人教B版 (2019)选择性必修 第二册4.2.3 二项分布与超几何分布课后练习题

4.2.3　二项分布与超几何分布

基础过关练

题组一　独立重复试验与二项分布

1.(2019江苏南通高一期末)同时抛掷三枚质地均匀的硬币,则抛掷一次时出现两枚正面向上一枚反面向上的概率为(　　)　　　　　 　　　　　 　　　　　

A. B. C. D.

2.(2019四川绵阳一中高二月考)一袋中有5个白球,3个红球,现从袋中往外取球,每次任取一个记下颜色后放回,直到红球出现10次时停止,设停止时共取了X次球,则P(X=12)等于(　　)

A. B.

C. D.

3.设随机变量X~B,则P(X=3)等于(　　)

A. B. C. D.

4.(2019山西太原二中高考模拟)若随机变量X服从二项分布B,则(　　)

A.P(X=1)=P(X=3)  B.P(X=2)=2P(X=1)

C.P(X=2)=P(X=3)  D.P(X=3)=4P(X=1)

5.(2019山西太原黄陵中学高二期末)将一个半径适当的小球放入如图所示的容器最上方的入口处,小球将自由落下,小球在下落的过程中,将3次遇到黑色障碍物,最后落入A袋或B袋中,已知小球每次遇到黑色障碍物时,向左、右两边下落的概率分别为、,则小球落入A袋中的概率为 (　　)

A. B. C. D.

6.(2019陕西西安高考模拟)每年3月20日是国际幸福日,某电视台随机调查某一社区人们的幸福度.现从该社区随机抽取18名居民,用“10分制”记录了他们的幸福度指数,结果见如图所示茎叶图(以小数点前的一位数字为茎,小数点后的一位数字为叶).若幸福度不低于8.5分,则称该人的幸福度为“很幸福”.以这18人的样本数据来估计整个社区的总体数据,若从该社区(人数很多)任选3人,记X表示抽到幸福度为“很幸福”的人数,求X的分布列.

题组二　超几何分布

7. (2019湖南浏阳田家炳实验中学高二月考)一工厂生产的100个产品中有90个一等品,10个二等品,现从这批产品中随机抽取4个,则其中恰好有一个二等品的概率为(　　)

A.1- B.

C.          D.

8.(2019天津耀华中学高三月考)有10件产品,其中3件是次品,从中任取两件,若X表示取得次品的个数,则P(X<2)等于(　　)

A. B. C. D.1

9.(2020江苏徐州高二期末)一个班级共有30名学生,其中有10名女生,现从中任选三人代表班级参加学校开展的某项活动,假设选出的3名代表中女生的人数为X,男生的人数为Y,则P(X=2)+P(Y=2)等于(　　)

A.           B.

C. D.

10.(2019河北邢台一中高二月考)一盒中有12个乒乓球,其中9个新的,3个旧的,从盒中任取3个球来用,用完后装回盒中,此时盒中旧球个数X是一个随机变量,则P(X=4)的值为(　　)

A.     B. C.     D.

11.从某小组的5名女生和4名男生中任选3人去参加一项公益活动.

(1)求所选3人中恰有一名男生的概率;

(2)求所选3人中男生人数ξ的分布列.

12.(2020天津南大附中高二模拟)某大学在一次公益活动中聘用了10名志愿者,他们分别来自A、B、C三个不同的专业,其中A专业2人,B专业3人,C专业5人,现从这10人中任意选取3人参加一个访谈节目.

(1)求3个人来自两个不同专业的概率;

(2)设X表示取到B专业的人数,求X的分布列.

能力提升练

 题组一　 二项分布及其应用

1.(2019辽宁沈阳东北育才中学高考模拟,)已知甲、乙、丙三名同学同时独立地解答一道数学题,每人均有的概率解答正确,且三人解答正确与否相互独立,在三人中至少有两人解答正确的条件下,甲解答不正确的概率为(　　)　　　　　　 　　　　　 　　　　　

A. B. C. D.

2.(2020四川广安二中高二月考,)设随机变量X服从二项分布B,则函数f(x)=x2+4x+X存在零点的概率是(　　)

A. B. C. D.

3.(2019四川成都龙泉二中高考模拟,)设随机变量ξ~B(2,p),η~B(3,p),若P(ξ≥1)=,则P(η≥2)的值为(　　)

A. B. C. D.

4.()为了防止受到核污染的产品影响我国民众的身体健康,产品在进入市场前必须进行两轮核辐射检测,只有两轮都合格才能进行销售,否则不能销售.已知某产品第一轮检测不合格的概率为,第二轮检测不合格的概率为,两轮检测是否合格相互没有影响.若产品可以销售,则每件产品获利40元;若产品不能销售,则每件产品亏损80元.已知一箱中有4件产品,记一箱产品获利X元,则P(X≥-80)=　　　　. 

题组二　超几何分布及其应用

5.(2019甘肃兰州西北师大附中高二期末,)已知在10件产品中存在若干件次品,从中任意抽取2件进行检查,记其中的次品数为ξ,已知P(ξ=1)=,且该产品的次品率不超过40%,则这10件产品的次品率为(　　)

A.10% B.20% C.30% D.40%

6.(2019湖北武汉二中高二期中,)袋子中装有大小相同的八个小球,其中白球五个,分别编号为1、2、3、4、5;红球三个,分别编号为1、2、3.现从袋子中任取3个小球,记它们的最大编号为随机变量X,则P(X=3)=(　　)

A. B. C. D.

7.()有同一型号的电视机100台,其中一级品97台,二级品3台,从中任取4台,则二级品不多于1台的概率为　　　　(用式子表示). 

8.(2019天津南开中学高二期中,)某校为校级元旦晚会选拔主持人,现有来自高一年级的参赛选手4名,其中男生2名;高二年级的参赛选手4名,其中男生3名.从这8名参赛选手中随机选择4人组成搭档参赛.

(1)设事件A为“选出的4人中恰有2名男生,且这2名男生来自同一个年级”,求事件A发生的概率;

(2)设X为选出的4人中男生的人数,求随机变量X的分布列.

9.(2019辽宁本溪高二期末,)袋中装有10个除颜色外完全一样的黑球和白球,已知从袋中任意摸出2个球,至少得到1个白球的概率是.

(1)求白球的个数;

(2)从袋中任意摸出3个球,记得到的白球个数为X,求随机变量X的分布列.

题组三　二项分布与超几何分布的综合应用

10.(2020辽宁省实验中学高三期末,)某种水果按照果径大小可分为四类:标准果、优质果、精品果、礼品果.某采购商从采购的一批水果中随机抽取100个,利用水果的等级分类标准得到的数据如下:

(1)若将频率视为概率,从这100个水果中有放回地随机抽取4个,求恰好有2个水果是礼品果的概率;(结果用分数表示)

(2)用分层抽样的方法从这100个水果中抽取10个,再从抽取的10个水果中随机抽取3个,若X表示抽到的精品果的数量,求X的分布列.

答案全解全析                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                           

4.2.3　二项分布与超几何分布

基础过关练

1.B　每枚硬币正面向上的概率都等于,故所求概率为×=.故选B.

2.B　X=12表示前11次中取到9次红球,且第12次取到红球,所以P(X=12)=××=.

故选B.

3.A　因为随机变量X~B,所以P(X=3)==,故选A.

4.D　因为随机变量X服从二项分布B,所以P(X=1)=×=,P(X=2)=×=,

P(X=3)==,因此有P(X=3)=4P(X=1).故选D.

5.D　记事件C为小球落入A袋.因为小球遇到障碍物有一次向左和两次向右或两次向左和一次向右时,小球将落入A袋,所以P(C)=××+××=.故选D.

6.解析　根据题意及题图,知抽到一人,其幸福度为“很幸福”的概率为=,所以随机变量X~B,X的所有可能取值为0,1,2,3.

P(X=0)==;

P(X=1)=××=;

P(X=2)=××=;

P(X=3)==.

所以随机变量X的分布列为

7.D　由超几何分布的概率公式可知,所求概率为,故选D.

8.C　由题意,知X的所有可能取值为0,1,2,X服从超几何分布,所以P(X=0)==,P(X=1)==,

所以P(X<2)=P(X=0)+P(X=1)=+=,故选C.

9.C　由题得P(X=2)=,P(Y=2)=,所以P(X=2)+P(Y=2)=.故选C.

10.D　因为此时盒中旧球个数X=4,即旧球增加一个,所以取出的3个球中必有1个新球,2个旧球,所以P(X=4)==,故选D.

11.解析　(1)从某小组的5名女生和4名男生中任选3人,共有=84种情况,

所选3人中恰有一名男生的情况有=40种,

故所选3人中恰有一名男生的概率为=.

(2)随机变量ξ的所有可能取值为0,1,2,3,

P(ξ=0)==,

P(ξ=1)==,

P(ξ=2)==,

P(ξ=3)==.

所以随机变量ξ的分布列为

12.解析　(1)令事件A表示“3个人来自两个不同专业”,A1表示“3个人来自同一个专业”,

A2表示“3个人来自三个不同专业”,

∴P(A1)==,

P(A2)===,

∴3个人来自两个不同专业的概率P(A)=1-P(A1)-P(A2)=1--=.

(2)随机变量X的所有可能取值为0,1,2,3,

P(X=0)===,

P(X=1)===,

P(X=2)===,

P(X=3)==,

∴X的分布列为

能力提升练

1.C　记“三人中至少有两人解答正确”为事件A,“甲解答不正确”为事件B,

则P(A)=+=,P(AB)=××=,

∴P(B|A)==,故选C.

2.C　∵函数f(x)=x2+4x+X存在零点,

∴Δ=16-4X≥0,∴X≤4,

∵随机变量X服从二项分布B,

∴P(X≤4)=1-P(X=5)=1-=.

故选C.

3.C　由P(ξ=0)=1-P(ξ≥1)得,P(ξ=0)=(1-p)2=1-,解得p=,则P(η≥2)=p3+p2(1-p)1=+=.

4.答案　

解析　由题意得该产品能销售的概率为=,易知X的所有可能取值为-320,-200,-80,40,160,设ξ表示该箱产品中可以销售的产品件数,则ξ~B,

所以P(ξ=k)=·,k=0,1,2,3,4,

所以P(X=-80)=P(ξ=2)=×= ,

P(X=40)=P(ξ=3)=×=,

P(X=160)=P(ξ=4)=×=,

故P(X≥-80)=P(X=-80)+P(X=40)+P(X=160)=.

5.B　设10件产品中存在n(0<n≤10,n∈N+)件次品,则由P(ξ=1)=得,=,化简得n2-10n+16=0,解得n=2或n=8.又该产品的次品率不超过40%,∴n≤4,∴n=2,∴这10件产品的次品率为×100%=20%.故选B.

6.D　取出的小球只有1个标号为3时的概率P1== ,有2个标号为3时的概率P2== ,所以P(X=3)=P1+P2=+=,故选D.

7.答案　

解析　设取出的二级品台数为X.由题意得,随机变量X服从超几何分布,则P(X=1)=,P(X=0)=,故P(X≤1)=P(X=1)+P(X=0)=.

8.解析　(1)由题意知P(A)==,所以事件A发生的概率为.

(2)随机变量X的所有可能取值为1,2,3,4,P(X=k)=(k=1,2,3,4),

所以随机变量X的分布列为

9.解析　(1)设白球的个数为x,则黑球的个数为10-x,记“从袋中任意摸出2个球,至少得到1个白球”为事件A,则P(A)=1-=,解得x=5(x=14舍去),故白球有5个.

(2)X的所有可能取值为0,1,2,3,P(X=k)=,k=0,1,2,3.

所以X的分布列为

10.解析　(1)设从这100个水果中随机抽取1个,其为礼品果的事件为A,则P(A)==,

现有放回地随机抽取4个,设抽到礼品果的个数为X,则X~B,

∴恰好有2个水果是礼品果的概率为P(X=2)==.

(2)用分层抽样的方法从这100个水果中抽取10个,其中精品果有4个,非精品果有6个,

再从中随机抽取3个,则精品果的数量X服从超几何分布,所有可能的取值为0,1,2,3,

则P(X=0)==,P(X=1)==,P(X=2)==,P(X=3)==.

∴X的分布列为