高中数学苏教版 (2019)必修 第一册2.3 全称量词命题与存在量词命题同步练习题

2.3.2　全称量词命题与存在量词命题的否定

基础过关练

题组一　含有量词命题的否定

1.命题“∃x∈R,x3-x2+1>0”的否定是(　　)　　　　　　 　　　　　　 　　　　　　

A.∀x∈R,x3-x2+1≤0 

B.∃x∈R,x3-x2+1<0

C.∃x∈R,x3-x2+1≤0 

D.不存在x∈R,x3-x2+1>0

2.命题 “存在实数m,使方程x2+mx+1=0有实数根”的否定是(　　)

A.存在实数m,使方程x2+mx+1=0无实数根

B.不存在实数m,使方程x2+mx+1=0无实数根

C.对任意的实数m,方程x2+mx+1=0无实数根

D.至多有一个实数m,使方程x2+mx+1=0有实数根

3.命题“∀x∈R,x2≠x”的否定是(　　)

A.∀x∉R,x2≠x B.∀x∈R,x2=x

C.∃x∉R,x2≠x D.∃x∈R,x2=x

4.命题“∀x∈R,|x|+x2≥0”的否定是(　　)

A.∀x∈R,|x|+x2<0 B.∀x∈R,|x|+x2≤0

C.∃x∈R,|x|+x2<0 D.∃x∈R,|x|+x2≥0

5.(2019江苏扬州中学高二期中)命题“∃x∈Z,使x2+2x+m≤0”的否定是(　　)

A.∀x∈Z,都有x2+2x+m≤0

B.∃x∈Z,使x2+2x+m>0

C.∀x∈Z,都有x2+2x+m>0

D.不存在x∈Z,使x2+2x+m>0

6.若命题p的否定是“对所有正数x,>x+1”,则命题p是　　　　　　　　　　　　　. 

7.写出下列命题的否定:

(1)p:∃x∈R,2x+1≥0;

(2)p:所有自然数的平方都是正数;

(3)p:任何实数x都是方程5x-12=0的根;

(4)p:有些分数不是有理数.

题组二　含有量词命题的否定的真假判断

8.(2019江苏侯集中学月考)下列命题的否定是真命题的是(　　)

A.三角形角平分线上的点到角两边的距离相等

B.所有平行四边形都不是菱形

C.任意两个等边三角形都是相似的

D.3是方程x2-9=0的一个根

9.下列命题的否定为假命题的是(　　)

A.∃x∈Z,1<4x<3 B.∃x∈Z,5x+1=0

C.∀x∈R,x2-1=0 D.∃x∈R,x2+3x+2=0

10.写出下列命题的否定,并判断所得命题的真假.

(1)无论实数m取何值,方程x2+x-m=0必有实数根;

(2)所有末位数字是0或5的整数都能被5整除;

(3)某些梯形的对角线互相平分;

(4)能被8整除的数能被4整除.

题组三　含有量词命题否定的应用

11.已知命题p:∃x∈R,ax2+2x+1=0,若命题p是假命题,则实数a的取值范围是(　　)

A.{a|a≥1} B.{a|a<1}

C.{a|a>1} D.{a|a≤1}

12.已知命题p:∃x∈R,|x|2-2|x|+m=0,若¬p是假命题,求实数m的取值范围.

能力提升练

题组一　含有量词命题的否定的真假判断

1.()若命题p:∃x∈R,x-2> ,命题q:∀x∈R,x2>0,则(　　)　　　　　　 　　　　　　 　　　　　　

A.命题p,q都是假命题

B.命题p,q都是真命题

C.命题p,¬q都是真命题

D.命题p,¬q都是假命题

2.(多选)(2019江苏灌南高级中学月考,)下列四个命题中,其否定是假命题的有(　　)

A.有理数是实数 

B.有些平行四边形不是菱形

C.∀x∈R,x2-2x>0 

D.∃x∈R,2x+1为奇数

3.()已知a>0,函数y=ax2+bx+c(a,b,c为常数),若m满足关于x的方程2ax+b=0,当x=m时的函数值记为M,则下列命题为假命题的是(　　)

A.∃x∈R,ax2+bx+c≤M 

B.∃x∈R,ax2+bx+c≥M

C.∀x∈R,ax2+bx+c≤M 

D.∀x∈R,ax2+bx+c≥M

4.()写出下列命题的否定,并判断所得命题的真假.

(1)所有实数x都能使x2+2x+1>0成立;

(2)对所有实数a,b,方程ax+b=0恰有一个解;

(3)一定有整数x,y,使得3x-2y=0成立;

(4)所有的实数x都能使x+1是有理数.

题组二　含有量词命题的否定的应用

5.(2019江苏新海高级中学期中,)若“∃x∈R,k>x2+1恒成立”是假命题,则实数k的取值范围是(　　)

A.-1<k<1 B.0<k≤1

C.k>1 D.k≤1

6.()已知p:∀x∈[1,4],x-a≥0,q:∃x∈R,x2+2x+2-a=0,若命题¬p是真命题,且命题q是真命题,则实数a的取值范围是(　　)

A.a=1 B.a≤1

C.a≥1 D.a>1

7.(2019江苏海安高级中学阶段检测,)已知命题p:∀x∈[1,4],x2≥a,命题q:∀x∈R,x2+2ax+2-a≠0,若命题p和¬q都是真命题,则实数a的取值范围为(　　)

A.a=1 B.a≥1

C.a=1或a≤-2 D.-2≤a<1

8.(2019江苏连云港高级中学月考,)某中学开展小组合作学习模式,高二某班某组王小一同学给组内王小二同学出题如下:若命题“∃x∈R,x2+2x+m≤0”是假命题,求实数m的取值范围.王小二略加思索,反手给了王小一一道题:若命题“∀x∈R,x2+2x+m>0”是真命题,求实数m的取值范围.你认为,两位同学题中实数m的取值范围是否一致?答:　　　　.(填“是”“否”中的一种) 

9.(2020山东师范大学附属中学高一上学期期中改编,)已知命题p:∀x∈[0,4],0≤x<2a,命题q:∃x∈R,x2-2x+a<0.

(1)若命题¬p和命题q有且只有一个为真命题,求实数a的取值范围;

(2)若命题p和命题q至少有一个为真命题,求实数a的取值范围.

答案全解全析

2.3.2　全称量词命题与存在量词命题的否定

基础过关练

1.A　量词“∃”改为“∀”,结论“x3-x2+1>0”改为“x3-x2+1≤0”,故选A.

2.C　存在量词命题的否定形式为全称量词命题,即“对任意的实数m,方程x2+mx+1=0无实数根”.故选C.

3.D　全称量词命题的否定是存在量词命题,所以“∀x∈R,x2≠x”的否定是“∃x∈R,x2=x”,故选D.

4.C　条件“∀x∈R”的否定是“∃x∈R”,结论“|x|+x2≥0”的否定是“|x|+x2<0”.故选C.

5.C　命题“∃x∈Z,使x2+2x+m≤0”的否定是“∀x∈Z,都有x2+2x+m>0”.故选C.

6.答案　∃x0∈(0,+∞),≤x0+1

解析　只需将全称量词命题变为存在量词命题,再对结论否定即可.故命题p是∃x0∈(0,+∞),≤x0+1.

7.解析　(1)¬p:∀x∈R,2x+1<0.

(2)¬p:有些自然数的平方不是正数.

(3)¬p:存在实数x不是方程5x-12=0的根.

(4)¬p:一切分数都是有理数.

8.B　A的否定:存在一个三角形,它的角平分线上的点到角两边的距离不相等,是假命题;B的否定:有些平行四边形是菱形,是真命题;C的否定:有些等边三角形不相似,是假命题;D的否定: 3不是方程x2-9=0的一个根,是假命题.故选B.

9.D　命题的否定为假命题等价于该命题是真命题.由1<4x<3得,这样的整数x不存在,故A为假命题,其否定为真命题;5x+1=0,则x=-∉Z,故B为假命题,其否定为真命题;x2-1=0,则x=±1,故C为假命题,其否定为真命题;存在实数x=-1或x=-2,有x2+3x+2=(x+1)·(x+2)=0,故D为真命题,其否定是假命题.故选D.

10.解析　(1)命题的否定:存在实数m,使得方程x2+x-m=0没有实数根.当Δ=1+4m<0,即m<-时,一元二次方程没有实数根,因此是真命题.

(2)命题的否定:存在末位数字是0或5的整数不能被5整除.它是假命题.

(3)命题的否定:所有梯形的对角线都不互相平分.它是真命题.

(4)命题的否定:存在一个数能被8整除,但不能被4整除.它是假命题.

11.C　∵p:∃x∈R,ax2+2x+1=0,

∴¬p:∀x∈R,ax2+2x+1≠0.

∵命题p为假命题,∴命题¬p为真命题,

∴当x∈R时,方程ax2+2x+1=0没有实数根,

∴Δ=4-4a<0,即a>1.

∴实数a的取值范围是{a|a>1}.故选C.

12.解析　∵¬p是假命题,∴p是真命题.

也就是∃x∈R,使得|x|2-2|x|=-m,即方程|x|2-2|x|=-m有解.

又|x|2-2|x|=(|x|-1)2-1≥-1,当x=±1时取等号,因此-m≥-1,即m≤1.

∴实数m的取值范围是{m|m≤1}.

能力提升练

1.C　当x=9时,9-2>=3,∴p为真命题.∵∀x∈R,x2≥0,∴q为假命题,¬q是真命题,故选C.

2.ABD　选项A中,有理数是实数,是真命题,则命题的否定是假命题;选项B中,有些平行四边形不是菱形为真命题,则命题的否定是假命题;选项C中,∀x∈R,x2-2x>0为假命题,当x=0时,不等式不成立,则命题的否定是真命题;选项D中,∃x∈R,2x+1为奇数,为真命题,则命题的否定是假命题.故选ABD.

3.C　方程2ax+b=0的解为x=-.由x=m时的函数值为M知A、B为真命题;

∵a>0,∴函数y=ax2+bx+c在x=-=m处取得最小值.

∴M是函数y=ax2+bx+c的最小值,因此D为真命题,C为假命题,故选C.

4.解析　(1)命题的否定:存在实数x,使x2+2x+1≤0.

当x=-1时,x2+2x+1=0,故为真命题.

(2)命题的否定:存在实数a,b,使方程ax+b=0无解或至少有两个解.

当a=0时,方程有无数个解,故是真命题.

(3)命题的否定:对任意整数x,y,3x-2y≠0.当x=2,y=3时,3x-2y=0,故为假命题.

(4)命题的否定:存在实数x,使x+1不是有理数.

当x=时,,为无理数,故是真命题.

5.D　因为“∃x∈R,k>x2+1恒成立”是假命题,所以其否定“∀x∈R,k≤x2+1”为真命题.因为x2+1≥1,即x2+1的最小值为1,要使“k≤x2+1恒成立”,只需k≤(x2+1)min,即k≤1,故选D.

6.D　若“∀x∈[1,4],x-a≥0”为真命题,则a小于或等于x(1≤x≤4)的最小值,即a≤1,而当命题¬p是真命题时,命题p为假命题,从而a>1.

若q:∃x∈R,x2+2x+2-a=0为真命题,则Δ=4-4(2-a)≥0,解得a≥1,

所以命题p是假命题,且命题q是真命题需满足解得a>1,故选D.

7.C　命题p:∀x∈[1,4],x2≥a是真命题,因为x2≥1,所以a≤1;

命题¬q:∃x∈R,x2+2ax+2-a=0为真命题,则Δ=(2a)2+4a-8≥0,解得a≤-2或a≥1,

则实数a的取值范围为a=1或a≤-2.

8.答案　是

解析　由∃x∈R,x2+2x+m≤0,得其否定为∀x∈R,x2+2x+m>0,因此命题“∃x∈R,x2+2x+m≤0”是假命题,与命题“∀x∈R,x2+2x+m>0”是真命题是等价关系,即两位同学题中实数m的取值范围一致.

9.解析　若命题p:∀x∈[0,4],0≤x<2a为真命题,

则2a>4,即a>2.

所以若¬p为真命题,则a≤2.

若命题q:∃x∈R,x2-2x+a<0为真命题,则Δ=(-2)2-4×1×a>0,即a<1.

若¬q为真命题,则a≥1.

(1)①当¬p为真,q为假时,¬q为真,即所以1≤a≤2;

②当¬p为假,q为真时,p为真,

即无解,舍去.

综上所述,当命题¬p和命题q有且只有一个为真命题时,a的取值范围为{a|1≤a≤2}.

(2)解法一:①当p真q假时,¬q为真,即所以a>2;

②当p假q真时,¬p为真,即

所以a<1;

③当p真q真时,无解,舍去.

综上所述,a的取值范围为{a|a<1或a>2}.

解法二:考虑p,q至少一个为真命题的反面,即p,q均为假命题.

即¬p为真,且¬q为真,

则

解得1≤a≤2,

即{a|1≤a≤2},

则p,q至少一个为真命题时,a的取值范围为{a|1≤a≤2}的补集,

故a的取值范围为{a|a<1或a>2}.