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    3.3 二项式定理与杨辉三角练习题01
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    高中数学人教B版 (2019)选择性必修 第二册3.3 二项式定理与杨辉三角复习练习题

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    这是一份高中数学人教B版 (2019)选择性必修 第二册3.3 二项式定理与杨辉三角复习练习题,共18页。试卷主要包含了若4=a+b2,则a+b=,5+54+103+102+5=,求3x+1x4的展开式,4的展开式的中间项为,8的展开式中,x4的系数为等内容,欢迎下载使用。

    3.3 二项式定理与杨辉三角
    基础过关练
    题组一 二项式定理的正用与逆用
    1.若(1+2)4=a+b2(a,b均为有理数),则a+b=(  )                  
    A.33 B.29 C.23 D.19
    2.(x-1)5+5(x-1)4+10(x-1)3+10(x-1)2+5(x-1)=(  )
    A.x5 B.x5-1
    C.x5+1 D.(x-1)5-1
    3.(2020山东寿光现代中学高二月考)3Cn1+9Cn2+27Cn3+…+3nCnn=    (n∈N+). 
    4.求3x+1x4的展开式.



    题组二 二项展开式的特定项、项的系数及二项式系数
    5.(2020山东济宁高二期末)(2x-y)4的展开式的中间项为 (  )
    A.-8 B.-8xy3
    C.24 D.24x2y2
    6.(2020山东日照一中高二期末)(2-x)8的展开式中,x4的系数为(  )
    A.16 B.1 C.8 D.2
    7.x+1xx8的展开式中,有理项的项数为(  )
    A.4 B.5 C.6 D.9
    8.(2020吉林东北师大附中高二月考)若ax-1x6的展开式中常数项为-20,则a=(  )
    A.12 B.-12 C.1 D.-1
    9.(2020湖南长沙雅礼中学高二期末)将(3+x)n(n∈N+)的展开式的各项按照x的升幂排列,若倒数第三项的系数是90,则n的值是(  )
    A.4 B.5 C.6 D.7
    10.(2020辽宁大连八中高二月考)在(2x+1)15的展开式中,含x5的项是展开式的第    项. 
    11.若x+a3xn(n∈N+)的展开式中,仅有第5项的二项式系数最大,且x4的系数为7,求实数a的值.




    12.(2020湖北武昌实验中学高二月考)求(1+x)6(2y+1)5的展开式中x4y2的系数.




    13.(2020浙江宁波高二调研)已知(1+x)n(n∈N+)的展开式中第4项和第8项的二项式系数相等.
    (1)求n的值和这两项的二项式系数;
    (2)求(1+x)3+(1+x)4+…+(1+x)n+2的展开式中,含x2的项的系数(结果用数字表示).



    题组三 二项式系数之和及项的系数之和
    14.(2019北京人大附中高二调研)在x+3xn(n∈N+)的展开式中,各项系数之和为M,各项二项式系数之和为N,且M+N=72,则展开式中的常数项为(  )
    A.18 B.12 C.9 D.6
    15.(2020浙江温州中学高二月考)若x+2xn(n∈N+)的展开式中,各项系数的和为243,则该展开式中含x的项的系数为(  )
    A.1 B.5 C.10 D.20
    16.(2019山东烟台一中高二月考)若(3-2x)3=a0+a1x+a2x2+a3x3,则a1-a2+a3等于(  )
    A.98 B.28 C.26 D.-98
    17.(2020吉林延边二中高二月考)若(1-3x)2 018=a0+a1x+…+a2 018x2 018,x∈R,则a1×3+a2×32+…+a2 018×32 018的值为(  )
    A.22 018-1 B.82 018-1 C.22 018 D.82 018
    18.在x-1xn(n∈N+)的展开式中,若奇数项的二项式系数之和为32,求x4的系数.



    19.(2020广西柳州高级中学高二期中)已知(2x+2)4=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4,求(a0+a2+a4)2-(a1+a3)2.





    题组四 杨辉三角与二项式系数的性质
    20.(2019吉林长春高二期末)如图,在杨辉三角中,虚线所对应的斜行的各数之和依次排成一列数,则该列数的第10项为(  )

    A.55 B.89 C.120 D.144
    21.(1+x)2n(n∈N+)的展开式中,系数最大的项是(  )
    A.第n2+1项 B.第n项
    C.第n+1项 D.第n项与第n+1项
    22.(2020辽宁师范大学附属中学高二期末)在如图所示的三角形数阵中,从第3行开始,每一行除1以外,其他每一个数字都是其上一行的左、右两个数字之和.若在此数阵中存在某一行,满足该行中有三个相邻的数字之比为4∶5∶6,则这一行是第    行(填行数). 
    第0行
    1
    第1行
    1 1
    第2行
    1 2 1
    第3行
    1 3 3 1
    第4行
    1 4 6 4 1
    第5行
    1 5 10 10 5 1
    第6行
    1 6 15 20 15 6 1
    ……
    ……

    23.(2020浙江杭州第二中学期末)如图所示的三角形数阵叫“莱布尼茨调和三角形”,它们是由整数的倒数组成的,第n行有n个数且两端的数均为1n(n∈N+,n≥2),每个数是它下一行左、右相邻两数的和,如11=12+12,12=13+16,13=14+112,……,则第10行第4个数字(从左往右数)为    . 
    11
    12 12
    13 16 13
    14 112 112 14
    15 120 130 120 15
    ……
    24.(2020山东师范大学附属中学高二期末)2x2+1x6的展开式中,常数项为    ,系数最大的项是    . 
    25.在2x3+1x12的展开式中.求:
    (1)所有项的系数和;
    (2)x4的系数;
    (3)系数最大的项.







    能力提升练
    题组一 二项展开式的特定项及项的系数
    1.(2019山东泰安一中高二模拟,)若x-1xn(n∈N+)的展开式的第m项为常数项,则m,n应满足(  )                  
    A.2n=3(m-1) B.2n=3m
    C.2n=3(m+1) D.2n=m
    2.(2020黑龙江哈尔滨第六中学高二期末,)(x2-2x-3)(2x-1)6的展开式中,x3的系数为(  )
    A.348 B.88 C.-232 D.-612
    3.(2020山东德州高二期末,)(3x+32)100的展开式中,系数为有理数的共有(  )
    A.50项 B.17项 C.16项 D.15项
    4.(2019广东实验中学高三月考,)在(x2+2x+y)5的展开式中,x5y2的系数为    . 
    题组二 二项式系数之和及项的系数之和
    5.(2019上海华师大二附中高二期中,)若(x+3y)n(n∈N+)的展开式的各项系数之和等于(7a+b)10的展开式的所有二项式系数之和,则n的值为(  )
    A.15 B.10 C.8 D.5
    6.(2020山东章丘四中高二月考,)设(2-x)6=a0+a1x+a2x2+…+a6x6,则|a1|+|a2|+…+|a6|的值是(  )
    A.665 B.729 C.728 D.63
    7.(2020海南中学高二期末,)设(1-2x)2 019=a0+a1x+a2x2+…+a2 019x2 019,则a12+a222+…+a2 01922 019的值为(  )
    A.2 B.0 C.-1 D.1
    8.(2020广西桂林高二期末,)(2x-3)1+1x6的展开式中剔除常数项后的各项系数之和为(  )
    A.-55 B.-61 C.-63 D.-73
    9.(2020北师大附中高二期末,)已知(x+2)n(n∈N+)=a0+a1(x+1)+a2(x+1)2+…+an(x+1)n,且a1=6,则a1+a2+…+an=(  )
    A.128 B.127 C.96 D.63
    10.(2019浙江杭州高考模拟,)若(x-3)3(2x+1)5=a0+a1x+a2x2+…+a8x8,则a0=    ,a0+a2+…+a8=    . 
    题组三 二项式系数的性质
    11.(2020安徽黄山高二质量检测,)已知1-x2n(n∈N+)的展开式中所有项的系数和等于1256,则展开式中项的系数的最大值是(  )
    A.72 B.358 C.7 D.70
    12.(2020河南郑州外国语学校高二模拟,)已知(2m+x)(1+x)4的展开式中x的奇数次幂的项的系数之和为64,则实数m=(  )
    A.74 B.72 C.4 D.7
    13.(多选)(2020辽宁鞍山高二期末,)在(1-x)2 017的展开式中,有下列四个命题,其中为真命题的是(  )
    A.非常数项系数的绝对值的和是1
    B.系数最大的项是第1 009项
    C.偶数项的系数和是22 016
    D.当x=2 018时,(1-x)2 017除以2 018的余数为1
    14.(2020辽宁盘锦高二期末,)在x-2x28的展开式中:
    (1)求所有的有理项;
    (2)系数的绝对值最大的项是第几项?并求系数最大的项和系数最小的项.




    题组四 二项式定理的应用
    15.(2020辽宁阜新高二调研,)设a∈Z,且0≤a≤13,若512 012+a能被13整除,则a=(  )
    A.0 B.1 C.11 D.12
    16.(2020湖南衡阳高二期末,)1.957的计算结果精确到个位的近似值为(  )
    A.106 B.107 C.108 D.109
    17.(2019江西九江高二期末,)1-90C101+902C102-903C103+…+9010C1010除以88的余数是(  )
    A.2 B.1 C.86 D.87

    答案全解全析

    3.3 二项式定理与杨辉三角
    基础过关练
    1.B
    2.B
    5.D
    6.B
    7.B
    8.C
    9.B
    14.C
    15.C
    16.D
    17.B
    20.A
    21.C


    1.B ∵(1+2)4=C40(2)0+C41(2)1+C42(2)2+C43(2)3+C44(2)4=17+122=a+b2,∴a=17,b=12,∴a+b=29,故选B.
    2.B 逆用二项式定理,得原式=[(x-1)+1]5-1=x5-1.故选B.
    3.答案 4n-1
    解析 3Cn1+9Cn2+27Cn3+…+3nCnn=Cn0+3Cn1+9Cn2+27Cn3+…+3nCnn-1=(1+3)n-1=4n-1.
    4.解析 解法一:3x+1x4=C40(3x)4+C41(3x)3·1x+C42(3x)2·1x2+C43·3x·1x3+C44·1x4=81x2+108x+54+12x+1x2.
    解法二:3x+1x4=(3x+1)4x2
    =1x2(81x4+108x3+54x2+12x+1)
    =81x2+108x+54+12x+1x2.
    5.D 由题意得,展开式的中间项为第3项,即为C42(2x)2(-y)2=24x2y2,故选D.
    6.B (2-x)8的展开式的通项公式为Tr+1=C8r·28-r·(-x)r=C8r·28-r·(-1)r·xr2(r=0,1,2,…,8),
    当r2=4,即r=8时,T9=C88·20·(-1)8·x4=x4,即x4的系数为1,故选B.
    7.B x+1xx8的展开式的通项公式为Tr+1=C8rx8-52r(r=0,1,…,8),令8-52r为整数,则r可取0,2,4,6,8,故有5项为有理项,故选B.
    8.C ax-1x6的展开式的通项公式为Tr+1=C6r(-1)ra6-rx6-r-r=C6r(-1)ra6-r·x6-2r(r=0,1,…,6),令6-2r=0,得r=3,所以常数项为C63(-1)3a3x0=-20a3=-20,解得a=1,故选C.
    9.B 依题意,得Cnn-2·32=90,即Cnn-2=10,解得n=5(n=-4舍去).故选B.
    10.答案 11
    解析 (2x+1)15的展开式的通项公式为Tr+1=C15r(2x)15-r(r=0,1,2,…,15),令15-r=5,得r=10,所以含x5的项是展开式的第11项.
    11.解析 易知n=8,则x+a3x8=(x+ax-13)8,其展开式的通项公式为Tk+1=C8kx8-k(ax-13)k=C8kakx8-43k(k=0,1,2,…,8),令8-43k=4,得k=3,所以T4=C83a3x4,由C83a3=7得a=12.
    12.解析 (1+x)6(2y+1)5的展开式中含x4y2的项为C64x4C53(2y)2,其系数为C64C5322=600.
    13.解析 (1)易知Cn3=Cn7,∴n=10,∴C103=C107=120.
    (2)含x2的项的系数为C32+C42+…+C122=C133-C33=285.
    14.C 令x=1,可得各项系数之和M=(1+3)n=4n,各项二项式系数之和N=2n,又M+N=4n+2n=72,所以n=3,所以x+3xn=x+3x3,其通项公式为Tr+1=C3r(x)3-r3xr=3rC3rx32-32r(r=0,1,2,3),令32-32r=0,解得r=1,所以展开式中的常数项为31C31=9.故选C.
    15.C 令x=1,得(1+2)n=3n=243,解得n=5,则x+2x5的展开式的通项公式为Tr+1=C5r·(x12)5-r·(2x-1)r=2r·C5r·x52-32r(r=0,1,2,…,5),令52-32r=1,解得r=1,故该展开式中含x的项的系数为21C51=10.故选C.
    16.D 当x=0时,a0=27;当x=-1时,a0-a1+a2-a3=53=125,∴a1-a2+a3=27-125=-98,故选D.
    17.B 令x=0,得a0=1;令x=3,得a0+a1×3+a2×32+…+a2 018×32 018=(1-9)2 018=82 018,所以a1×3+a2×32+…+a2 018×32 018=82 018-a0=82 018-1.故选B.
    18.解析 由题意可知,奇数项的二项式系数之和为2n-1=32,解得n=6,
    ∴该式为x-1x6.
    x-1x6的展开式的通项公式为Tk+1=C6k·x6-k·-1xk=C6k·(-1)k·x6-2k(k=0,1,2,…,6),
    令6-2k=4,得k=1,因此,展开式中x4的系数为C61·(-1)1=-6.
    19.解析 令x=1,得(2+2)4=a0+a1+a2+a3+a4;令x=-1,得(-2+2)4=a0-a1+a2-a3+a4,故(a0+a2+a4)2-(a1+a3)2=(a0+a1+a2+a3+a4)×(a0-a1+a2-a3+a4)=(2+2)4×(-2+2)4=(2-4)4=16.
    20.A 设这列数为a1,a2,a3,…,由题意,可知a1=1,a2=1,a3=1+1=2,a4=1+2=3,a5=2+3=5,a6=3+5=8,a7=5+8=13,a8=8+13=21,a9=13+21=34,a10=21+34=55,故选A.
    21.C 在(1+x)2n(n∈N+)的展开式中,第r+1(r∈N)项的系数与该项的二项式系数相同,易知该式的展开式共有2n+1项,所以第n+1项的系数最大,故选C.
    22.答案 98
    解析 三角形数阵中,第n行的数由二项式系数Cnk,n∈N,k∈N组成.如果第n行中有Cnk-1Cnk=kn-k+1=45,CnkCnk+1=k+1n-k=56,
    那么9k-4n=4,5n-11k=6,解得n=98,k=44,
    因此答案为98.
    23.答案 1840
    解析 将杨辉三角中的每一个数Cnr都换成分数1(n+1)Cnr即可得到“莱布尼茨调和三角形”,杨辉三角中,第10行第4个数字为C93=84,所以“莱布尼茨调和三角形”中第10行第4个数字为110×84=1840.
    24.答案 60;240x6
    解析 2x2+1x6的展开式的通项公式为Tk+1=C6k·(2x2)6-k·1xk=C6k·26-k·x12-3k(k=0,1,2,…,6),
    令12-3k=0,得k=4,所以展开式中的常数项为C64×22=60.
    设ak=C6k·26-k(k∈N,k≤6)最大,
    则ak≥ak-1,ak≥ak+1,即C6k·26-k≥C6k-1·27-k,C6k·26-k≥C6k+1·25-k,
    解得43≤k≤73,∵k∈N,∴k=2,∴展开式中系数最大的项是C62·24·x6=240x6.
    25.解析 (1)令x=1,可得该展开式中所有项的系数和为312.
    (2)该展开式的通项公式为Tk+1=C12k·212-k·x36-4k,k=0,1,2,…,12,令36-4k=4,解得k=8,
    故x4的系数为C12824=7 920.
    (3)设第r+1(r∈N,r≤12)项的系数最大,
    则C12r·212-r≥C12r-1·213-r,C12r·212-r≥C12r+1·211-r,
    解得103≤r≤133,又r∈N,所以r=4,
    故该展开式中系数最大的项为C124(2x3)8·1x4=126 720x20.



    能力提升练
    1.A
    2.A
    3.B
    5.D
    6.A
    7.C
    8.D
    9.D
    11.C
    12.B
    13.BD
    15.D
    16.B
    17.B

    1.A 由题意,x-1xn(n∈N+)的展开式的第m项为Tm=Cnm-1xn-(m-1)(-1)m-1·x-12(m-1)=(-1)m-1Cnm-1xn-32m+32(m=1,2,…,n,n+1),由第m项为常数项,可得n-32m+32=0,所以m,n应满足2n=3(m-1),故选A.
    2.A (x2-2x-3)(2x-1)6=x2(2x-1)6-2x(2x-1)6-3(2x-1)6=x2(1-2x)6-2x(1-2x)6-3(1-2x)6,所以结合二项式定理可知x3的系数为C61×(-2)1+(-2)×C62×(-2)2+(-3)×C63×(-2)3=-12-120+24×20=348.故选A.
    3.B 展开式的通项公式为Tr+1=C100r(3x)100-r·(32)r=C100rx100-r·350-r2·213r(r=0,1,2,…,100),故r需为6的倍数,0~100内6的倍数共有17个,故选B.
    4.答案 60
    解析 在(x2+2x+y)5的展开式中第3项T3=C52(x2+2x)3y2,又(x2+2x)3的展开式的通项公式为T'k+1=C3k(x2)3-k(2x)k=C3k·2k·x6-k(k=0,1,2,3),令6-k=5,解得k=1,则T'2=3×2x5,则x5y2的系数为C52×3×2=60.
    5.D 设(x+3y)n(n∈N+)的展开式的各项系数之和为m,令x=y=1,得m=(1+3)n=4n,设(7a+b)10的展开式的所有二项式系数之和为k,则k=C100+C101+C102+…+C1010=210,因为m=k,所以4n=210,解得n=5.故选D.
    6.A 由二项式定理可知a0,a2,a4,a6均为正数,a1,a3,a5均为负数,即|a0|+|a1|+|a2|+…+|a6|=a0-a1+a2-a3+a4-a5+a6.
    令x=-1,得a0-a1+a2-a3+a4-a5+a6=(2+1)6=729,
    令x=0,则a0=26=64,所以|a1|+|a2|+…+|a6|=665,故选A.
    7.C 令x=0,可得a0=1,
    令x=12,可得0=1+a12+a222+…+a2 01922 019,
    ∴a12+a222+…+a2 01922 019=-1,故选C.
    8.D 令x=1,得(2x-3)1+1x6的展开式中各项系数之和为-26=-64,而常数项为-3×C60+2×C61=9,所以(2x-3)1+1x6的展开式中剔除常数项后的各项系数之和为-64-9=-73,故选D.
    9.D 由题意,(x+2)n=[1+(x+1)]n(n∈N+)的展开式的通项公式为Tr+1=Cnr(x+1)r(r=0,1,2,…,n),令r=1,可得T2=Cn1(x+1)1,即a1=Cn1=6,解得n=6,所以(x+2)6=[1+(x+1)]6,则a0=C60=1,令x+1=1,即x=0,则a0+a1+a2+…+an=26=64,所以a1+a2+…+an=63.
    10.答案 -27;-940
    解析 令x=0,得(-3)3=a0,所以a0=-27,
    令x=1,得(-2)3×35=a0+a1+a2+…+a8,
    令x=-1,得(-4)3×(-1)5=a0-a1+a2-…+a8,
    两式相加得2(a0+a2+…+a8)=-1 880,
    所以a0+a2+…+a8=-940.
    11.C 令x=1,得1-12n=1256,所以n=8,
    所以1-x28的展开式的通项公式为Tr+1=C8r-x2r(r=0,1,2,…,8),要使展开式中项的系数最大,则r必为偶数,又T1=C80-x20=1,T3=C82-x22=7x2,T5=C84-x24=358x4,T7=C86·-x26=716x6,T9=C88-x28=1256x8,所以T3的系数最大,故选C.
    12.B 设(2m+x)(1+x)4=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4+a5x5.
    令x=1,得(2m+1)×24=a0+a1+a2+a3+a4+a5①;
    令x=-1,得0=a0-a1+a2-a3+a4-a5②.
    ①-②,得16(2m+1)=2(a1+a3+a5)=2×64,解得m=72,故选B.
    13.BD 对于A,(1-x)2 017的展开式中,常数项为1,令x=-1,得所有项系数的绝对值的和为(1+1)2 017=22 017,所以展开式中非常数项系数的绝对值的和为22 017-1,所以A中命题是假命题;对于B,展开式的通项公式为Tr+1=C2 017r·(-x)r=(-1)rC2 017rxr(r=0,1,2,…,2 017),所以系数最大的项是第1 009项,所以B中命题是真命题;对于C,令x=1,得(1-1)2 017=0,易知展开式中奇数项系数为正,偶数项系数为负,故展开式中偶数项的系数和是-22 016,所以C中命题是假命题;对于D,当x=2 018时,(1-2 018)2 017=1-C2 0171×2 018+C2 0172×2 0182-…-2 0182 017,展开式中不含2 018的项是1,所以当x=2 018时,(1-x)2 017除以2 018的余数为1,所以D中命题是真命题.故选BD.
    14.解析 (1)x-2x28的展开式的通项公式为Tr+1=C8r·(x)8-r·-2x2r=(-1)r·C8r·2r·x4-52r(r=0,1,2,…,8).
    当4-52r为整数时,所得项为有理项,故当r=0,2,4,6,8时成立,
    分别为T1=(-1)0·C80·20·x4=x4,
    T3=(-1)2·C82·22·x4-5=112x-1,
    T5=(-1)4·C84·24·x4-10=1 120x-6,
    T7=(-1)6·C86·26·x4-15=1 792x-11,
    T9=(-1)8·C88·28·x4-20=256x-16,
    即T1=x4,T3=112x-1,T5=1 120x-6,
    T7=1 792x-11,T9=256x-16.
    (2)由Tr+1=(-1)r·C8r·2r·x4-52r知,系数的绝对值最大,即C8r·2r最大,
    故C8r·2r≥C8r+1·2r+1,C8r·2r≥C8r-1·2r-1⇒18-r≥2r+1,2r≥19-r⇒
    5≤r≤6.
    故绝对值最大的项是第6、7项,
    其中系数最大的项为T7=(-1)6·C86·26·x4-15=1 792x-11,
    系数最小的项为T6=(-1)5·C85·25·x4-252=-1 792x-172.
    15.D 因为51=52-1,所以512 012=(52-1)2 012=C2 0120522 012-C2 0121522 011+…-C2 0122 011521+1,
    又因为52能被13整除,所以只需1+a能被13整除,因为a∈Z,0≤a≤13,所以a=12,故选D.
    16.B ∵1.957=(2-0.05)7=27-C71×26×0.05+C72×25×0.052-C73×24×0.053+…=128-22.4+1.68-0.07+…≈107.21,
    ∴1.957≈107.故选B.
    17.B 1-90C101+902C102-903C103+…+9010C1010=(1-90)10=(1+88)10=1+88C101+882C102+883C103+…+8810C1010=1+88(C101+88C102+882C103+…+889C1010),所以1-90C101+902C102-903C103+…+9010C1010除以88的余数是1,故选B.

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