bz=z(z-4b)=(a+bi)(a-4b+bi)=a2-4ab+abi+abi-4b2i-b2=a2-4ab-b2+(2ab-4b2)i是实数,

∴2ab-4b2=0,∴2b(a-2b)=0.

∵b≠0,∴a=2b.结合选项知,(a,b)可以为(2,1),(4,2)或(8,4).故选ACD.

11.AC　由复数乘法的运算性质知A正确;取z1=1,z2=i,满足+=0,B错误;由复数的模及共轭复数的概念知结论成立,C正确;由z1=z2能推出|z1|=|z2|,但|z1|=|z2|推不出z1=z2,因此z1=z2的必要不充分条件是|z1|=|z2|,D错误.故选AC.

三、填空题

12.答案　0

解析　(1+i)20-(1-i)20=[(1+i)2]10-[(1-i)2]10=(2i)10-(-2i)10=(2i)10-(2i)10=0.

13.答案　

解析　因为====为纯虚数,所以解得a=.

14.答案　

解析　由z2-2az+a2-a=0,得(z-a)2=a.

又a为负数,所以z-a为纯虚数.

设z-a=bi(b≠0),则z=a+bi,所以(bi)2=a,

故a=-b2.

又|z|=1,所以a2+b2=1,所以a2-a-1=0,

故a=.因为a为负数,所以a=.

四、解答题

15.解析　可以结合复数z2的虚部为2,设z2=a+2i(a∈R),由复数z1满足(z1-2)(1+i)=1-i,得z1=2-i,又z1·z2=(2-i)(a+2i)=(2a+2)+(4-a)i是实数,所以4-a=0,即a=4,即复数z2=4+2i.

16.解析　解法一:因为一元二次方程x2-ax+2a+1=0(a∈R)的一个根是1+2i,所以(1+2i)2-a(1+2i)+2a+1=0,得(a-2)+(4-2a)i=0,所以a=2.

方程为x2-2x+5=0,Δ=(-2)2-4×1×5=-16,由求根公式可得x1,2==1±2i,所以方程的另一个根为1-2i.

解法二:因为实系数一元二次方程x2-ax+2a+1=0(a∈R)的一个根是1+2i,则另一个根为1-2i,

由根与系数的关系,得x1+x2=a=1+2i+1-2i=2,即a=2.