高中数学苏教版 (2019)必修 第一册2.1 命题、定理、定义课时训练

第2章　常用逻辑用语

2.1　命题、定理、定义

基础过关练

题组一　命题的概念

1.(2019江苏石榴高级中学阶段检测)给出下列语句,其中不是命题的是(　　)　　　　　　 　　　　　　 　　　　　　

①是无限循环小数;

②x2-3x+2=0;

③当x=4时,2x>0;

④一个数不是奇数就是偶数.

A.② B.①②③ C.②④ D.③④

2.依据命题的概念,判断下面说法哪些是命题,哪些不是命题.

①三角形的外角和为360°;

②连接A、B两点;

③计算3-2的值;

④过点A作直线l的垂线;

⑤三角形中,两边之和一定大于第三边吗?

题组二　命题的结构

3.命题“若x+y为有理数,则x,y是有理数”的条件是(　　)

A.x+y B.x+y为有理数

C.x,y也都是有理数 D.x为有理数

4.(2019江苏武进高级中学月考)命题“三角形中,大边对大角”,改成“若p,则q”的形式为(　　)

A.三角形中,若一边较大,则其对的角也大

B.三角形中,若一角较大,则其对的边也大

C.若一个平面图形是三角形,则大边对大角

D.若一个平面图形是三角形,则大角对大边

5.(2019江苏通州西亭中学月考)命题“一次函数y=2x+1的值随x的增大而增大”的条件是　　　　　　　,结论是　　　　　　　. 

6.把下列命题写成“若p,则q”(或“如果p,那么q”)的形式.

(1)正数的平方根不等于0;

(2)当x=2时,x2+x-6=0;

(3)两个无理数的积是无理数;

(4)菱形的对角线互相垂直平分.

题组三　命题真假的判断

7.下列命题是真命题的是(　　)

A.4∈{2,3} 

B.1是质数

C.空集是任何集合的子集 

D.周长相等的两个三角形全等

8.(2019江苏常熟中学月考)下列命题是真命题的是(　　)

A.奇数不能被2整除

B.实数的平方是正数

C.当(a-1)2+(b-1)2=0时,a=b=2

D.已知x,y为正整数,当y=x+1时,y=3,x=2

9.若“A∩B=B”,则“A⫌B”是　　　　(真或假)命题. 

10.把下列命题改写成“若p,则q”的形式,并判断命题的真假.

(1)能被6整除的数一定是偶数;

(2)当+|b+2|=0时,a=1,b=-2;

(3)已知x,y为正整数,当y=x2时,y=1,x=1.

11.(2019江苏青阳高级中学月考)判断下列命题的真假,并说明理由.

(1)x,y∈R,如果x>y,那么;

(2)若一个四边形是正方形,则其对角线互相垂直且平分;

(3)A,B是两个集合,如果B⊆A,那么B⫋A或B=A.

能力提升练

题组一　命题真假的判断

1.(2019江苏海安高级中学月考,)给出下列命题: ①∈Q; ②{1,2}={(1,2)};③2∈{1,2}; ④{⌀}⊆{1,2},其中真命题的个数是(　　)　　　　　　 　　　　　　 　　　　　　

A.0 B.1 C.2 D.3

2.(2019江苏锡山高级中学月考,)下列语句中是真命题的为(　　)

A.mx2+2x-1=0是一元二次方程

B.抛物线y=ax2+2x-1(a≠0)与x轴至少有一个交点

C.互相包含的两个集合相等

D.空集是任何集合的真子集

3.()给出下列命题:①面积相等的三角形是全等三角形;②若xy=0,则|x|+|y|=0;③若a>b,则ac2>bc2;④矩形的对角线互相垂直.其中假命题的个数是(　　)

A.1 B.2 C.3 D.4

4.(多选)()下列命题中是真命题的有(　　)

A.若△ABC为直角三角形,则BC2+AC2=AB2

B.若a,b∈R,a2+b2=0,则a=0且b=0

C.若x2=9,则x3=±27

D.若A={x|x=3n,n∈N},B={x|x=3n,n∈N},则A=B

5.(2019江苏扬中高级中学月考,)已知命题“非空集合M中的元素都是集合P中的元素”是假命题,给出下列四个命题:

①M中的元素不都是P中的元素;

②M中的元素都不是P中的元素;

③M中有P的元素;

④存在x∈M,使得x∉P,

其中真命题的序号是　　　　(将正确命题的序号都写在横线上). 

题组二　根据命题的真假求参数的值(取值范围)

6.(2019江苏邗江中学期中,)设集合A={x|-2-a<x<a,a>0},命题p:1∈A,命题q:2∈A.若p和q中有且只有一个为真命题,则实数a的取值范围是(　　)

A.0<a<1或a≥2 

B.0<a<1或a>2

C.1<a≤2 

D.1≤a≤2

7.(2019江苏昆山中学月考,)已知命题p:方程x2-2x-a=0没有实数根;命题q: -4<a<4.若命题p和q都是真命题,则实数a的取值范围是(　　)

A.(-4,1) B.(-3,2]

C.(-4,-1) D.[2,+∞)

8.(2019江苏海头高级中学月考,)已知A:5x-1>a,B:x>1,请确定实数a的取值范围,使得利用A,B构造的命题“若p,则q”为真命题.

9.(2019江苏建湖高级中学月考,)已知p:x1和x2是方程x2-mx-2=0的两个实数根,不等式a2-6a-4≥|x1-x2|对任意的m∈[-1,1]恒成立,q:关于x的方程ax2+2x-1=0有解.若p是真命题,q是假命题,求实数a的取值范围.

答案全解全析

第2章　常用逻辑用语

2.1　命题、定理、定义

基础过关练

1.A　根据命题的概念可知②不是命题,①③④都是命题.

2.解析　根据命题的概念可知①为命题,②③④⑤都不是能够判断真假的陈述句,所以都不是命题.

3.B　根据命题的概念可知B正确.

4.A　命题中,大前提是“三角形”,条件是“大边”,结论是“对大角”,故选A.

5.答案　一次函数为y=2x+1;该函数的值随x的增大而增大

6.解析　(1)若a是正数,则a的平方根不等于0.

 (2)若x=2,则x2+x-6=0.

(3)若x,y为无理数,则xy为无理数.

(4)如果一个四边形是菱形,那么这个四边形的对角线互相垂直平分.

7.C　选项A中,4∉{2,3},故A是假命题;选项B中,1不是质数,故B是假命题;选项C是真命题;选项D中,周长相等的两个三角形不一定全等,故D是假命题.

8.A　选项A中,若一个数是奇数,则这个数不能被2整除,是真命题;选项B中,0的平方还是0,不是正数;选项C中,若(a-1)2+(b-1)2=0,则a=b=1,是假命题;选项D中,y=4,x=3也符合条件.

9.答案　假

解析　当A=B时,A∩B=B,A⫌B不成立.

10.解析　(1)若一个数能被6整除,则这个数为偶数.真命题.

(2)若+|b+2|=0,则a=1且b=-2.真命题.

(3)已知x,y为正整数,若y=x2,则y=1且x=1.假命题.

11.解析　(1)当x,y 为负数时,和无意义,故命题为假命题.

(2)由正方形的性质可知命题为真命题.

(3)由B⊆A可知B是A的子集,所以B⫋A或B=A,所以命题为真命题.

能力提升练

1.B　为无理数,故①是假命题;{1,2}是以1,2为元素的集合,{(1,2)}可以看成是以点(1,2)为元素的集合,故两个集合不相等,所以②是假命题;由元素与集合的关系,知③是真命题;集合{⌀}包含了一个元素⌀,而集合{1,2}包含了元素1,2,所以{⌀}⊈{1,2},故④是假命题.故真命题的个数是1,故选B.

2.C　选项A中,m=0时,mx2+2x-1=0是一元一次方程,m≠0时,方程为一元二次方程,故A中命题为假命题;选项B中,抛物线y=ax2+2x-1(a≠0)对应的一元二次方程的判别式Δ=4+4a,当a<-1时,方程无实数根,此时抛物线与x轴无交点,故B中命题为假命题;选项C中,若A⊆B,B⊆A,则A=B,故C中命题为真命题;选项D中,空集是任何集合的子集,是任何非空集合的真子集,故D中命题为假命题.故选C.

3.D　①等底等高的三角形都是面积相等的三角形,但不一定全等,故①为假命题;

②当x,y中一个为零,另一个不为零时,|x|+|y|≠0,故②为假命题;

③当c=0时,ac2=bc2,故③为假命题;

④菱形的对角线互相垂直,矩形的对角线不一定互相垂直,故④为假命题.

综上,假命题的个数为4.故选D.

4.BC　在△ABC中,若∠BAC=90°,则AB2+AC2=BC2,故A是假命题;

因为a,b∈R,a2+b2=0,所以a=0且b=0,故B是真命题;

因为x2=9,所以x=±3,所以x3=(±3)3=±27,故C是真命题;

在集合A中,当n=0时,x=1∉B,所以A≠B.

5.答案　①④

解析　命题:“非空集合M中的元素都是集合P中的元素”是假命题,说明集合M中至少有一个元素不属于集合P,或者M中没有集合P中的元素,因此②③是假命题,①④是真命题.

6.C　若p为真命题,则-2-a<1<a,解得a>1.

若q为真命题,则-2-a<2<a,解得a>2.

由p,q一真一假,得或解得1<a≤2.故选C.

7.C　当命题p为真命题时,4+4a<0,解得a<-1;当命题q是真命题时,-4<a<4.

所以当命题p和q都是真命题时,a应满足即-4<a<-1,

故实数a的取值范围是(-4,-1).

8.解析　令A为p,B为q,则命题“若p,则q”为“若5x-1>a,则x>1”,由命题为真命题可得≥1,解得a≥4,即当a≥4时,“若5x-1>a,则x>1”为真命题.

令B为p,A为q,则命题“若p,则q”为“若x>1,则5x-1>a”,由命题为真命题可得≤1,解得a≤4,即当a≤4时,“若x>1,则5x-1>a”是真命题.

9.解析　∵x1,x2是方程x2-mx-2=0的两个实数根,

∴

∴|x1-x2|=,

易知|x1-x2|=在m∈[-1,1]时的最大值为3,

∴由不等式a2-6a-4≥|x1-x2|对任意的m∈[-1,1]恒成立,得a2-6a-4≥3,解得a≥7或a≤-1.

关于x的方程ax2+2x-1=0有解,

当a=0时,方程为2x-1=0,有解;

当a≠0时,由Δ=4+4a>0,

解得a>-1,此时a>-1且a≠0.

∴当方程ax2+2x-1=0有解时,a>-1.

∵q是假命题,∴a≤-1.

故当p是真命题,q是假命题时,实数a的取值范围是(-∞,-1].