高中数学苏教版 (2019)必修 第二册9.1 向量概念同步达标检测题

第9章　平面向量

9.1　向量概念

基础过关练

题组一　向量的概念及其几何表示

1.给出下列物理量:①密度;②温度;③速度;④质量;⑤功;⑥位移,下列说法正确的是(　　)　　　　　　　　　　　　　　　　　　

A.①②③是数量,④⑤⑥是向量

B.②④⑥是数量,①③⑤是向量

C.①④是数量,②③⑤⑥是向量

D.①②④⑤是数量,③⑥是向量

2.下列命题正确的个数是(　　)

(1)向量就是有向线段;

(2)零向量是没有方向的向量;

(3)设e1,e2是两个单位向量,则|e1|=|e2|;

(4)零向量的长度为0.

A.0 B.1 C.2 D.3

3.中国象棋中规定马走“日”,象走“田”.如图,在中国象棋的半个棋盘(4×8的矩形中每个小方格都是单位正方形)中,若马在A处,则可跳到A1处,也可跳到A2处,用向量,表示马走了“一步”.若马在B或C处,则以B,C为起点表示马走了“一步”的向量共有　　　　个.

题组二　相等向量与平行向量

4.(2020江苏苏州吴江中学高一上月考)下列命题中正确的个数是(　易错　)

①若向量与是共线向量,则A、B、C、D必在同一直线上;

②若向量a与向量b平行,则a,b方向相同或相反;

③若非零向量与是共线向量,则它们的夹角是0°或180°;

④若|a|=|b|,则a,b是相等向量或相反向量.

A.0 B.1

C.2 D.3

5.下列说法正确的个数是(　　)

①若向量a,b共线,向量b,c共线,则a与c也共线;

②任意两个相等的非零向量的起点与终点是一平行四边形的四个顶点;

③向量a与b不共线,则a与b都是非零向量;

④若向量a=b,b=c,则a=c.

A.1 B.2

C.3 D.4

6.若||=||,且=,则四边形ABCD为(　　)

A.平行四边形 B.矩形

C.菱形 D.等腰梯形

7.设a0,b0分别是与a,b同向的单位向量,则(　　)

A.a0=b0 B.a0=-b0

C.|a0|+|b0|=2 D.a0∥b0

8.如图,设O是正方形ABCD的中心,则向量,是(　　)

A.相等向量 B.共线向量

C.有相同起点的向量 D.垂直的向量

9.在如图所示的方格纸(每个小方格的边长为1)上,已知向量a.

(1)试以B为起点画一个向量b,使a=b;

(2)画一个以C为起点的向量c,使|c|=2,并说出c的终点的集合构成的图形是什么.

10.如图所示,在△ABC中,AB=AC,AB≠BC,D,E,F分别是BC,AC,AB的中点.

(1)写出与共线的向量;

(2)写出与的模相等的向量;

(3)写出与相等的向量;

(4)写出与垂直的向量.

深度解析

能力提升练

题组一　向量的概念及其几何表示

1.()汽车以120 km/h的速度向西走了2 h,摩托车以45 km/h的速度向东北方向走了2 h,则下列命题中正确的是(　　)　　　　　　　　　　　　　　　　　　

A.汽车的速度大于摩托车的速度

B.汽车的位移大于摩托车的位移

C.汽车走的路程大于摩托车走的路程

D.以上都不对

2.(2019福建龙岩高一月考,)在同一平面内,把所有表示模不小于1,不大于2的向量的有向线段的起点移到同一点O,则这些有向线段的终点的集合所构成的图形的面积等于　　　　.

3.(2020苏北四市高一模拟,)一辆汽车从A点出发向西行驶了100 km到达B点,然后向北偏西40°方向行驶了200 km 到达C点,最后向东行驶了100 km到达D点.

(1)作出向量,,;

(2)求||.

4.()如图所示的方格纸由若干个边长为1的小正方形拼在一起组成,方格纸中有两个定点A,B,点C为小正方形的顶点,且||=.

(1)画出所有的向量;

(2)求||的最大值与最小值.

题组二　相等向量与共线向量

5.(2019广东深圳高一期末,)已知A={与a共线的向量},B={与a长度相等的向量},C={a的相反向量},其中a为非零向量,下列关系中错误的是(　　)

A.C⊆A B.A∩B={a}

C.C⊆B D.(A∩B)⊇{a}

6.(2019吉林省实验中学高一期末,)如图所示,四边形ABCD,CEFG,CGHD是全等的菱形,则下列结论中不一定成立的是(　　)

A.||=|| B.与共线

C.与共线 D.=

7.(多选)(2020江苏泰州中学高一期中,)在下列结论中,正确的为(　　)

A.两个有共同起点的单位向量,其终点必相同

B.向量与向量的长度相等

C.与反向的单位向量是-

D.相反向量一定是共线向量

8.(2020江苏连云港海滨中学期中,)如图,某人想要从点A出发绕阴影部分走一圈,他可按图中提供的向量行走,则将这些向量按顺序排列为　　　　　　.

9.(2020江苏宿豫中学高一阶段测试,)如图所示,在平行四边形ABCD中,E,F分别是CD,AB的中点.

(1)写出与向量共线的向量;

(2)求证:=.

答案全解全析

第9章　平面向量

9.1　向量概念

基础过关练

1.D　密度、温度、质量、功只有大小,没有方向,因此是数量,而速度、位移既有大小又有方向,因此是向量.故选D.

2.C　(1)错误,有向线段只是向量的一种表示形式,不能把两者等同起来;(2)错误,零向量是有方向的,且方向是任意的;(3)正确,单位向量的方向不确定,长度均为1;(4)正确,零向量的长度为0.故选C.

3.答案　11

解析　如图,在B处时可用向量,,表示马走了“一步”,共3个,在C处可用向量,,,,,,,表示马走了“一步”,共8个,所以共有11个.

4.B　①错误,平行向量又叫共线向量,向量与是共线向量,则与平行或共线;②错误,a与b至少有一个为零向量时,结论不成立;由向量的夹角可知③正确;④错误,由|a|=|b|,只能说明a,b的长度相等,确定不了方向.

易错警示　若向量平行,则向量所对应的有向线段所在直线平行或重合,而几何中的平行不包括重合的情形.

5.B　由于零向量与任意向量都共线,故当b为零向量时,a,c不一定共线,所以①不正确;两个相等的非零向量可以在同一直线上,故②不正确;因为零向量与任一向量平行,向量a与b不共线,所以a与b都是非零向量,故③正确;若a=b,则a,b的长度相等且方向相同,若b=c,则b,c的长度相等且方向相同,所以a,c的长度相等且方向相同,故a=c,故④正确.故选B.

6.C　∵=,∴四边形ABCD为平行四边形,

又∵||=||,

∴平行四边形ABCD为菱形.

7.C　因为a0,b0分别是与a,b同向的单位向量,所以a0,b0的方向不确定,|a0|=1,|b0|=1,故|a0|+|b0|=2,故选C.

8.D　向量,的方向不同,故不是相等向量,故A错误;向量,的终点相同,不平行且不共线,故B错误;向量,的起点分别是A,B,故C错误;由正方形的性质可知AO⊥BO,故⊥,故D正确.

9.解析　(1)根据相等向量的定义,所作向量b应与a同向,且长度相等,如图所示.

(2)由平面几何知识可作出满足条件的向量c,所有这样的向量c的终点的集合是以点C为圆心,2为半径的圆,如图所示.

10.解析　(1)与共线的向量有,,,,,,.

(2)与的模相等的向量有,,,,.

(3)与相等的向量有,.

(4)与垂直的向量有,.

解题模板　寻找共线向量的方法,先找出与表示已知向量的有向线段平行或共线的线段,再构造同向或反向的向量,注意不要漏掉已知向量的相反向量,如本题中的.

能力提升练

1.C　速度和位移是向量,不能比较大小,路程是数量,可以比较大小,由题可知选C.

2.答案　3π

解析　这些有向线段的终点的集合构成的图形是一个圆环,其面积为π×22-π×12=3π.

3.解析　(1)作出向量,,,如图所示.

(2)作出向量,由题意知与方向相反,

故与共线,即AB∥CD.

又||=||,所以四边形ABCD为平行四边形,所以||=||=200.

4.解析　(1)所有的向量如图所示.

(2)由(1)所画的图知,

①当点C位于点C1或C2时,||取得最小值,为=;

②当点C位于点C5或C6时,||取得最大值,为=.

∴||的最大值为,最小值为.

5.B　因为A∩B中还包含a的相反向量,所以B中的关系错误.

6.C　由题可知||=||,∥∥,=,但与不一定共线,所以A,B,D中的结论成立,C中的结论不一定成立.

7.BCD　单位向量的方向是任意的,所以当起点相同时,终点在以起点为圆心的单位圆上,所以终点不一定相同,所以选项A不正确;

向量与向量是相反向量,长度相等,方向相反,所以选项B正确;

与反向的单位向量为-,所以选项C正确;

相反向量的长度相等,方向相反,所以相反向量一定是共线向量,所以选项D正确.

故选BCD.

8.答案　a,e,d,c,b

解析　若按,,,,的方向行走,由于相等向量的长度相等,方向相同,所以与这5个向量相等的向量依次为a,e,d,c,b.

若按,,,,的方向行走,与图中提供的向量方向不同,不符合题意.

所以正确的顺序为a,e,d,c,b.

9.解析　(1)与向量共线的向量有,,.

(2)证明:在平行四边形ABCD中,AB∥DC,AB=DC,因为E,F分别是DC,AB的中点,

所以ED∥BF且ED=BF,所以四边形BFDE是平行四边形,故=.