2020-2021学年9.4 向量应用达标测试

9.4　向量应用

基础过关练

题组一　向量在几何中的应用

1.若=3a,=-5a,且||=||,则四边形ABCD是(　　)

A.平行四边形 B.菱形

C.等腰梯形 D.非等腰梯形

2.已知点O,A,B不在同一条直线上,P为同一平面上的点,且=,则(　　)

A.点P在线段AB上

B.点P在线段AB的反向延长线上

C.点P在线段AB的延长线上

D.点P不在直线AB上

3.在△ABC中,已知(+)·=||2,则△ABC一定是(　　)

A.等边三角形 B.等腰三角形

C.直角三角形 D.等腰直角三角形

4.若正方形ABCD的边长为1,点P在线段AC上运动,则·(+)的最大值是　　　　.

5.如图所示,若D是△ABC内一点,且AB2-AC2=DB2-DC2,求证:AD⊥BC.

题组二　向量在物理中的应用

6.一物体受到相互垂直的两个力F1,F2的作用,两个力的大小都为5 N,则两个力的合力的大小为(　　)

A.10 N B.0 N C.5 N D. N

7.一艘渔船距对岸4 km,以2 km/h的速度向垂直于对岸的方向划去,到达对岸时,船的实际航程为8 km,则河水的流速为(　　)

A.2 km/h B.2 km/h

C. km/h D.3 km/h

8.一个物体受到同一平面内三个力F1,F2,F3的作用,沿北偏东45°方向移动了8 m,已知|F1|=2 N,方向为北偏东30°,|F2|=4 N,方向为北偏东60°,|F3|=6 N,方向为北偏西30°,则这三个力的合力所做的功为(　　)

A.24 J B.24 J

C.24 J D.24 J

9.点P在平面上做匀速直线运动,速度v=(4,-3),设开始时点P的坐标为(-10,10),则5 s后点P的坐标为(速度单位:m/s,长度单位:m)(　　)

A.(-2,4) B.(-30,25)

C.(10,-5) D.(5,-10)

10.(多选)如图所示,小船被绳子拉向岸边,船在水中运动时,设水的阻力大小不变,那么小船匀速靠岸过程中(　　)

A.船受到的拉力不断增大

B.船受到的拉力不断变小

C.船受到的浮力不断变小

D.船受到的浮力保持不变

11.某人骑车以a km/h的速度向东行驶,感到风从正北方向吹来,而当速度为2a km/h时,感到风从东北方向吹来,试求实际风速和方向.

能力提升练

题组一　向量在几何中的应用

1.(2020江苏赣榆高级中学高一阶段检测,)已知O为△ABC外接圆的圆心,且++=0,则△ABC的内角∠CAB等于(　　)　　　　　　　　　　　　　　　　　　

A.30° B.60° C.90° D.120°

2.()已知|p|=2,|q|=3,p与q的夹角为,则以a=5p+2q,b=p-3q为邻边的平行四边形的一条对角线长为(　　)

A.15 B. C.14 D.16

3.(2020江苏南京第十二中学高一期末,)在△ABC中,AC=BC=3,AB=2,P为△ABC内切圆圆周上一点,则·的最大值与最小值之差为(　　)

A.4 B.2 C.2 D.2

4.(2020江苏宜兴第一中学高一检测,)已知G是△ABC的重心,=λ+μ(λ,μ∈R),若∠BAC=120°,·=-2,则||的最小值是(　　)

A. B. C. D.

5.()已知点O在△ABC所在的平面内,给出下列关系式:

①++=0;

②·=·=0;

③(+)·=(+)·=0.

则以上关系式所对应的点O依次为△ABC的(　　)

A.内心、重心、垂心 B.重心、内心、垂心

C.重心、内心、外心 D.外心、垂心、重心

6.(多选)()在△ABC中,AD是BC边上的高,给出下列结论,其中正确的结论是(　　)

A.·(-)=0 

B.|+|≥2||

C.·=||sin B 

D.△ABC的面积为|·|

7.()已知O为△ABC内部一点,且+2+3=0,则△OAB,△OAC,△OBC的面积之比为　　　　.

题组二　向量在物理中的应用

8.()两个大小相等的共点力F1,F2,当它们的夹角为90°时,合力的大小为20 N,则当它们的夹角为120°时,合力的大小为(　　)

A.40 N B.10 N C.20 N D.40 N

9.()如图,一个力F作用于小车G,使小车G发生了40 m的位移,F的大小为50 N,且与小车的位移s的夹角为60°,则F在小车位移s上的投影的数量为　　　　N,力F做的功为　　　　J.

10.(2020江苏天一中学阶段检测,)已知e1=(1,0),e2=(0,1),现有动点P从P0(-1,2)开始,沿着与向量e1+e2相同的方向做匀速直线运动,速度大小为每秒|e1+e2|,另一动点Q从Q0(-2,-1)开始,沿着与向量3e1+2e2相同的方向做匀速直线运动,速度大小为每秒|3e1+2e2|,设P,Q在t=0 s时分别在P0,Q0处,则当⊥时所需的时间t为　　　　s.

11.()帆船比赛是借助风和水流推动船只在规定距离内竞速的一项水上运动,如果一帆船所受的风力方向为北偏东30°,速度大小为20 km/h,此时水的流向是正东,流速为20 km/h.若不考虑其他因素,求帆船行驶速度的大小与方向.

12.()在风速为75(-)km/h的西风中,飞机以150 km/h的速度向西北方向飞行,求没有风时飞机航行的速度大小和方向.

答案全解全析

9.4　向量应用

基础过关练

1.C　∵=3a,=-5a,

∴∥,||≠||,

又∵||=||,

∴四边形ABCD是等腰梯形.

故选C.

2.B　∵=,

∴2=3-,

∴2(-)=-,即2==-,

∴点P在线段AB的反向延长线上.

故选B.

3.C　由(+)·=||2,得(+-)·=0,

即(++)·=0,

∴2·=0,∴⊥,∴A=90°,

即△ABC一定是直角三角形.

无法判断△ABC是不是等腰三角形.故选C.

4.答案　

解析　如图,以A为原点建立平面直角坐标系,则A(0,0),B(1,0),D(0,1),

可设P(x,x)(0≤x≤1).

则=(x,x),=(1-x,-x),=(-x,1-x),所以·(+)=-4x2+2x=-4·+,

故当x=时,·(+)取得最大值,最大值为.

5.证明　设=a,=b,=c,=d,=e,

则a=e+c,b=e+d,

所以a2-b2=(e+c)2-(e+d)2=c2+2e·c-2e·d-d2.

由已知可得a2-b2=c2-d2,

所以c2+2e·c-2e·d-d2=c2-d2,

所以e·(c-d)=0.

因为=+=d-c,所以·=e·(d-c)=0,所以⊥,即AD⊥BC.

6.C　根据向量加法的平行四边形法则,得合力的大小为×5=5(N).故选C.

7.A　如图,设A为渔船,BC所在的直线为对岸,AB=4 km,实际航程为AC=8 km,则∠BCA=30°,|vAB|=2,|vAC|=4,

∴|vBC|=2,故河水的流速为2 km/h.故选A.

8.D　如图,建立平面直角坐标系,

则F1=(1,),F2=(2,2),F3=(-3,3),所以F=F1+F2+F3=(2-2,2+4).

又位移s=(4,4),

所以合力F所做的功W=F·s=(2-2)×4+(2+4)×4=24(J).故选D.

9.C　5 s后点P的坐标为(-10,10)+5(4,-3)=(10,-5).

10.AC　设水的阻力为f,船受到的拉力为F',F'与水平方向的夹角为θ,则|F'|cos θ=|f|,故|F'|=.因为θ不断增大,所以cos θ不断减小,故|F'|不断增大.因为|F'|sin θ不断增大,所以船受到的浮力不断减小.故选AC.

11.解析　设此人行驶的速度为a,则|a|=a,无风时此人感觉到风速为-a,设实际风速为v,由题意知,此人所感到的从正北方向吹来的风速为v-a,

如图所示,令=-a,=-2a,

由于+=,故=v-a,又+=,∴=v-2a,即此人的速度是原来的2倍时所感到的风速,由题意得∠PBO=45°,PA⊥BO,BA=AO,从而△BPO为等腰三角形,

∴PB=PO,∠POA=∠APO=45°,

∴PO=a,即|v|=a km/h.

故实际吹来的风是风速为a km/h的西北风.

能力提升练

1.A　由++=0得+=,

所以四边形OACB为平行四边形,如图.

由O为△ABC外接圆的圆心,

结合向量加法的几何意义知四边形OACB为菱形,所以∠CAO=60°,

所以△ABC的内角∠CAB等于30°,故选A.

2.A　因为|p|=2,|q|=3,p与q的夹角为,所以p·q=|p||q|cos=2×3×=6.

因为a+b=(5p+2q)+(p-3q)=6p-q,

所以(a+b)2=(6p-q)2=36p2-12p·q+q2

=36×(2)2-12×6+32=225.

所以|a+b|=15.

因为a-b=(5p+2q)-(p-3q)=4p+5q,

所以(a-b)2=(4p+5q)2=16p2+40p·q+25q2=16×(2)2+40×6+25×32=593.

所以|a-b|=.

所以以a,b为邻边的平行四边形的两条对角线的长分别为15和,故选A.

3.D　如图,过点C作CD⊥AB于点D,

则CD==2.

设△ABC的内切圆圆M的半径为R,则×(3+3+2)R=×2×2,解得R=,以 D为坐标原点,AB,DC所在直线分别为x轴,y轴建立平面直角坐标系,则A(-1,0),B(1,0),

设P,θ∈R,

则=,

=,

∴·=cos2θ-1+(sin θ+1)2=sin θ,故·的最大值为1,最小值为-1,则·的最大值与最小值之差为2,故选D.

4.C　设BC边的中点为D,由向量加法的平行四边形法则及三角形重心的性质可得,==(+).

∵∠BAC=120°,·=-2,

∴·=||·||·cos 120°=-2,

∴||·||=4,设||=x,||=y,

则xy=4,

||=|+|=

==.

∵x2+y2≥2xy=8(当且仅当x=y=2时取等号),

∴||≥,

即||的最小值为.故选C.

5.C　①因为=-(+)=-2,其中D为BC的中点,所以O为BC边上的中线的三等分点(靠近线段BC),所以O为△ABC的重心;

②向量,分别表示和方向上的单位向量,令=,=,则-=,

当·=0时,OA⊥B'C',则点O在∠BAC的平分线上,同理,由·=0,知点O在∠ABC的平分线上,故O为△ABC的内心;

③+表示以OA,OB为邻边的平行四边形的一个对角线向量,而是该平行四边形的另一个对角线向量,则·(+)=0表示这个平行四边形的对角线互相垂直,故该平行四边形是菱形,则||=||,同理||=||,所以O为△ABC的外心.

6.ABC　∵⊥,

∴·=0,

∴·(-)=·=0,故A正确;

取BC的中点M,则+=2,又||≥||,

∴|+|≥2||,故B正确;

·=||cos∠CAD=||,||sin B=||,故C正确;

∵AD⊥BC,

∴·=0,

故D错误.故选ABC.

7.答案　3∶2∶1

解析　∵+2+3=0,

∴++2(+)=0,如图,分别取BC,AC的中点D,E,连接OD,OE,则+2=0,

∴O为△ABC的中位线DE上靠近D的三等分点,

∴S△OAB=S△ABC,S△OBC=S△ABC,S△OAC=S△ABC,

∴△OAB,△OAC,△OBC的面积之比为∶∶=3∶2∶1.

8.B　如图,以F1、F2为邻边作平行四边形,则F为这两个力的合力.

由题意,易知|F|=|F1|,

又|F|=20,∴|F1|=|F2|=10.

当它们的夹角为120°时,以F1,F2为邻边作平行四边形,易知该平行四边形为菱形,此时|F合|=|F1|=10.

∴当F1,F2的夹角为120°时,合力的大小为10 N.

9.答案　25;1 000

解析　∵|F|=50,且F与小车的位移s的夹角为60°,

∴F在小车位移s上的投影的数量为|F|·cos 60°=25 N.

∵力F作用于小车G,使小车G发生了40 m的位移,

∴力F做的功W=25×40=1 000(J).

10.答案　2

解析　由题意得e1+e2=(1,1),则|e1+e2|=,与其方向相同的单位向量为,3e1+2e2=(3,2),则|3e1+2e2|=,与其方向相同的单位向量为,如图,则||=t,||=t,故=||=(t,t),=||=(3t,2t),

又P0(-1,2),Q0(-2,-1),

∴P(t-1,t+2),Q(3t-2,2t-1),=(-1,-3),

∴=(2t-1,t-3).

∵⊥,

∴·=0,即2t-1+3t-9=0,解得t=2.

故当⊥时所需的时间t为2 s.

11.解析　建立如图所示的平面直角坐标系,风的方向为北偏东30°,速度的大小|v1|=20 km/h,水流的方向为正东,速度的大小|v2|=20 km/h,设帆船行驶的速度为v,则v=v1+v2.

由题意,可得v1=(20cos 60°,20sin 60°)=(10,10),v2=(20,0),

则帆船的行驶速度v=v1+v2=(10,10)+(20,0)=(30,10),

所以|v|==20.

因为tan α==(α为v和v2的夹角,α为锐角),所以α=30°.

所以帆船向北偏东60°的方向行驶,速度的大小为20 km/h.

12.解析　设向量a表示风速,b表示无风时飞机航行的速度,c表示有风时飞机航行的速度,则c=a+b.

如图,作向量=a,=b,=c,则四边形OACB为平行四边形.

过C,B分别作OA的垂线,交AO的延长线于点D,E.

由已知得||=75(-),||=150,∠COD=45°.

在Rt△COD中,OD=CD=OCcos 45°=75.又ED=BC=OA=75(-),

∴OE=OD+ED=75.

又BE=CD=75,

∴在Rt△OEB中,OB==150,sin∠BOE==,

∴||=150,∠BOE=30°.

故没有风时飞机航行的速度大小为150 km/h,方向为北偏西60°.