数学选择性必修 第一册第二章　平面解析几何2.6 双曲线及其方程2.6.1 双曲线的标准方程达标测试

这是一份数学选择性必修 第一册第二章　平面解析几何2.6 双曲线及其方程2.6.1 双曲线的标准方程达标测试，共13页。

基础过关练
题组一 双曲线的定义及其应用
1.已知两定点F1(-3,0),F2(3,0),在平面内满足下列条件的动点P的轨迹中,是双曲线的是( )
A.||PF1|-|PF2||=5B.||PF1|-|PF2||=6
C.||PF1|-|PF2||=7D.||PF1|-|PF2||=0
2.(2020浙江宁波高二月考)已知F1(-8,3),F2(2,3),动点P满足|PF1|-|PF2|=10,则P点的轨迹是( )
A.双曲线B.双曲线的一支
C.直线D.一条射线
3.已知平面上的定点F1,F2及动点M,甲:||MF1|-|MF2||=m(m为常数),乙:点M的轨迹是以F1,F2为焦点的双曲线,则甲是乙的( )
A.充分不必要条件B.必要不充分条件
C.充要条件D.既不充分也不必要条件
4.(2020陕西咸阳高二月考)已知点P(x,y)的坐标满足(x-1)2+y2-(x+1)2+y2=±2,则动点P的轨迹是( )
A.椭圆B.双曲线
C.两条射线D.双曲线的一支
5.已知P是双曲线x236-y264=1上一点,F1,F2分别为双曲线的左、右焦点,若|PF2|=14,则|PF1|= .
题组二 对双曲线标准方程的理解
6.若方程y24-x2m+1=1表示双曲线,则实数m的取值范围是 ( )
A.-1-1
C.m>3D.m<-1
7.(2020山西太原高二月考)“k>6”是“方程x26-k+y2k-3=1表示双曲线”的( )
A.充要条件
B.充分不必要条件
C.必要不充分条件
D.既不充分也不必要条件
8.若双曲线x2m-y2m-5=1的一个焦点到坐标原点的距离为3,则m的值为 .
9.(2020湖北武汉高二期中)若双曲线x2a-y22=1与椭圆x24+y2a2=1有相同的焦点,则a的值是 .
题组三 双曲线的标准方程及其应用
10.焦点分别为(-2,0),(2,0)且经过点(2,3)的双曲线的标准方程为( )
A.x2-y23=1B.x23-y2=1
C.y2-x23=1D.x22-y22=1
11.一动圆P过定点M(-4,0),且与已知圆N:(x-4)2+y2=16相切,则动圆圆心P的轨迹方程是( )
A.x24-y212=1(x≥2)B.x24-y212=1(x≤-2)
C.x24-y212=1D.y24-x212=1
12.(2020陕西西安铁一中学高二期中)已知双曲线C:x2169-y225=1的左、右焦点分别为F1,F2,点M,N为异于F1,F2的两点,且MN的中点在双曲线C的左支上,点M关于F1和F2的对称点分别为A,B,则|NA|-|NB|的值为( )
A.26B.-26
C.52D.-52
13.若双曲线与椭圆x227+y236=1有相同焦点,且经过点(15,4),则该双曲线的标准方程为 .
14.(2019河北保定高二检测)已知双曲线x2m-y27=1,直线l过其左焦点F1,交双曲线左支于A,B两点,且|AB|=4,F2为双曲线的右焦点,△ABF2的周长为20,则m的值为 .
15.焦点在x轴上的双曲线过点P(42,-3),且点Q(0,5)与两焦点的连线互相垂直,求此双曲线的标准方程.
能力提升练
题组 双曲线的标准方程及其综合应用
1.(2020山东潍坊一中高二月考,)若双曲线y2-4x2=-m的焦距等于10,则实数m的值等于( )
A.20 B.-20 C.±20 D.±80
2.(2020湖南师大附中高二期中,)已知双曲线E:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0).若矩形ABCD的四个顶点在E上,AB,CD的中点为E的两个焦点,且|AB|=3,|BC|=2,则双曲线E的标准方程是( )
A.x24-y23=1B.x234-y214=1 C.x2-y23=1 D.x214-y234=1
3.(2019广西梧州高二期末,)已知F1,F2为双曲线C:x2-y2=1的左、右焦点,点P在C上,∠F1PF2=60°,则|PF1|·|PF2|=( )
A.2B.4C.6D.8
4.(2020四川绵阳高三模拟,)如图,F1,F2分别是双曲线x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点,过F1(-7,0)的直线l与双曲线的左、右两支分别交于点A,B.若△ABF2为等边三角形,则双曲线的标准方程为( )
A.x275-y2285=1B.x26-y2=1
C.x2-y26=1D.x2285-y275=1
5.(2020山东东营一中高二期中,)过双曲线x24-y23=1左焦点F1的直线交双曲线的左支于M,N两点,F2为其右焦点,则|MF2|+|NF2|-|MN|的值为 .
6.(2020河北唐山一中高二月考,)若双曲线x24-y25=1的左、右焦点分别为F1,F2,点M在双曲线上,若△MF1F2的周长为20,则△MF1F2的面积等于 .
7.(2020山东济南一中高二月考,)已知双曲线过点(3,-2)且与椭圆4x2+9y2=36有相同的焦点.
(1)求双曲线的标准方程;
(2)若点M在双曲线上,F1,F2分别为双曲线的左、右焦点,且|MF1|+|MF2|=63,试判别△MF1F2的形状.
8.(2019天津一中高二期末,)已知点M(-2,0),N(2,0)是平面直角坐标系中的两点,动点P满足|PM|+|PN|=6.
(1)求点P的轨迹方程;
(2)若(1-cs∠MPN)|PM|·|PN|=2,求点P的坐标.
答案全解全析
基础过关练
1.A 对于选项A,因为|F1F2|=6,所以||PF1|-|PF2||=5<|F1F2|,故动点P的轨迹是双曲线;对于选项B,因为||PF1|-|PF2||=6=|F1F2|,所以动点P的轨迹是以F1和F2为端点的两条射线;对于选项C,因为||PF1|-|PF2||=7>|F1F2|,所以动点P的轨迹不存在;对于选项D,因为||PF1|-|PF2||=0,所以|PF1|=|PF2|,可知动点P的轨迹是线段F1F2的垂直平分线.故选A.
2.D 由于F1,F2是定点,且|F1F2|=10,所以满足条件|PF1|-|PF2|=10的点P的轨迹应为一条射线.
3.B 根据双曲线的定义,乙⇒甲,但甲⇒/ 乙,只有当04.B 设A(1,0),B(-1,0),则由已知得||PA|-|PB||=2,即动点P到两个定点A、B的距离之差的绝对值等于常数2,又|AB|=2,且2<2,所以根据双曲线的定义知,动点P的轨迹是双曲线.
5.答案 26
解析 由已知可得a2=36,b2=64,所以a=6,b=8,c2=100,即c=10,由于双曲线左支上的点到右焦点F2的距离的最小值为a+c=6+10=16,而|PF2|=14<16,所以点P只能在双曲线的右支上.根据双曲线的定义可得|PF1|-|PF2|=2a=12,所以|PF1|=26.
6.B 依题意有m+1>0,所以m>-1.
7.B 当k>6时,6-k<0,k-3>0,方程表示焦点在y轴上的双曲线;但当k<3时,6-k>0,k-3<0,方程也表示双曲线,所以“k>6”是“方程x26-k+y2k-3=1表示双曲线”的充分不必要条件.
8.答案 7或-2
解析 依题意可知c=3,当双曲线的焦点在x轴上时,m>5,c2=m+m-5=9,所以m=7;当双曲线的焦点在y轴上时,m<0,c2=-m+5-m=9,所以m=-2.综上,m=7或m=-2.
9.答案 1
解析 依题意得a>0,010.A 由双曲线的定义知,2a=(2+2)2+32-(2-2)2+32=5-3=2,所以a=1.又c=2,所以b2=c2-a2=4-1=3,因此双曲线的标准方程为x2-y23=1.
11.C 由已知得N(4,0),当两圆内切时,定圆N在动圆P的内部,有|PN|=|PM|-4;当两圆外切时有|PN|=|PM|+4,故||PN|-|PM||=4,由双曲线的定义知点P的轨迹是以M,N为焦点的双曲线,且2a=4,c=4,所以a2=4,b2=12,故圆心P的轨迹方程为x24-y212=1.
12.D 由双曲线方程可知a=13.设MN与双曲线的交点为点P,则P为MN的中点,由几何关系结合三角形中位线定理可得|NA|=2|PF1|,|NB|=2|PF2|,则|NA|-|NB|=2(|PF1|-|PF2|),又点P在双曲线的左支上,所以|NA|-|NB|=2(|PF1|-|PF2|)=2×(-2a)=-4a=-4×13=-52.
13.答案 y24-x25=1
解析 由椭圆方程,知c=3,且焦点在y轴上,故可设双曲线的方程为y2a2-x29-a2=1(014.答案 9
解析 由题意知|AB|+|AF2|+|BF2|=20.又|AB|=4,所以|AF2|+|BF2|=16.根据双曲线的定义可知2a=|AF2|-|AF1|=|BF2|-|BF1|,所以4a=|AF2|+|BF2|-(|AF1|+|BF1|)=16-4=12,即a=3,所以m=a2=9.
15.解析 因为双曲线的焦点在x轴上,所以设双曲线的标准方程为x2a2-y2b2=1(a>0,b>0),两焦点分别为F1(-c,0),F2(c,0).
因为双曲线过点P(42,-3),所以32a2-9b2=1①.
又因为点Q(0,5)与两焦点的连线互相垂直,
所以QF1·QF2=0,即-c2+25=0,
解得c2=25②.
又c2=a2+b2③,
所以由①②③可解得a2=16或a2=50(舍去),所以b2=9.
故此双曲线的标准方程是x216-y29=1.
能力提升练
1.C 当m>0时,方程化为x2m4-y2m=1,双曲线的焦点在x轴上,则a2=m4,b2=m,依题意有m4+m=1022,解得m=20;当m<0时,方程化为y2-m-x2-m4=1,双曲线的焦点在y轴上,则a2=-m,b2=-m4,依题意有-m+-m4=1022,解得m=-20.综上,m=±20.
2.D 如图,由题意知|MN|=|BC|=2.设AB,CD的中点分别为M,N,在Rt△BMN中,|MN|=2c=2,所以c=1,|BN|=|BM|2+|MN|2=322+22=52,由双曲线的定义可得2a=|BN|-|BM|=52-32=1,即a2=14,所以b2=34,故双曲线E的标准方程为x214-y234=1.
3.B 由双曲线方程得a=1,b=1,则c=2,
∴|F1F2|=22.
在△F1PF2中,
|F1F2|2=|PF1|2+|PF2|2-2|PF1||PF2|·cs∠F1PF2,
即8=|PF1|2+|PF2|2-|PF1|·|PF2|,
即8=(|PF1|-|PF2|)2+|PF1|·|PF2|,
又||PF1|-|PF2||=2a=2,∴8=22+|PF1|·|PF2|,
∴|PF1|·|PF2|=4.
4.C 根据双曲线的定义,有|AF2|-|AF1|=2a①,|BF1|-|BF2|=2a②,∵△ABF2为等边三角形,∴|AF2|=|AB|=|BF2|,①+②,得|BF1|-|AF1|=4a,
∴|AB|=|AF2|=|BF2|=4a,|BF1|=6a,
又∠F1BF2=60°,∴(2c)2=(6a)2+(4a)2-2×6a×4a×12,即7a2=c2=7,解得a2=1,则b2=c2-a2=6,
∴双曲线的标准方程为x2-y26=1.
5.答案 8
解析 由双曲线的方程可知a=2.因为M,N两点在双曲线的左支上,所以由双曲线定义得|MF2|-|MF1|=2a=4,|NF2|-|NF1|=2a=4,所以|MF2|-|MF1|+|NF2|-|NF1|=8,而|MF1|+|NF1|=|MN|,所以|MF2|+|NF2|-|MN|=8.
6.答案 102
解析 不妨设点M在双曲线的右支上,由双曲线方程可知a2=4,b2=5,所以c=4+5=3.因为|MF1|+|MF2|+2c=20,所以|MF1|+|MF2|=14.又因为|MF1|-|MF2|=4,所以|MF1|=9,|MF2|=5.在△MF1F2中,由余弦定理可得cs∠F1MF2=92+52-622×9×5=79,所以sin∠F1MF2=429,故△MF1F2的面积S=12×9×5×429=102.
7.解析 (1)椭圆方程可化为x29+y24=1,焦点在x轴上,且c=9-4=5.
设双曲线方程为x2a2-y2b2=1(a>0,b>0),
则有9a2-4b2=1,a2+b2=5,解得a2=3,b2=2,
所以双曲线的标准方程为x23-y22=1.
(2)不妨设点M在双曲线的右支上,则有|MF1|-|MF2|=23,
又|MF1|+|MF2|=63,所以|MF1|=43,|MF2|=23.
又|F1F2|=25,
因此在△MF1F2中,边MF1最长,cs∠MF2F1=|MF2|2+|F1F2|2-|MF1|22|MF2|·|F1F2|<0,
所以∠MF2F1为钝角,故△MF1F2为钝角三角形.
8.解析 (1)设动点P的坐标为(x,y).
∵点M(-2,0),N(2,0)是平面上的两点,动点P满足|PM|+|PN|=6>|MN|,
∴点P的轨迹是以M,N为焦点的椭圆,设其方程为x2a2+y2b2=1(a>b>0),易知a=3,c=2,∴b2=9-4=5.
∴点P的轨迹方程为x29+y25=1.
(2)在△MPN中,
cs∠MPN=|PM|2+|PN|2-162|PM|·|PN|=(|PM|+|PN|)2-2|PM|·|PN|-162|PM|·|PN|=10-|PM|·|PN||PM|·|PN|.
∵(1-cs∠MPN)|PM|·|PN|=2,
∴1-10-|PM|·|PN||PM|·|PN|·|PM|·|PN|=2,解得|PM|·|PN|=6,
由|PM|·|PN|=6,|PM|+|PN|=6,得||PM|-|PN||=23<4,
∴点P在以M(-2,0),N(2,0)为焦点的双曲线x23-y2=1上,
联立椭圆与双曲线方程可得x29+y25=1,x23-y2=1,解得点P的坐标为332,52或332,-52或-332,52或-332,-52.