数学苏教版 (2019)3.1 不等式的基本性质当堂检测题

  第3章　不等式

3.1　不等式的基本性质

基础过关练

题组一　用不等式(组)表示不等关系

1.下列说法正确的是(　　)　　　　　　　　　　　　　　　　　　

A.某人月收入x不高于2 000元可表示为“x<2 000”

B.若小明的身高为x,小华的身高为y,则小明比小华矮可表示为“x>y”

C.某变量x至少是a可表示为“x≥a”

D.某变量y不超过a可表示为“y≥a”

2.已知某学生共有10元钱,打算购买单价分别为0.6元和0.7元的铅笔和练习本,根据需要,铅笔至少买7支,练习本至少买6本,设买铅笔x支,练习本y本,则满足条件的不等式组为(　　)

A. B.

C. D.

3.(2020山东威海期中)一辆汽车原来每天行驶x km,如果该汽车现在每天行驶的路程比原来多19 km,那么现在在8天内行驶的路程将超过2 200 km,用不等式表示为　　　　　　　. 

题组二　实数(代数式)的大小比较

4.(2020河北正定一中期中)已知a1,a2∈{x|0<x<1},记M=a1a2,N=a1+a2-1,则M与N的大小关系是(　　)

A.M<N B.M>N

C.M=N D.不确定

5.(2020安徽六安中学月考)若x≠-2,y≠1,则M=x2+y2+4x-2y的值与-5的大小关系是(　　)

A.M>-5 B.M<-5

C.M≥-5 D.M≤-5

6.若x∈R,则与的大小关系为　　　　　　. 

题组三　不等式的性质及其应用

7.(2020江苏盐城中学高二上学期阶段性考试)若,则a,b的大小关系为(　　)

A.a>b B.a=b

C.a<b D.无法确定

8.(2020江苏新丰中学高二上学期期中)若b<0<a,d<c<0,则下列选项正确的是(　　)

A.bd<ac B.

C.a-c>b-d D.a+c>b+d

9.(2020天津南开高一期末)“”是“b<a<0”的(　　)　　　　　 　　　　　 　　　　　

A.充分不必要条件

B.必要不充分条件

C.充要条件

D.既不充分又不必要条件

10.(2020广东东莞高一期末)已知实数a,b,c满足0<a<b,0<c<1,则下列选项一定成立的是(　　)

A.a+c>b+c B.ac>bc

C.ac<b D.bc<a

11.若<0,则下列结论不正确的是(　　)

A.a2<b2 B.ab<b2

C.a+b<0 D.|a|+|b|>|a+b|

题组四　求代数式的取值范围

12.(2020北师大附中高二期中)设实数x,y满足3<x<4,1<y<2,则2x-y的取值范围是(　　)

A.(4,6) B.(4,7)

C.(5,6) D.(5,7)

13.已知12<a<60,15<b<36,则的取值范围为　　　　. 

14.已知-3<b<a<-1,-2<c<-1,则(a-b)c2的取值范围是　　　　. 

15.已知-2<a≤3,1≤b<2,试求下列各式的取值范围.

(1)|a|;(2)a+b;(3)a-b;(4)2a-3b.

能力提升练

题组一　实数(代数式)的大小比较

1.(2020吉林长春榆树一中五校高二期末,)实数x,y,z满足x+y+z=0,xyz>0,若T=,则(　　)　　　　　　　　　　　　　　　　　　

A.T>0 B.T<0

C.T=0 D.T≥0

2.()若p=,其中a≥0,则p,q的大小关系是(　　)

A.p<q B.p=q

C.p>q D.不确定

3.(2020吉林省实验中学高二期中,)已知a,x均为正数,且a>b,则.(填“>”“<”或“=”)

4.(2020辽宁大连二十四中高三模拟,)已知a+b>0,则与的大小关系是　　　　　　　. 

题组二　不等式性质的综合应用

5.(2020江苏常州高二上学期期中,)已知a,b为非零实数,且a-b≥0,则下列结论一定成立的是(　　)

A.a2≥b2 B.ab2≥ba2

C.≥ D.≥

6.(2020北京朝阳高一期末,)下列命题是真命题的是(　　)

A.若a>b>0,则ac2>bc2

B.若a>b,则a2>b2

C.若a<b<0,则a2<ab<b2

D.若a<b<0,则

7.(多选)(2020福建三明一中高一期中,)已知实数a,b,c满足c<b<a且ac<0,则下列选项中一定成立的是(　　)

A.ab>ac B.c(b-a)>0

C.ac(a-c)<0 D.cb2<ab2

8.(2019安徽安庆三校联考,)某单位组织职工去某地参观学习,需包车前往.甲车队说:“如果领队买一张全票,其余人可享受7.5折优惠.”乙车队说:“你们属于团体票,按原价的8折优惠.”这两个车队的一张全票价、车型都是一样的,试根据单位去的人数比较两车队的收费哪家更优惠.

题组三　求代数式的取值范围

9.()已知2<a+b<5,0<a-b<1,某同学得出了如下结论:①1<a<3;②1<b<2;③;④-4<a-2b<-2;⑤-3<a-2b<-1;⑥1<2a-b<4.以上结论中正确的是(　　)

A.①③④ B.①②④

C.①②⑤ D.①③⑥

10.()若实数m,n满足求3m+4n的取值范围.

题组四　不等式大小的证明

11.(2019山东济宁一中高二阶段检测,)已知a,b都是正数,且a≠b,求证:a5+b5>a2b3+a3b2.

12.(2019广东中山一中段考,)已知a,b,x,y都为正数,且,x>y,求证:.

答案全解全析

第3章　不等式

3.1　不等式的基本性质

基础过关练

1.C　对于A,应满足x≤2 000,故A错误;对于B,x,y应满足x<y,故B错误;易知C正确;对于D,y与a的关系可表示为y≤a,故D错误.

2.C　由题意可得

3.答案　8(x+19)>2 200

解析　∵汽车原来每天行驶x km,现在每天行驶的路程比原来多19 km,

∴现在汽车每天行驶的路程为(x+19)km,则现在在8天内行驶的路程为8(x+19)km,又8天内行驶的路程将超过2 200 km,∴满足8(x+19)>2 200.故答案为8(x+19)>2 200.

4.B　由题意得0<a1<1,0<a2<1,∴M-N=a1a2-a1-a2+1=(a1-1)(a2-1)>0,故M>N.故选B.

5.A　M-(-5)=x2+y2+4x-2y+5=(x+2)2+(y-1)2.

∵x≠-2,y≠1,∴(x+2)2>0,(y-1)2>0,

∴(x+2)2+(y-1)2>0.故M>-5.

6.答案　≤

解析　∵≤0,∴≤.

7.A　由,可得c2>0,所以两边同乘c2,可得a>b,所以A正确.

8.D　∵b<0,d<0,a>0,c<0,

∴bd>0,<0,

∴bd>ac,,故A,B错误;

令a=1,b=-1,d=-5,c=-2,

则a-c<b-d,故C错误;

∵b<0<a,∴a-b>0,∵d<c<0,∴d-c<0,

∴a-b>d-c,即a+c>b+d,故D正确.

9.B　取a=2,b=1,成立,但b<a<0不成立,则“”⇒/ “b<a<0”.若b<a<0,则-b>-a>0,由不等式的性质得-,∴,即“b<a<0”⇒“”.因此,“”是“b<a<0”的必要不充分条件.故选B.

10.C　因为0<a<b,c>0,所以a+c<b+c,ac<bc,又因为0<c<1,所以bc<b,所以ac<b.bc与a的大小不确定.故选C.

11.D　∵<0,∴b<a<0,

∴a2<b2,ab<b2,a+b<0,∴A,B,C中的结论均正确.

∵b<a<0,∴|a|+|b|=-a-b=-(a+b)=|a+b|,故D中的结论不正确,故选D.

12.B　由已知得6<2x<8,-2<-y<-1,

两式相加得4<2x-y<7.故选B.

13.答案　

解析　由15<b<36得,又12<a<60,

所以根据不等式的性质可得12×<a·×60,即<4,所以的取值范围为.

14.答案　(0,8)

解析　依题意得0<a-b<2,1<c2<4,所以0<(a-b)c2<8.

15.解析　(1)0≤|a|≤3.

(2)-1<a+b<5.

(3)依题意得-2<-b≤-1,又-2<a≤3,相加得-4<a-b≤2.

(4)由-2<a≤3得-4<2a≤6①,

由1≤b<2得-6<-3b≤-3②,

①+②得,-10<2a-3b≤3.

能力提升练

1.B　x+y+z=0且xyz>0,不妨设x>0,则y<0,z<0.T=.因为x>0,z<0,所以xz<0.又-y2<0,所以-y2+xz<0.又xyz>0,所以T<0.故选B.

2.A　由题意知p-q=).

∵()2

=2,

且(a+3)(a+6)-(a+4)(a+5)=-2<0,a≥0,

∴2<0,∴()2<0,

∴p-q=)<0,故p<q.

3.答案　<

解析　.

因为a>0,a>b,x>0,所以x+a>0,b-a<0,

所以<0,所以.

4.答案　≥

解析　=(a-b)·.

∵a+b>0,(a-b)2≥0,a2b2>0,

∴≥0,∴≥.

5.C　当a=1,b=-2时,a2<b2,A不一定成立;当a=2,b=1时,ab2=2<1×22=4=ba2,,所以B,D不一定成立;

∵,a-b≥0,∴≥0,

∴≥,故C一定成立.

6.D　对于A,当c=0时,ac2=bc2,所以A是假命题;对于B,当a=0,b=-2时,a>b,但a2<b2,所以B是假命题;对于C,当a=-4,b=-1时,a<b<0,但a2>ab>b2,所以C是假命题;对于D,若a<b<0,则,所以D是真命题.故选D.

7.ABC　因为c<b<a且ac<0,所以c<0,a>0,所以ab>ac,故A一定成立;

因为b-a<0,故c(b-a)>0,故B一定成立;

因为a-c>0,ac<0,所以ac(a-c)<0,故C一定成立;当b=0时,cb2=ab2,当b≠0时,cb2<ab2,故D不一定成立.

8.解析　设该单位职工有n(n∈N*)人去学习,一张全票的价格为x元,包甲车队需花y1元,包乙车队需花y2元,

则y1=x+x·(n-1)=xn,

y2=nx.所以y1-y2=.

当n=5时,y1=y2;当n>5时,y1<y2;

当n<5时,y1>y2.

因此,当该单位去的人数为5时,两车队收费相同;多于5时,甲车队更优惠;少于5时,乙车队更优惠.

9.D　a=(a-b),∵2<a+b<5,

∴1<.∵0<a-b<1,∴0<,∴1<a<3,①正确;b=(a-b),而1<, 0<,即-(a-b)<0,∴,②不正确,③正确;a-2b=-(a-b),而-,∴-,④⑤错误;2a-b=(a-b),而1<,∴1<2a-b<4,⑥正确.

故正确的结论是①③⑥,故选D.

10.解析　令3m+4n=x(2m+3n)+y(m-n),则解得

因此3m+4n=(m-n).

由-1≤2m+3n≤2得-≤(2m+3n)≤.由-3<m-n≤1得-(m-n)≤,所以-<3m+4n≤,即-2<3m+4n≤3.

11.证明　(a5+b5)-(a2b3+a3b2)

=(a5-a3b2)+(b5-a2b3)

=a3(a2-b2)-b3(a2-b2)=(a3-b3)(a2-b2)

=(a+b)(a-b)2(a2+ab+b2).

∵a,b都是正数,∴a+b>0,a2+ab+b2>0,

∵a≠b,∴(a-b)2>0,

∴(a+b)(a-b)2(a2+ab+b2)>0,

即a5+b5>a2b3+a3b2.

12.证明　.

∵>0,∴b>a>0.

又x>y>0,∴bx>ay,即bx-ay>0.

又x+a>0,y+b>0,

∴>0,即.