数学选择性必修 第一册1.2.2 空间中的平面与空间向量课时训练

这是一份数学选择性必修 第一册1.2.2 空间中的平面与空间向量课时训练，共21页。
题组一 平面的法向量
1.(2020吉林长春高二期末)已知A(1,0,0),B(0,1,0),C(0,0,1),则下列向量是平面ABC的一个法向量的是( )
A.(-1,1,1) B.(1,-1,1) C.-33,-33,-33 D.33,33,-33
2.(2020福建南平邵武第四中学高二期末)在三棱锥P-ABC中,CP、CA、CB两两互相垂直,AC=CB=1,PC=2,建立如图所示的空间直角坐标系,则下列向量是平面PAB的一个法向量的是( )
A.1,1,12 B.(1,2,1) C.(1,1,1) D.(2,-2,1)
3.在空间直角坐标系中,已知三点A(1,-2,-1),B(0,-3,1),C(2,-2,1),若向量n与平面ABC垂直,且|n|=21,则n的坐标为 .
题组二 空间位置关系的向量证明
4.(2020陕西西安高新第一中学高二期末)在空间直角坐标系中,A(1,2,3),B(-1,0,5),C(3,0,4),D(4,1,3),则直线AB与CD的位置关系是( )
A.平行B.垂直 C.相交但不垂直 D.无法确定
5.(2020北京大学附中高二期末)若d=(4,2,3)是直线l的一个方向向量,n=
(-1,3,0)是平面α的一个法向量,则直线l与平面α的位置关系是( )
A.垂直B.平行 C.直线l在平面α内 D.相交但不垂直
6.(2019江苏苏州高二期末)若平面α,β的法向量分别为a=(-1,2,4),b=(x,-1,
-2),且α⊥β,则x的值为( )
A.10 B.-10 C.12D.-12
7.(2020广东华南师范大学附属中学高二期末)已知n为平面α的一个法向量,l为一条直线,则“l⊥n”是“l∥α”的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
8.(多选)已知点P是平行四边形ABCD所在平面外一点,如果AB=(2,-1,
-4),AD=(4,2,0),AP=(-1,2,-1),那么以下结论中正确的是( )
A.AP⊥AB B.AP⊥AD
C.AP是平面ABCD的一个法向量 D.AP∥BD
9.(2020河北武邑中学高二期末)如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,侧棱与底面垂直,∠ABC=90°,AB=BC=BB1=2,M,N分别是AB,A1C的中点.
(1)求证:MN∥平面BCC1B1;
(2)求证:MN⊥平面A1B1C.
能力提升练
题组一 利用空间向量解决空间中的位置关系
1.(多选)(2019安徽蚌埠怀仁第一中学高二期末,)已知直线l过点P(1,0,-1),且与向量a=(2,1,1)平行,平面α过直线l与点M(1,2,3),则平面α的法向量可能是( )
A.(1,-4,2) B.14,-1,12
C.-14,1,-12 D.(0,-1,1)
2.(多选)(2020山东青岛高二期末,)如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=3AD=3AA1=3,点P为线段A1C上的动点,则下列结论正确的是( )
A.当A1C=2A1P时,B1、P、D三点共线
B.当AP⊥A1C时,AP⊥D1P
C.当A1C=3A1P时,D1P∥平面BDC1
D.当A1C=5A1P时,A1C⊥平面D1AP
3.(2020安徽合肥六中高三月考,)如图,在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中,点M是线段AD的中点,动点P在底面正方形ABCD内(不包括边界),若直线B1P∥平面A1BM,则|C1P|的取值范围是 .
4.(2020辽宁大连高三月考,)如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=3,AD=4,AA1=5,点E为棱CC1上的一个动点,平面BED1与棱AA1交于点F,给出下列命题:
①四棱锥B1-BED1F的体积为20;
②存在唯一的点E,使截面四边形BED1F的周长的最小值为274;
③存在唯一一点E,使得B1D⊥平面BED1,且CE=165.
其中正确的命题是 (填序号).
5.(2020河北衡水中学高三月考,)如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是边长为2的菱形,∠ABC=60°,AC与BD交于点O,PO⊥平面ABCD,E为CD的中点,AE与BD交于点G,点F在侧棱PD上,且DF=13PD.
(1)求证:PB∥平面AEF;
(2)若cs∠BPA=24,求三棱锥E-PAD的体积.
6.(2020上海曹杨二中高二月考,)如图,在四棱锥P-ABCD中,PA⊥平面ABCD,底面ABCD是菱形,AB=2,∠BAD=60°.
(1)求证:BD⊥平面PAC;
(2)若PA=AB,求异面直线PB与AC所成角的余弦值;
(3)若平面PBC与平面PDC垂直,求PA的长.
题组二 利用空间向量解决探索性问题
7.(2020北京八一中学高二期末,)如图,在底面是正方形的四棱锥P-ABCD中,PA⊥平面ABCD,AP=AB=2,E,F,G分别是BC,PC,CD的中点.
(1)求证:BG⊥平面PAE;
(2)在线段BG上是否存在点H,使得FH∥平面PAE?若存在,求出BHBG的值;若不存在,请说明理由.
8.(2020山西长治高二月考,)如图,在三棱锥A-BCD中,AB⊥平面BCD,底面BCD是以BD为斜边的等腰直角三角形,AB=BD,E是线段AC上一点.试问:当点E在什么位置时,平面BDE⊥平面ADC?
9.(2020北京交通大学附属中学高三期末,)如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,BB1⊥平面ABC,AB⊥BC,AA1=AB=BC=2.
(1)求证:BC1⊥平面A1B1C;
(2)求异面直线B1C与A1B所成角的大小;
(3)点M在线段B1C上,点N在线段A1B上(与A1、B不重合),且B1MB1C=λ(λ∈(0,1)),若MN∥平面A1ACC1,求A1NA1B的值(用含λ的代数式表示).
答案全解全析
基础过关练
1.C 易得AB=(-1,1,0),AC=(-1,0,1),
设n=(x,y,z)为平面ABC的一个法向量,
则n·AB=0,n·AC=0,化简得-x+y=0,-x+z=0,
∴x=y=z,故选C.
2.A 由题意可得P(0,0,2),A(1,0,0),B(0,1,0),则 PA=(1,0,-2),AB=(-1,1,0),设平面PAB的一个法向量为n=(x,y,z),
由n·PA=0,n·AB=0,得x-2z=0,-x+y=0,
令z=1,则x=2,y=2,∴n=(2,2,1).
又1,1,12=12n,∴平面PAB的一个法向量为1,1,12.故选A.
3.答案 (2,-4,-1)或(-2,4,1)
解析 由A(1,-2,-1),B(0,-3,1),C(2,-2,1),得AB=(-1,-1,2),AC=(1,0,2).
设n=(x,y,z),则根据题意可得n·AB=0,n·AC=0,|n|=21,即-x-y+2z=0,x+2z=0,x2+y2+z2=21,
解得x=2,y=-4,z=-1或x=-2,y=4,z=1,
所以n=(2,-4,-1)或n=(-2,4,1).
故答案为(2,-4,-1)或(-2,4,1).
4.A ∵在空间直角坐标系中,A(1,2,3),B(-1,0,5),C(3,0,4),D(4,1,3),
∴AB=(-2,-2,2),CD=(1,1,-1),
∴AB=-2CD,
∴直线AB与CD平行.故选A.
5.D 显然d与n不平行,所以直线l与平面α不垂直,又d·n=4×(-1)+2×3+3×0=2,即d与n不垂直,所以直线l与平面α不平行,故直线l与平面α相交但不垂直.
故选D.
6.B ∵α⊥β,∴a⊥b,∴a·b=0,
∴-x-2-8=0,∴x=-10,故选B.
7.B 若l⊥n,则l在平面α内,或l∥α.
若l∥α,则l⊥n.
故“l⊥n”是“l∥α”的必要不充分条件.
故选B.
8.ABC 对于A,因为AP·AB=-2-2+4=0,所以AP⊥AB,所以AP⊥AB,故正确;
对于B,因为AP·AD=-4+4+0=0,所以AP⊥AD,所以AP⊥AD,故正确;
对于C,因为AP⊥AB,AP⊥AD,且AB∩AD=A,所以AP是平面ABCD的一个法向量,故正确;
对于D,易得BD=AD-AB=(2,3,4),
假设存在实数λ,使得AP=λBD,则-1=2λ,2=3λ,-1=4λ,此时λ无解,故错误.
故选ABC.
9.证明 (1)依题意得,∠A1B1C1=90°,BB1⊥B1C1 ,BB1⊥A1B1,以B1 为原点,A1B1,B1C1,B1B 的方向分别为x 轴,y 轴,z 轴正方向,建立如图所示的空间直角坐标系B1xyz,
则B1(0,0,0),A1(-2,0,0),C(0,2,2),M(-1,0,2),N(-1,1,1),
∴MN=(0,1,-1),B1A1=(-2,0,0).
由题意得A1B1⊥平面BCC1B1,
∴B1A1=(-2,0,0)为平面BCC1B1的一个法向量.
∵B1A1·MN=-2×0+0×1+0×(-1)=0,
∴MN⊥B1A1,
又MN⊄平面BCC1B1,
∴MN∥平面BCC1B1 .
(2)连接B1C .由(1)得,B1C=(0,2,2),A1B1=(2,0,0),NM=(0,-1,1).
设平面A1B1C的一个法向量为n=(x,y,z),
则n·B1C=0,n·A1B1=0,即2y+2z=0,2x=0,
令z=1,得n=(0,-1,1),
∴n=NM ,
∴MN⊥平面A1B1C.
能力提升练
1.ABC 由题意可知,平面α的法向量与向量a=(2,1,1)和向量PM均垂直,
且PM=(1,2,3)-(1,0,-1)=(0,2,4).
对于选项A,(2,1,1)·(1,-4,2)=0,(0,2,4)·(1,-4,2)=0,满足垂直关系,故符合题意;
对于选项B,(2,1,1)·14,-1,12=0,(0,2,4)·14,-1,12=0,满足垂直关系,故符合题意;
对于选项C,(2,1,1)·-14,1,-12=0,(0,2,4)·-14,1,-12=0,满足垂直关系,故符合题意;
对于选项D,(2,1,1)·(0,-1,1)=0,但(0,2,4)·(0,-1,1)≠0,故不符合题意.
故选ABC.
2.ACD 在长方体ABCD-A1B1C1D1中,以点D为坐标原点,DA,DC,DD1所在直线分别为x轴,y轴,z轴,建立如图所示的空间直角坐标系.
因为AB=3AD=3AA1=3,所以AD=AA1=1,
则D(0,0,0),A(1,0,0),A1(1,0,1),C(0,3,0),D1(0,0,1),B(1,3,0),C1(0,3,1),则A1C=(-1,3,-1),D1A=(1,0,-1).
对于A选项,当A1C=2A1P时,P为线段A1C的中点,由长方体的结构特征可知P为体对角线的中点,因此P也为线段B1D的中点,所以B1、P、D三点共线,故A正确;
对于B选项,连接AC.当AP⊥A1C时,AP⊥A1C,A1C=1+1+3=5,AC=1+3=2,由S△A1AC=12AA1·AC=12A1C·AP,得AP=255,所以A1P=55,故点P为线段A1C上靠近点A1的五等分点,所以P45,35,45,则D1P=45,35,-15,AP=-15,35,45,所以D1P·AP=-425+325-425=-15≠0,所以AP与D1P不垂直,故B错误;
对于C选项,当A1C=3A1P时,A1P=13A1C=-13,33,-13,DC1=(0,3,1),DB=(1,3,0).
设平面BDC1的一个法向量为n=(x,y,z),则n·DC1=0,n·DB=0,即3y+z=0,x+3y=0,
令y=1,则x=-3,z=-3,
∴n=(-3,1,-3),
又A1D1=(-1,0,0),
所以D1P=A1P-A1D1=23,33,-13,
所以D1P·n=0,所以D1P⊥n,所以D1P∥平面BDC1,故C正确;
对于D选项,当A1C=5A1P时,A1P=15A1C=-15,35,-15,所以D1P=A1P-A1D1=45,35,-15,
所以A1C·D1P=0,A1C·D1A=0,所以A1C⊥D1P,A1C⊥D1A,又D1P∩D1A=D1,所以A1C⊥平面D1AP,故D正确.
故选ACD.
3.答案 305,2
解析 以D为原点,DA,DC,DD1所在直线分别为x轴,y轴,z轴,建立如图所示的空间直角坐标系,
则M12,0,0,A1(1,0,1),B(1,1,0),B1(1,1,1),C1(0,1,1),∴MA1=12,0,1,MB=12,1,0.
设P(x,y,0)(0