高中数学苏教版 (2019)必修 第一册6.1 幂函数同步达标检测题

第6章　幂函数、指数函数和对数函数

6.1　幂函数

基础过关练

题组一　幂函数的概念

1.在函数①y=,②y=x2,③y=2x+1,④y=1,⑤y=2x2,⑥y=中,为幂函数的是(　　)

A.①②④⑤ B.③④⑥

C.①②⑥ D.①②④⑤⑥

2.(2020江苏扬州邗江高一上学期期中)已知幂函数f(x)=,则f(2)=(　　)

A. B.2 C.4 D.

3.(2020广东佛山禅城实验高级中学高一月考)已知函数f(x)=(m2-m-1)x-5m-3,当m为何值时,y=f(x)是(1)幂函数?(2)正比例函数?(3)反比例函数?(4)二次函数?

题组二　幂函数的图象及其应用

4.(2020豫西名校高一上学期第一次联考)已知幂函数f(x)=2kxm的图象过点(,4),则k+m=(　　)

A.4 B. C.5 D.

5.(2020山东泰安宁阳一中高一上学期模拟考试)函数y=的大致图象是(　　)

6.如图是幂函数y=xn的图象,若n取这四个值,则与曲线C1,C2,C3,C4相对应的n依次为(　　)

A.2,,-2 B.-2,-,2

C.- D.2,

7.(2020浙东北联盟高一上学期期中)已知幂函数y=f(x)的图象过点(3,),则这个函数的解析式为　　　　　　,若f(a)=2,则a的值为　　　　. 

题组三　幂函数的性质及其应用

8.(2020江西新余第六中学高一期中)若幂函数y=(m2-2m-2)的定义域为{x|x≠0},则实数m的取值是(　　)

A.-1≤m≤3 B.m=-1或m=3

C.m=-1 D.m=3

9.(2020云南玉溪第一中学高一期中)已知幂函数f(x)=(m2-m-1)xm在(0,+∞)上是减函数,则实数m的值为　　(　　)

A.-1 B.2 C.-1或2 D.

10.(2020河南项城第三高级中学高一期中)下列幂函数的图象过点(0,0),(1,1),且为偶函数的是(　　)

A.y= B.y=x-2 C.y=x4 D.y=

11.(2020黑龙江伊春第二中学高一上学期期中)函数y=x-2在区间上的最大值是(　　)

A. B. C.4 D.-4

12.(2020河北唐山第十一中学高一上学期期中)已知幂函数y=f(x)的图象经过点(2,).

(1)求f(x)的解析式;

(2)根据函数单调性定义,证明f(x)在区间[0,+∞)上单调递增.

能力提升练

题组一　幂函数的图象及其应用

1.(2020陕西西安中学高一期中,)已知幂函数f(x)=(n2+2n-2)(n∈Z)的图象关于y轴对称,且在(0,+∞)上是减函数,则n的值为(　　)

A.1 B.2

C.1或2 D.1或-3

2.(2020河南八市重点高中联盟高一上学期月考,)已知幂函数y=(m∈Z)的图象如图所示,则m的值为(　　)

A.-2或0 B.-1

C.0 D.-2

题组二　幂函数的性质及其应用

3.(2019湖北天门、潜江高一月考,)函数f(x)=(m2-m-1)是幂函数,对任意x1,x2∈(0,+∞),且x1≠x2,满足>0,若a,b∈R,且f(a)+f(b)的值为负数,则下列结论可能成立的是(　　)

A.a+b>0,ab<0 B.a+b>0,ab>0

C.a+b<0,ab<0 D.以上都有可能

4.(2020内蒙古赤峰二中、呼市二中高三上学期联考,)若幂函数y=f(x)的图象过点(8,2),则函数f(x-1)-f 2(x)的最大值为(　　)

A. B.-

C.- D.-1

5.(2020陕西延安第一中学高一上学期期中,)设函数f(x)=,则对任意正实数x1≠x2,下列不等式总成立的是(　　)

A. f ≤

B. f

C. f ≥

D. f

6.(多选)()已知幂函数f(x)=(m,n∈N*,m,n互质),下列关于f(x)的结论正确的是(　　)

A.m,n是奇数时,幂函数f(x)是奇函数

B.m是偶数,n是奇数时,幂函数f(x)是偶函数

C.m是奇数,n是偶数时,幂函数f(x)是偶函数

D.0<<1时,幂函数f(x)在(0,+∞)上是减函数

7.(2019浙江绍兴检测,)已知幂函数f(x)=(m∈N)是偶函数,且在(0,+∞)上单调递减,求函数f(x)的解析式,并讨论g(x)=a的奇偶性.

8.(2020北师大盐城附属学校高一上学期月考,)已知幂函数f(x)=(2m2-6m+5)xm+1为偶函数.

(1)求f(x)的解析式;

(2)若函数g(x)=f(x)-2(a-1)x+1在区间(2,3)上为单调函数,求实数a的取值范围.

答案全解全析

第6章　幂函数、指数函数和对数函数

6.1　幂函数

基础过关练

1.C　幂函数是形如y=xα(α为常数)的函数,

①是α=-1的情形;②是α=2的情形;③是一次函数,不是幂函数;④是常数函数,不是幂函数;⑤中x2的系数是2,不是幂函数;⑥是α=-的情形.所以只有①②⑥是幂函数.故选C.

2.A　把x=2代入f(x)=,得f(2)=.故选A.

3.解析　(1)若y=f(x)是幂函数,则m2-m-1=1,即m2-m-2=0,解得m=2或m=-1.

(2)若y=f(x)是正比例函数,则-5m-3=1,

解得m=-,此时m2-m-1≠0,

故m=-.

(3)若y=f(x)是反比例函数,则-5m-3=-1,

解得m=-,此时m2-m-1≠0,

故m=-.

(4)若y=f(x)是二次函数,则-5m-3=2,解得m=-1,此时m2-m-1≠0,故m=-1.

4.B　因为f(x)=2kxm为幂函数,所以2k=1,解得k=,又因为f(x)=2kxm的图象过点(,4),所以()m=4,解得m=4,故k+m=.故选B.

5.C　函数y=,则满足x5≥0,解得x≥0,即函数的定义域为[0,+∞),故排除A、B.由>1及幂函数的性质,可得选项C符合题意.故选C.

6.A　解法一:在(0,1)内作直线x=x0,与四条曲线相交,由幂函数在(0,1)内的图象特征,即指大图低可知C1,C2,C3,C4对应的n值依次为2,,-2,故选A.

解法二:因为曲线C1,C2过点(0,0),(1,1),且在第一象限内为增函数,所以n>0,当x=时,,所以曲线C1对应函数y=x2,曲线C2对应函数y=.

因为曲线C3,C4过点(1,1),且在第一象限内为减函数,所以n<0,当x=2时,>2-2,所以曲线C3对应函数y=,曲线C4对应函数y=x-2.故选A.

7.答案　y=;4

解析　设函数f(x)=xm,则f(3)=3m=,解得m=,所以f(x)=.

由f(a)==2,得a=4.

8.D　由已知得

⇒⇒m=3.故选D.

9.A　因为函数f(x)是幂函数,

所以m2-m-1=1,解得m=2或m=-1.

当m=2时, f(x)=x2,在(0,+∞)上不是减函数,舍去.

当m=-1时, f(x)=x-1,在(0,+∞)上是减函数.故选A.

10.C　因为幂函数y=xα的图象过点(0,0),(1,1),所以α>0,故排除选项B;

对于选项A,定义域为[0,+∞),不关于原点对称,故不是偶函数;

对于选项C,令x=-x,则(-x)4=x4,是偶函数;

对于选项D,(-x,是奇函数.

故选C.

11.C　∵函数y=x-2在第一象限是减函数,

∴函数y=x-2在区间上的最大值是f=4.

故选C.

12.解析　(1)设f(x)=xα(α为常数),因为函数f(x)的图象过点(2,),所以=2α,解得α=.

故f(x)的解析式为y=.

(2)证明:任取x1,x2∈[0,+∞),且x1<x2,

则f(x1)-f(x2)=

=

=.

因为x1,x2∈[0,+∞),且x1<x2,

所以x1-x2<0,>0,

所以f(x1)-f(x2)<0,

即f(x1)<f(x2),

所以f(x)在区间[0,+∞)上单调递增.

能力提升练

1.A　∵幂函数f(x)=(n2+2n-2)(n∈Z)的图象关于y轴对称,且在(0,+∞)上是减函数,

∴解得n=1.

故选A.

2.A　由题图得,幂函数在第一象限单调递减,所以m2+2m-3<0,解得-3<m<1,再由m∈Z可得,m=-2或m=-1或m=0.又由题图知该函数是奇函数,若m=-2,则m2+2m-3=-3,符合题意;若m=-1,则m2+2m-3=-4,不合题意;若m=0,则m2+2m-3=-3,符合题意,综上,m=-2或m=0.故选A.

3.C　由于函数f(x)为幂函数,所以m2-m-1=1,解得m=-1或m=2.当m=-1时,f(x)=;当m=2时,f(x)=x3.由于“对任意x1,x2∈(0,+∞),且x1≠x2,满足>0”,所以函数在(0,+∞)上为增函数,故f(x)=x3.所以f(-x)=-f(x),所以函数f(x)是单调递增的奇函数.又f(a)+f(b)<0,故可能成立的是a+b<0且ab<0,故选C.

4.C　设幂函数y=f(x)=xα,由图象过点(8,2),得8α=23α=2,解得α=,故f(x)=,所以f(x-1)-f 2(x)=-x.

令=t,则y=t-(1+t2)=-,t≥0,故当t=,即x=时,ymax=-.

故选C.

5.D　A.f≤,即≤,平方后化简得x1+x2≤2,再平方后化简得(x1-x2)2≤0,故A不成立;

B.f,得到(x1-x2)2<0,故B不成立;

C.f≥,得到(x1-x2)2≥0,又因为x1≠x2,所以等号不成立,故C不成立;

D.f,得到(x1-x2)2>0,因为x1≠x2,所以不等式成立.

故选D.

6.AB　f(x)=,当m,n是奇数时,幂函数f(x)是奇函数,故A中的结论正确;当m是偶数,n是奇数时,幂函数f(x)是偶函数,故B中的结论正确;当m是奇数,n是偶数时,幂函数f(x)在x<0时无意义,故C中的结论错误;当0<<1时,幂函数f(x)在(0,+∞)上是增函数,故D中的结论错误.故选AB.

7.解析　由f(x)=(m∈N)在(0,+∞)上单调递减,得(m-2)<0,

∴m<2.

∵m∈N,

∴m=0或m=1.

∵f(x)是偶函数,

∴只有当m=0时符合题意,故f(x)=.

于是g(x)=,且g(x)的定义域为(-∞,0)∪(0,+∞),关于原点对称.

∴当a≠0且b≠0时,g(x)既不是奇函数,也不是偶函数;

当a=0且b≠0时,g(x)为奇函数;

当a≠0且b=0时,g(x)为偶函数;

当a=0且b=0时,g(x)既是奇函数,又是偶函数.

8.解析　(1)由f(x)为幂函数知2m2-6m+5=1,即m2-3m+2=0,解得m=1或m=2,

当m=1时,f(x)=x2,是偶函数,符合题意;

当m=2时,f(x)=x3,是奇函数,不合题意,舍去.故f(x)=x2.

(2)由(1)得g(x)=f(x)-2(a-1)x+1=x2-2(a-1)x+1,则函数g(x)的图象的对称轴为直线x=a-1.

由函数g(x)在区间(2,3)上为单调函数,得a-1≤2或a-1≥3,解得a≤3或a≥4,故实数a的取值范围为a≤3或a≥4.