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- 6.1 幂函数练习题 试卷 5 次下载
- 6.2 指数函数练习题 试卷 6 次下载
- 专题强化练7 指数型函数与对数型函数的性质及应用 试卷 4 次下载
- 第6章 幂函数、指数函数和对数函数复习提升 试卷 试卷 7 次下载
- 第6章 幂函数、指数函数和对数函数达标检测 试卷 7 次下载
高中数学苏教版 (2019)必修 第一册6.3 对数函数精练
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这是一份高中数学苏教版 (2019)必修 第一册6.3 对数函数精练，共22页。试卷主要包含了下列函数为对数函数的是等内容，欢迎下载使用。
6.3 对数函数
基础过关练
题组一 对数函数的概念
1.下列函数为对数函数的是( )
A.y=loga(2x) B.y=log22x
C.y=log2x+1 D.y=lg x
2.若函数f(x)=logax+(a2-4a-5)是对数函数,则实数a= .
3.已知f(x)为对数函数, f12=-2,则f(34)= .
题组二 对数及对数型函数的图象及简单应用
4.函数f(x)=loga(2x-3)-4(a>0,a≠1)的图象恒过定点( )
A.(1,0) B.(1,4)
C.(2,0) D.(2,-4)
5.已知lg a+lg b=0(a>0,b>0,a≠1,b≠1),则函数f(x)=ax与函数g(x)=-logbx的图象可能是( )
6.如图所示的是对数函数y=logax(a>0,a≠1)的图象,已知a的值可取2,32,34,15,则曲线C1,C2,C3,C4相对应的a值依次为( )
A.34,15,2,32 B.15,34,32,2
C.32,2,15,34 D.15,34,2,32
题组三 反函数
7.(2019江苏苏州实验中学高一上学期期中考试)下列与函数y=log2x的图象关于直线y=x对称的图象对应的函数解析式是( )
A.y=2x B.y=-2x
C.y=log2(-x) D.y=-log2x
8.(2020陕西渭南临渭尚德中学高一上学期期中)函数y=f(x)的图象与函数y=5x(x∈R)的图象关于直线y=x对称,则f(x)= .
9.(2020陕西安康汉滨高一上学期月考)若函数y=loga(2x-3)+22 的图象过定点(m,n),则函数y=lognx的反函数是 .
题组四 对数函数的图象变换
10.(2018山西运城康杰中学高一期中)函数y=loga(-x)(a>0且a≠1)与函数y=ax(a>0且a≠1)在同一平面直角坐标系内的图象可能是( )
11.(2019江苏临泽中学高一上学期期中考试)已知函数y=lg x的图象C,作图象C关于直线y=x的对称图象C1,将图象C1向左平移3个单位后再向下平移2个单位得到图象C2,若图象C2所对应的函数为f(x),则f(-3)= .
题组五 对数及对数型函数的性质及应用
12.(2019江苏江阴四校高一上学期期中)函数f(x)=lg(x-1)+4-x的定义域为( )
A.(1,4] B.(1,4)
C.[1,4] D.[1,4)
13.(2019江苏启东中学高一上学期月考)函数f(x)=log12(x2-2x-3)的单调递减区间是( )
A.(3,+∞) B.(1,+∞)
C.(-∞,1) D.(-∞,-1)
14.(2020江苏淮安高中校协作体高一上学期期中)已知loga23<1(a>0,a≠1),则a的取值范围为( )
A.1,32 B.23,1
C.(0,1)∪1,32 D.0,23∪(1,+∞)
15.(2019甘肃镇原中学高一上学期期中考试)若函数f(x)=logax(0
16.(2019江苏淮阴中学高一上学期期中考试)已知a=21.2,b=12-0.8,c=log123,则a,b,c的大小关系为 .(用“<”连接)
17.函数f(x)=log2(3x+1)的值域为 .
18.(2018南京外国语学校高一期中考试)关于x的不等式log3(x2-2x)>1的解集为 .
19.(2019河南新乡高一上学期期中)已知函数f(x)=log2(x2+a-x)是定义在R上的奇函数,则f34= .
20.(2019北师大实验中学高一期中)设函数f(x)=x2-x+m,且f(log2a)=m,log2 f(a)=2(a≠1).
(1)求a,m的值;
(2)求f(log2x)的最小值及对应的x的值.
21.(2019江苏泰兴第一高级中学高一上学期期中考试)设函数f(x)=loga1+12x,g(x)=loga1-12x(a>0且a≠1),若h(x)=f(x)-g(x).
(1)求函数h(x)的定义域;
(2)判断h(x)的奇偶性,并说明理由;
(3)若f(2)=1,求使h(x)>0成立的x的取值集合.
能力提升练
题组一 对数及对数型函数图象的应用
1.(2019江苏海门中学高一上学期期中,)已知函数f(x)=-x2+2,g(x)=log2|x|,则函数F(x)=f(x)g(x)的图象大致为( )
2.()已知函数f(x)=loga(3x+b-1)(a>0,a≠1)的图象如图所示,则下列关系式正确的是( )
A.0
①a
(1)当a=2,b=4,c=3时,求实数m的值;
(2)当b=a2时,求mb-2ca的最小值.
题组二 对数及对数型函数性质的应用
5.(2020江苏盐城射阳高一上学期联考,)若a=log13π,b=log3π,c=log4π,则( )
A.a
A.0,12 B.12,1∪(2,+∞)
C.(2,+∞) D.0,12∪(2,+∞)
7.(2019吉林省实验中学高一上学期期中考试,)设f(x)=(1-2a)x,x≤1,logax+13,x>1,若存在x1,x2∈R,x1 ≠x2,使得f(x1)=f(x2)成立,则实数a的取值范围是( )
A.0,13 B.13,12
C.0,12 D.14,13
8.(2019江苏扬州中学高一上学期月考,)已知函数f(x)=2×4x-a2x的图象关于原点对称,g(x)=ln(ex+1)-bx是偶函数,则logab=( )
A.1 B.-12
C.-1 D.14
9.()f(x)=|log2x|,02,若a、b、c互不相等,且f(a)=f(b)=f(c),则abc的取值范围是( )
A.(0,1) B.(0,2)
C.(1,2) D.(2,4)
10.(多选)(2020山东师范大学附属中学高三月考,)若函数f(x)的定义域为D,∀x∈D,∃y∈D,使得f(y)=-f(x)成立,则称f(x)为“美丽函数”.下列给出的函数中为“美丽函数”的是( )
A.y=x2 B.y=1x-1
C.y=ln(2x+3) D.y=2x+3
11.(多选)()已知函数f(x)=lg(x2+ax-a-1),给出下列论述,其中正确的是( )
A.当a=0时,f(x)的定义域为(-∞,-1)∪(1,+∞)
B.f(x)一定有最小值
C.当a=0时,f(x)的值域为R
D.若f(x)在区间[2,+∞)上单调递增,则实数a的取值范围是{a|a≥-4}
12.(2020山东泰安宁阳第一中学高一月考,)如果函数f(x)=(3a-1)x+4a,x<1,logax,x≥1在R上单调递减,那么a的取值范围是 .
13.(2019广东珠海第一学期期末,)已知函数f(x)=loga(2x-a)在区间23,34上恒有f(x)>0,则实数a的取值范围是 .
14.(2019江苏南通高级中学高一上学期期中,)设函数f(x)的定义域为D,若函数f(x)满足条件:存在[a,b]⊆D,使f(x)在[a,b]上的值域为a2,b2,则称f(x)为“倍缩函数”,若函数f(x)=log2(2x+t)为“倍缩函数”,则实数t的取值范围是 .
15.(2020河北承德第一中学高一上学期月考,)已知函数f(x)=log12(x2-mx-m).
(1)若m=1,求函数f(x)的定义域;
(2)若函数f(x)的值域为R,求实数m的取值范围;
(3)若函数f(x)在区间(-∞,1-3)上是增函数,求实数m的取值范围.
16.(2020浙江宁波北仑中学高一上学期期中,)已知a∈R,f(x)=log2(1+ax).
(1)若a<0,求f(x2)的值域;
(2)若关于x的方程f(x)-log2[(a-4)x2+(2a-5)x]=0的解集中恰有一个元素,求实数a的取值范围;
(3)当a>0时,对任意的t∈13,+∞,f(x2)在[t,t+1]上的最大值与最小值的差不超过2,求a的取值范围.
答案全解全析
6.3 对数函数
基础过关练
1.D 选项A,B,C中的函数都不具有y=logax(a>0,a≠1)的形式,只有选项D中的函数符合.
2.答案 5
解析 由对数函数的定义可知,a2-4a-5=0,a>0,a≠1,
解得a=5.
3.答案 43
解析 设f(x)=logax(a>0,a≠1),则loga12=-2,∴1a2=12,解得a=2,∴f(x)=log2x,∴f(34)=log234=log2243=43.
4.D 令2x-3=1,得x=2,此时f(2)=loga1-4=-4,故函数f(x)的图象恒过定点(2,-4).故选D.
5.B ∵lg a+lg b=0(a>0,b>0,a≠1,b≠1),∴ab=1,∴b=1a,∴g(x)=-logbx=-log1ax=logax,∴函数f(x)=ax与函数g(x)=-logbx=logax的图象关于直线y=x对称,故选B.
6.B 当a>1时,图象单调递增,当0
8.答案 log5x,x>0
解析 因为同底的指数函数和对数函数互为反函数,并且互为反函数的两个函数图象关于直线y=x对称,所以f(x)=log5x,x>0.
9.答案 y=22x
解析 ∵对数函数y=logax(a>0,a≠1)过定点(1,0),∴函数y=loga(2x-3)+22过定点2,22,∴n=22,∴函数y=lognx的反函数是y=22x.
10.A 当01时,y=ax和y=logax均为增函数,而y=loga(-x)的图象和y=logax的图象关于y轴对称,结合选项可得A符合.
11.答案 -1
解析 函数y=lg x的图象C关于直线y=x的对称图象C1对应的函数为y=10x,将图象C1向左平移3个单位后再向下平移2个单位得到图象C2,则C2对应的函数为f(x)=10x+3-2,故f(-3)=1-2=-1.
12.A 要使函数有意义,需满足x-1>0,4-x≥0,
解得1
14.D 由题意知loga23<1=logaa,
当a>1时,231;
当0
故选D.
15.A 因为函数f(x)=logax(0
解析 ∵3x>0,∴3x+1>1,∴log2(3x+1)>0,∴函数f(x)的值域为(0,+∞).
18.答案 (-∞,-1)∪(3,+∞)
解析 由题意得x2-2x>3,解得x<-1或x>3,故原不等式的解集为(-∞,-1)∪(3,+∞).
19.答案 -1
解析 因为函数f(x)=log2(x2+a-x)是定义在R上的奇函数,所以f(0)=log2a=0,解得a=1.
故f34=log2(34) 2+1-34=log212=-1.
20.解析 (1)∵f(log2a)=(log2a)2-log2a+m=m(a≠1),
∴log2a(log2a-1)=0,∴a=1(舍去)或a=2,
∴log2f(a)=log2f(2)=log2(m+2)=2,
∴m=2.
综上,a=2,m=2.
(2)由(1)得f(x)=x2-x+2=x-122+74.
当x=12时,f(x)取得最小值74,
∴log2x=12时,f(log2x)取得最小值.
∴x=2时,f(log2x)取得最小值,最小值为74.
21.解析 (1)由1+12x>0且1-12x>0,得-2
∵x∈(-2,2),∴-x∈(-2,2).
∵h(-x)=f(-x)-g(-x)=loga1-12x-loga1+12x=g(x)-f(x)=-h(x),且h(x)的定义域关于原点对称,∴h(x)为奇函数.
(3)由f(2)=1,得a=2,此时h(x)=log21+12x-log21-12x,
由h(x)>0得1+12x>1-12x,∴x>0,又由(1)知-2
1.B 由题意得,函数f(x)、g(x)均为偶函数,∴函数F(x)=f(x)g(x)为偶函数,其图象关于y轴对称,排除A、D.当x>2时,f(x)=-x2+2<0,g(x)=log2|x|>0,则F(x)<0,排除C,故选B.
2.A 由题图可得a>1,则0
结合题图可得-1
所以0
解析 在同一平面直角坐标系中分别作出函数y=2x,y=12x,y=log2x,y=log12x的图象,如图所示.
由题意及图可知,函数y=2x与y=log12x图象交点的横坐标为a,y=12x与y=log12x图象交点的横坐标为b,y=12x与y=log2x图象交点的横坐标为c,从图象可以看出a
因为AC与x轴平行,所以logm4=log32,所以m=9.
(2)由题意得A(a,logca),B(b,logcb),
C(b,logmb).
因为AC与x轴平行,所以logmb=logca,
因为b=a2,所以m=c2,
所以mb-2ca=c2a2-2ca=ca-12-1,
所以当ca=1时,mb-2ca取得最小值-1.
5.A 由已知得a=log13π1logπ4,即b>c,
所以a
6.D ∵当x∈[0,+∞)时,f(x)=2x-2,
∴f(1)=0,
又∵当x∈[0,+∞)时,f(x)为增函数,且f(x)在R上为偶函数,
∴当f(x)>0时,x>1或x<-1,故原不等式等价于log2x>1或log2x<-1,解得x>2或0
∴1-2a>0,1-2a≠1,a>0,a≠1,
∴0
∵存在x1,x2∈R,x1≠x2,使得f(x1)=f(x2)成立,不妨设x1≤1,x2>1,
∴(1-2a)x1=logax2+13,
∵(1-2a)x1≥1-2a,logax2+13<13,
∴1-2a<13,∴a>13.
故实数a的取值范围是13,12.
8.C 若函数f(x)=2×4x-a2x=2·2x-a2x的图象关于原点对称,则f(-x)=-f(x),即2·12x-a·2x=a2x-2·2x,解得a=2.因为g(x)是偶函数,所以g(-x)=ln(e-x+1)+bx=lnex+1ex+bx=ln(ex+1)+(b-1)x=ln(ex+1)-bx,解得b=12,
所以logab=log212=-1.
9.D 作出函数f(x)=|log2x|,02的图象如图:
不妨设a
所以ab=1,
又由图象可知2
10.BCD 由题意知,函数f(x)的值域关于原点对称.
对于A,函数y=x2的值域为[0,+∞),不关于原点对称,不符合题意;
对于B,函数y=1x-1的值域为(-∞,0)∪(0,+∞),关于原点对称,符合题意;
对于C,函数y=ln(2x+3)的值域为R,关于原点对称,符合题意;
对于D,函数y=2x+3的值域为R,关于原点对称,符合题意.
故选BCD.
11.AC 对于A,当a=0时,由x2-1>0得x∈(-∞,-1)∪(1,+∞),故A正确;
对于B,当a=0时, f(x)=lg(x2-1),所以x∈(-∞,-1)∪(1,+∞),x2-1∈(0,+∞),
所以f(x)=lg(x2-1)的值域为R,故B错误,C正确;
对于D,y=x2+ax-a-1图象的对称轴为直线x=-a2,若f(x)在区间[2,+∞)上单调递增,则-a2≤2,解得a≥-4.当a=-4时,f(x)=lg(x2-4x+3)在x=2处无意义,故D错误.
故选AC.
12.答案 17,13
解析 因为函数f(x)=(3a-1)x+4a,x<1,logax,x≥1在R上单调递减,
所以3a-1<0,0
13.答案 12,1
解析 函数f(x)=loga(2x-a)在区间23,34上恒有f(x)>0,等价于在区间23,34上f(x)min>0.
当a>1时,f(x)在R上单调递增,则f23>0,即2×23-a>1,解得a<13,不合题意;
当00,即2×34-a<1,解得a>12,所以12
14.答案 0,14
解析 ∵函数f(x)=log2(2x+t)为“倍缩函数”,∴存在[a,b]⊆D,使f(x)在[a,b]上的值域为a2,b2,∴f(x)在[a,b]上是增函数,∴log2(2a+t)=a2,log2(2b+t)=b2,
即2a+t=2a2,2b+t=2b2,
∴方程2x-2x2+t=0,且有两个不相等的实数根,设2x2=m(m>0),则m2-m+t=0,且有两个大于零的不相等的实数根,
∴Δ=1-4t>0,m1+m2>0,m1m2=t>0,解得0
故函数f(x)的定义域为-∞,1-52∪1+52,+∞.
(2)∵函数f(x)的值域为R,
∴x2-mx-m>0对一切正实数均成立,
∴Δ=m2+4m≥0,即m∈(-∞,-4]∪[0,+∞),
∴实数m的取值范围为(-∞,-4]∪[0,+∞).
(3)若函数f(x)在区间(-∞,1-3)上是增函数,则根据复合函数的同增异减原则,
得t=x2-mx-m在区间(-∞,1-3)上是减函数,且x2-mx-m>0在区间(-∞,1-3)上恒成立,故m2≥1-3,且(1-3)2-m(1-3)-m≥0,
即m≥2-23且m≤2,
∴m∈[2-23,2].
16.解析 (1)f(x2)=log2(1+ax2),当a<0时,0<1+ax2≤1,故f(x2)∈(-∞,0],即f(x2)的值域为(-∞,0].
(2)由题意得log2(1+ax)=log2[(a-4)x2+(2a-5)x],
则1+ax=(a-4)x2+(2a-5)x,1+ax>0,
即(a-4)x2+(a-5)x-1=0.
当a=4时,x=-1,不符合1+ax>0.
当Δ=0,即a=3时,x=-1,也不符合1+ax>0.
当a≠4且a≠3时,方程的解为x1=1a-4,x2=-1,
若x1是方程的解,
需1+aa-4>0,解得a>4或a<2,
若x2是方程的解,需1-a>0,即a<1.
综上,a∈[1,2)∪(4,+∞).
(3)∵当a>0时,对任意的t∈13,+∞,f(x2)在[t,t+1]上单调递增,
∴f[(t+1)2]-f(t2)=log2[1+a(t+1)2]-log2(1+at2)≤2,
即1+a(t+1)21+at2≤4,整理得a(3t2-2t-1)+3≥0,
又∵t∈13,+∞,
∴3t2-2t-1∈-43,+∞,
∴-43a+3≥0,解得a≤94,
∴a的取值范围是0,94.
6.3 对数函数
基础过关练
题组一 对数函数的概念
1.下列函数为对数函数的是( )
A.y=loga(2x) B.y=log22x
C.y=log2x+1 D.y=lg x
2.若函数f(x)=logax+(a2-4a-5)是对数函数,则实数a= .
3.已知f(x)为对数函数, f12=-2,则f(34)= .
题组二 对数及对数型函数的图象及简单应用
4.函数f(x)=loga(2x-3)-4(a>0,a≠1)的图象恒过定点( )
A.(1,0) B.(1,4)
C.(2,0) D.(2,-4)
5.已知lg a+lg b=0(a>0,b>0,a≠1,b≠1),则函数f(x)=ax与函数g(x)=-logbx的图象可能是( )
6.如图所示的是对数函数y=logax(a>0,a≠1)的图象,已知a的值可取2,32,34,15,则曲线C1,C2,C3,C4相对应的a值依次为( )
A.34,15,2,32 B.15,34,32,2
C.32,2,15,34 D.15,34,2,32
题组三 反函数
7.(2019江苏苏州实验中学高一上学期期中考试)下列与函数y=log2x的图象关于直线y=x对称的图象对应的函数解析式是( )
A.y=2x B.y=-2x
C.y=log2(-x) D.y=-log2x
8.(2020陕西渭南临渭尚德中学高一上学期期中)函数y=f(x)的图象与函数y=5x(x∈R)的图象关于直线y=x对称,则f(x)= .
9.(2020陕西安康汉滨高一上学期月考)若函数y=loga(2x-3)+22 的图象过定点(m,n),则函数y=lognx的反函数是 .
题组四 对数函数的图象变换
10.(2018山西运城康杰中学高一期中)函数y=loga(-x)(a>0且a≠1)与函数y=ax(a>0且a≠1)在同一平面直角坐标系内的图象可能是( )
11.(2019江苏临泽中学高一上学期期中考试)已知函数y=lg x的图象C,作图象C关于直线y=x的对称图象C1,将图象C1向左平移3个单位后再向下平移2个单位得到图象C2,若图象C2所对应的函数为f(x),则f(-3)= .
题组五 对数及对数型函数的性质及应用
12.(2019江苏江阴四校高一上学期期中)函数f(x)=lg(x-1)+4-x的定义域为( )
A.(1,4] B.(1,4)
C.[1,4] D.[1,4)
13.(2019江苏启东中学高一上学期月考)函数f(x)=log12(x2-2x-3)的单调递减区间是( )
A.(3,+∞) B.(1,+∞)
C.(-∞,1) D.(-∞,-1)
14.(2020江苏淮安高中校协作体高一上学期期中)已知loga23<1(a>0,a≠1),则a的取值范围为( )
A.1,32 B.23,1
C.(0,1)∪1,32 D.0,23∪(1,+∞)
15.(2019甘肃镇原中学高一上学期期中考试)若函数f(x)=logax(0
16.(2019江苏淮阴中学高一上学期期中考试)已知a=21.2,b=12-0.8,c=log123,则a,b,c的大小关系为 .(用“<”连接)
17.函数f(x)=log2(3x+1)的值域为 .
18.(2018南京外国语学校高一期中考试)关于x的不等式log3(x2-2x)>1的解集为 .
19.(2019河南新乡高一上学期期中)已知函数f(x)=log2(x2+a-x)是定义在R上的奇函数,则f34= .
20.(2019北师大实验中学高一期中)设函数f(x)=x2-x+m,且f(log2a)=m,log2 f(a)=2(a≠1).
(1)求a,m的值;
(2)求f(log2x)的最小值及对应的x的值.
21.(2019江苏泰兴第一高级中学高一上学期期中考试)设函数f(x)=loga1+12x,g(x)=loga1-12x(a>0且a≠1),若h(x)=f(x)-g(x).
(1)求函数h(x)的定义域;
(2)判断h(x)的奇偶性,并说明理由;
(3)若f(2)=1,求使h(x)>0成立的x的取值集合.
能力提升练
题组一 对数及对数型函数图象的应用
1.(2019江苏海门中学高一上学期期中,)已知函数f(x)=-x2+2,g(x)=log2|x|,则函数F(x)=f(x)g(x)的图象大致为( )
2.()已知函数f(x)=loga(3x+b-1)(a>0,a≠1)的图象如图所示,则下列关系式正确的是( )
A.0
①a
(1)当a=2,b=4,c=3时,求实数m的值;
(2)当b=a2时,求mb-2ca的最小值.
题组二 对数及对数型函数性质的应用
5.(2020江苏盐城射阳高一上学期联考,)若a=log13π,b=log3π,c=log4π,则( )
A.a
A.0,12 B.12,1∪(2,+∞)
C.(2,+∞) D.0,12∪(2,+∞)
7.(2019吉林省实验中学高一上学期期中考试,)设f(x)=(1-2a)x,x≤1,logax+13,x>1,若存在x1,x2∈R,x1 ≠x2,使得f(x1)=f(x2)成立,则实数a的取值范围是( )
A.0,13 B.13,12
C.0,12 D.14,13
8.(2019江苏扬州中学高一上学期月考,)已知函数f(x)=2×4x-a2x的图象关于原点对称,g(x)=ln(ex+1)-bx是偶函数,则logab=( )
A.1 B.-12
C.-1 D.14
9.()f(x)=|log2x|,0
A.(0,1) B.(0,2)
C.(1,2) D.(2,4)
10.(多选)(2020山东师范大学附属中学高三月考,)若函数f(x)的定义域为D,∀x∈D,∃y∈D,使得f(y)=-f(x)成立,则称f(x)为“美丽函数”.下列给出的函数中为“美丽函数”的是( )
A.y=x2 B.y=1x-1
C.y=ln(2x+3) D.y=2x+3
11.(多选)()已知函数f(x)=lg(x2+ax-a-1),给出下列论述,其中正确的是( )
A.当a=0时,f(x)的定义域为(-∞,-1)∪(1,+∞)
B.f(x)一定有最小值
C.当a=0时,f(x)的值域为R
D.若f(x)在区间[2,+∞)上单调递增,则实数a的取值范围是{a|a≥-4}
12.(2020山东泰安宁阳第一中学高一月考,)如果函数f(x)=(3a-1)x+4a,x<1,logax,x≥1在R上单调递减,那么a的取值范围是 .
13.(2019广东珠海第一学期期末,)已知函数f(x)=loga(2x-a)在区间23,34上恒有f(x)>0,则实数a的取值范围是 .
14.(2019江苏南通高级中学高一上学期期中,)设函数f(x)的定义域为D,若函数f(x)满足条件:存在[a,b]⊆D,使f(x)在[a,b]上的值域为a2,b2,则称f(x)为“倍缩函数”,若函数f(x)=log2(2x+t)为“倍缩函数”,则实数t的取值范围是 .
15.(2020河北承德第一中学高一上学期月考,)已知函数f(x)=log12(x2-mx-m).
(1)若m=1,求函数f(x)的定义域;
(2)若函数f(x)的值域为R,求实数m的取值范围;
(3)若函数f(x)在区间(-∞,1-3)上是增函数,求实数m的取值范围.
16.(2020浙江宁波北仑中学高一上学期期中,)已知a∈R,f(x)=log2(1+ax).
(1)若a<0,求f(x2)的值域;
(2)若关于x的方程f(x)-log2[(a-4)x2+(2a-5)x]=0的解集中恰有一个元素,求实数a的取值范围;
(3)当a>0时,对任意的t∈13,+∞,f(x2)在[t,t+1]上的最大值与最小值的差不超过2,求a的取值范围.
答案全解全析
6.3 对数函数
基础过关练
1.D 选项A,B,C中的函数都不具有y=logax(a>0,a≠1)的形式,只有选项D中的函数符合.
2.答案 5
解析 由对数函数的定义可知,a2-4a-5=0,a>0,a≠1,
解得a=5.
3.答案 43
解析 设f(x)=logax(a>0,a≠1),则loga12=-2,∴1a2=12,解得a=2,∴f(x)=log2x,∴f(34)=log234=log2243=43.
4.D 令2x-3=1,得x=2,此时f(2)=loga1-4=-4,故函数f(x)的图象恒过定点(2,-4).故选D.
5.B ∵lg a+lg b=0(a>0,b>0,a≠1,b≠1),∴ab=1,∴b=1a,∴g(x)=-logbx=-log1ax=logax,∴函数f(x)=ax与函数g(x)=-logbx=logax的图象关于直线y=x对称,故选B.
6.B 当a>1时,图象单调递增,当0
8.答案 log5x,x>0
解析 因为同底的指数函数和对数函数互为反函数,并且互为反函数的两个函数图象关于直线y=x对称,所以f(x)=log5x,x>0.
9.答案 y=22x
解析 ∵对数函数y=logax(a>0,a≠1)过定点(1,0),∴函数y=loga(2x-3)+22过定点2,22,∴n=22,∴函数y=lognx的反函数是y=22x.
10.A 当0
11.答案 -1
解析 函数y=lg x的图象C关于直线y=x的对称图象C1对应的函数为y=10x,将图象C1向左平移3个单位后再向下平移2个单位得到图象C2,则C2对应的函数为f(x)=10x+3-2,故f(-3)=1-2=-1.
12.A 要使函数有意义,需满足x-1>0,4-x≥0,
解得1
14.D 由题意知loga23<1=logaa,
当a>1时,23
当0
故选D.
15.A 因为函数f(x)=logax(0
解析 ∵3x>0,∴3x+1>1,∴log2(3x+1)>0,∴函数f(x)的值域为(0,+∞).
18.答案 (-∞,-1)∪(3,+∞)
解析 由题意得x2-2x>3,解得x<-1或x>3,故原不等式的解集为(-∞,-1)∪(3,+∞).
19.答案 -1
解析 因为函数f(x)=log2(x2+a-x)是定义在R上的奇函数,所以f(0)=log2a=0,解得a=1.
故f34=log2(34) 2+1-34=log212=-1.
20.解析 (1)∵f(log2a)=(log2a)2-log2a+m=m(a≠1),
∴log2a(log2a-1)=0,∴a=1(舍去)或a=2,
∴log2f(a)=log2f(2)=log2(m+2)=2,
∴m=2.
综上,a=2,m=2.
(2)由(1)得f(x)=x2-x+2=x-122+74.
当x=12时,f(x)取得最小值74,
∴log2x=12时,f(log2x)取得最小值.
∴x=2时,f(log2x)取得最小值,最小值为74.
21.解析 (1)由1+12x>0且1-12x>0,得-2
∵x∈(-2,2),∴-x∈(-2,2).
∵h(-x)=f(-x)-g(-x)=loga1-12x-loga1+12x=g(x)-f(x)=-h(x),且h(x)的定义域关于原点对称,∴h(x)为奇函数.
(3)由f(2)=1,得a=2,此时h(x)=log21+12x-log21-12x,
由h(x)>0得1+12x>1-12x,∴x>0,又由(1)知-2
1.B 由题意得,函数f(x)、g(x)均为偶函数,∴函数F(x)=f(x)g(x)为偶函数,其图象关于y轴对称,排除A、D.当x>2时,f(x)=-x2+2<0,g(x)=log2|x|>0,则F(x)<0,排除C,故选B.
2.A 由题图可得a>1,则0
结合题图可得-1
所以0
解析 在同一平面直角坐标系中分别作出函数y=2x,y=12x,y=log2x,y=log12x的图象,如图所示.
由题意及图可知,函数y=2x与y=log12x图象交点的横坐标为a,y=12x与y=log12x图象交点的横坐标为b,y=12x与y=log2x图象交点的横坐标为c,从图象可以看出a
因为AC与x轴平行,所以logm4=log32,所以m=9.
(2)由题意得A(a,logca),B(b,logcb),
C(b,logmb).
因为AC与x轴平行,所以logmb=logca,
因为b=a2,所以m=c2,
所以mb-2ca=c2a2-2ca=ca-12-1,
所以当ca=1时,mb-2ca取得最小值-1.
5.A 由已知得a=log13π
所以a
6.D ∵当x∈[0,+∞)时,f(x)=2x-2,
∴f(1)=0,
又∵当x∈[0,+∞)时,f(x)为增函数,且f(x)在R上为偶函数,
∴当f(x)>0时,x>1或x<-1,故原不等式等价于log2x>1或log2x<-1,解得x>2或0
∴1-2a>0,1-2a≠1,a>0,a≠1,
∴0
∵存在x1,x2∈R,x1≠x2,使得f(x1)=f(x2)成立,不妨设x1≤1,x2>1,
∴(1-2a)x1=logax2+13,
∵(1-2a)x1≥1-2a,logax2+13<13,
∴1-2a<13,∴a>13.
故实数a的取值范围是13,12.
8.C 若函数f(x)=2×4x-a2x=2·2x-a2x的图象关于原点对称,则f(-x)=-f(x),即2·12x-a·2x=a2x-2·2x,解得a=2.因为g(x)是偶函数,所以g(-x)=ln(e-x+1)+bx=lnex+1ex+bx=ln(ex+1)+(b-1)x=ln(ex+1)-bx,解得b=12,
所以logab=log212=-1.
9.D 作出函数f(x)=|log2x|,0
不妨设a
所以ab=1,
又由图象可知2
10.BCD 由题意知,函数f(x)的值域关于原点对称.
对于A,函数y=x2的值域为[0,+∞),不关于原点对称,不符合题意;
对于B,函数y=1x-1的值域为(-∞,0)∪(0,+∞),关于原点对称,符合题意;
对于C,函数y=ln(2x+3)的值域为R,关于原点对称,符合题意;
对于D,函数y=2x+3的值域为R,关于原点对称,符合题意.
故选BCD.
11.AC 对于A,当a=0时,由x2-1>0得x∈(-∞,-1)∪(1,+∞),故A正确;
对于B,当a=0时, f(x)=lg(x2-1),所以x∈(-∞,-1)∪(1,+∞),x2-1∈(0,+∞),
所以f(x)=lg(x2-1)的值域为R,故B错误,C正确;
对于D,y=x2+ax-a-1图象的对称轴为直线x=-a2,若f(x)在区间[2,+∞)上单调递增,则-a2≤2,解得a≥-4.当a=-4时,f(x)=lg(x2-4x+3)在x=2处无意义,故D错误.
故选AC.
12.答案 17,13
解析 因为函数f(x)=(3a-1)x+4a,x<1,logax,x≥1在R上单调递减,
所以3a-1<0,0
13.答案 12,1
解析 函数f(x)=loga(2x-a)在区间23,34上恒有f(x)>0,等价于在区间23,34上f(x)min>0.
当a>1时,f(x)在R上单调递增,则f23>0,即2×23-a>1,解得a<13,不合题意;
当0
14.答案 0,14
解析 ∵函数f(x)=log2(2x+t)为“倍缩函数”,∴存在[a,b]⊆D,使f(x)在[a,b]上的值域为a2,b2,∴f(x)在[a,b]上是增函数,∴log2(2a+t)=a2,log2(2b+t)=b2,
即2a+t=2a2,2b+t=2b2,
∴方程2x-2x2+t=0,且有两个不相等的实数根,设2x2=m(m>0),则m2-m+t=0,且有两个大于零的不相等的实数根,
∴Δ=1-4t>0,m1+m2>0,m1m2=t>0,解得0
故函数f(x)的定义域为-∞,1-52∪1+52,+∞.
(2)∵函数f(x)的值域为R,
∴x2-mx-m>0对一切正实数均成立,
∴Δ=m2+4m≥0,即m∈(-∞,-4]∪[0,+∞),
∴实数m的取值范围为(-∞,-4]∪[0,+∞).
(3)若函数f(x)在区间(-∞,1-3)上是增函数,则根据复合函数的同增异减原则,
得t=x2-mx-m在区间(-∞,1-3)上是减函数,且x2-mx-m>0在区间(-∞,1-3)上恒成立,故m2≥1-3,且(1-3)2-m(1-3)-m≥0,
即m≥2-23且m≤2,
∴m∈[2-23,2].
16.解析 (1)f(x2)=log2(1+ax2),当a<0时,0<1+ax2≤1,故f(x2)∈(-∞,0],即f(x2)的值域为(-∞,0].
(2)由题意得log2(1+ax)=log2[(a-4)x2+(2a-5)x],
则1+ax=(a-4)x2+(2a-5)x,1+ax>0,
即(a-4)x2+(a-5)x-1=0.
当a=4时,x=-1,不符合1+ax>0.
当Δ=0,即a=3时,x=-1,也不符合1+ax>0.
当a≠4且a≠3时,方程的解为x1=1a-4,x2=-1,
若x1是方程的解,
需1+aa-4>0,解得a>4或a<2,
若x2是方程的解,需1-a>0,即a<1.
综上,a∈[1,2)∪(4,+∞).
(3)∵当a>0时,对任意的t∈13,+∞,f(x2)在[t,t+1]上单调递增,
∴f[(t+1)2]-f(t2)=log2[1+a(t+1)2]-log2(1+at2)≤2,
即1+a(t+1)21+at2≤4,整理得a(3t2-2t-1)+3≥0,
又∵t∈13,+∞,
∴3t2-2t-1∈-43,+∞,
∴-43a+3≥0,解得a≤94,
∴a的取值范围是0,94.
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