高中数学苏教版 (2019)必修 第二册11.2 正弦定理随堂练习题

11.2　正弦定理

基础过关练

题组一　对正弦定理的理解

1.△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若sin A =,b=sin B,则a=(　　)　　　　　　　　　　　　　　　　　　

A.3 B. C. D.

2.在△ABC中,a=5,b=3,则sin A∶sin B的值是(　　)

A. B. C. D.

3.在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若c=,A=75°,B=45°,则△ABC的外接圆的面积为(　　)

A. B.π C.2π D.4π

题组二　已知两角及任一边解三角形

4.在△ABC中,B=45°,C=60°,c=1,则最短边的长是(　　)

A. B. C. D.

5.在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知A=105°,C=45°,c=,则b=(　　)

A.1 B. C. D.2

6.在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,若a=3,B=2A,cos A=,则b=　　　　.

题组三　已知两边和其中一边的对角解三角形

7.(2020江苏响水中学高一期中)已知△ABC的内角A,B,C的对边分别是a,b,c,a=2,c=2,A=,则角C的大小为(　　)

A.或 B.或 C. D.

8.(2020江苏连云港高一期末)在△ABC中,b=4,c=2,C=30°,那么此三角形(　　)

A.有一解 B.有两解

C.无解 D.解的个数不确定

9.在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,a=,b=,B=45°,求角A,C和c.

易错

题组四　利用正弦定理判断三角形的形状

10.(2020江苏淮安高中校协作体高一期中)在△ABC中,若=,则该三角形一定是(　　)

A.等边三角形

B.直角三角形

C.等腰三角形或直角三角形

D.等腰直角三角形

11.在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若asin A+bsin B<csin C,则△ABC是(　　)

A.锐角三角形 B.直角三角形

C.钝角三角形 D.不确定

12.在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且b2+c2=a2+bc.若sin B·sin C=sin2A,则△ABC是(　　)

A.钝角三角形 B.直角三角形

C.等边三角形 D.等腰直角三角形

题组五　三角形的面积公式及其应用

13.(2020江苏张家港外国语学校高一上月考)在△ABC中,a,b,c分别是角A,B,C的对边,a=5,b=4,cos C=,则△ABC的面积是(　　)

A.8 B.6

C.4 D.2

14.在△ABC中,已知A=30°,a=8,b=8,则△ABC的面积为(　　)

A.32 B.16

C.32或16 D.32或16

15.若锐角△ABC的面积为10,且AB=5,AC=8,则BC等于　　　　.

题组六　正弦定理的实际应用

16.(2020江苏苏州实验中学高一期中)海上A,B两个小岛相距10 海里,从A岛望C岛和B岛所成的视角为60°,从B岛望C岛和A岛所成的视角为75°,则B岛和C岛之间的距离为　　　　海里.

17.某海轮以30海里/时的速度航行,在点A测得海面上油井P在南偏东60°方向上,向北航行40分钟后到达点B,测得油井P在点B的南偏东30°方向上,海轮改为北偏东60°的航向再行驶80分钟到达点C,则P、C间的距离为　　　　海里.

能力提升练

题组一　利用正弦定理解三角形

1.(2020江苏苏州实验中学高一下学期期中,)在△ABC中,a=1,b=x,∠A=30°,若△ABC有两解,则x的取值范围是(　　)　　　　　　　　　　　　　　　　　　

A. B.(1,+∞)

C. D.(1,2)

2.(2020江苏赣榆高级中学阶段测试,)在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,若a=1,sin Acos C+(sin C+b)cos A=0,则角A=(　　)

A. B. C. D.

3.(多选)()在△ABC中,根据下列条件解三角形,其中有一解的是(　　)

A.b=7,c=3,C=30° 

B.b=5,c=4,B=45°

C.a=6,b=3,B=60° 

D.a=20,b=30,A=30°

题组二　利用正弦定理判断三角形的形状

4.()已知三角形ABC中,a2sin 2B+b2sin 2A=2ab,则三角形ABC是(深度解析)

A.等腰三角形

B.直角三角形

C.等腰三角形或直角三角形

D.等腰直角三角形

5.(多选)()在△ABC中,若(a2+b2)sin(A-B)=(a2-b2)sin C,则△ABC可能是(　　)

A.等腰三角形 B.直角三角形　

C.等腰直角三角形 D.等边三角形

6.()在△ABC中,sin A=,则这个三角形的形状为　　　　.

题组三　三角形的面积公式及其应用

7.()在△ABC中,已知b2-bc-2c2=0,且a=,cos A=,则△ABC的面积等于(　　)

A. B.

C.2 D.3

8.(2020江苏南通通州高一下学期期中,)已知△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,△ABC的面积为,且2bcos A=2c-a,a+c=4,则△ABC的周长为(　　)

A.4+ B.6 C.4+2 D.8

9.(2020江苏苏州实验中学高一期中,)在①cos A=,cos C=,②csin C=sin A+bsin B,B=60°,③c=2,cos A=三个条件中任选一个作为下面问题的条件,并加以解答.

已知△ABC的内角A,B,C所对的边分别是a,b,c,若a=3,　　　　(填序号),求△ABC的面积S.

题组四　正弦定理的综合应用

10.()已知点O为△ABC内一点,∠AOB=120°,OA=1,OB=2,过O作OD垂直AB于点D,点E为线段OD的中点,则·的值为(　　)

A. B. C. D.

11.(2020江苏泰州中学高一期中,)在锐角△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,a=2,sin B+sin C=2sin A,则BC边上的中线AD的长的取值范围是　　　　.

12.(2020江苏镇江高一期末,)在锐角△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,向量a=(2a,),b=(c,sin C),且a∥b.

(1)求角A;

(2)若c=2,且△ABC的面积为,求AC边上的中线BM的大小.

答案全解全析

11.2　正弦定理

基础过关练

1.D　由=,得a===.

2.A 　由=,知=,因为a=5,b=3,所以sin A∶sin B的值是.

3.B　在△ABC中,A=75°,B=45°,

所以C=180°-A-B=60°.

设△ABC的外接圆的半径为R,

则由正弦定理,可得2R===2,

解得R=1,故△ABC的外接圆的面积S=πR2=π.

4.A　在△ABC中,A=180°-B-C=75°,∴角B最小,由“小角对小边”得最短边是b,由=,得b===.

5.A　在△ABC中,A=105°,C=45°,

∴B=180°-A-C=180°-105°-45°=30°,

由正弦定理得=,解得b=1.

6.答案　2

解析　因为cos A=,所以sin A=,

因为B=2A,

所以sin B=sin 2A=2sin Acos A=,

又=,所以b=2.

7.C　由=得=,

解得sin C=,所以C=或C=.

因为a>c,所以C<A,所以C=.

8.C　解法一:由正弦定理和已知条件,得=,

∴sin B=.

∵>1,∴此三角形无解.

解法二:∵c=2,bsin C=2,

∴c<bsin C,

故此三角形无解.

9.解析　由=得=,

解得sin A=,

所以A=60°或A=120°,

因为120°+45°<180°,

所以A=120°也符合要求.

当A=60°时,C=180°-45°-60°=75°,

此时c==;

当A=120°时,C=180°-45°-120°=15°,

此时c==.

综上,A=60°,C=75°,c=或A=120°,C=15°,c=.

易错警示　在用正弦定理解三角形时,要注意准确确定解的个数,如本题中容易默认为角A是锐角,忽略A=120°的情形.

10.C　由题意得bcos B=acos A,根据正弦定理可得sin Bcos B=sin Acos A,

∴sin 2A=sin 2B,

∴A=B或2A+2B=180°,

即A=B或A+B=90°,

∴△ABC为等腰三角形或直角三角形.

11.C　由正弦定理及已知,得a2+b2<c2,

所以a2+b2-c2<0,

由余弦定理,得cos C=<0,

所以角C为钝角,即△ABC为钝角三角形.

12.C　由b2+c2=a2+bc及余弦定理知cos A==,所以A=,

又由sin B·sin C=sin2A及正弦定理得bc=a2,所以bc=b2+c2-bc,

所以(b-c)2=0,即b=c,

所以△ABC为等边三角形.

13.B　因为cos C=,C∈(0,π),

所以sin C=,

所以S△ABC=absin C=×5×4×=6.

14.D　在△ABC中,由=,

得sin B===,

所以B=60°或B=120°.

因为120°+30°<180°,所以B=120°也符合要求.

当B=60°时,C=180°-30°-60°=90°,

所以S△ABC=×8×8=32;

当B=120°时,C=180°-30°-120°=30°,

所以S△ABC=absin C=×8×8×=16.

综上,△ABC的面积为32或16.

15.答案　7

解析　由已知得△ABC的面积为AB·ACsin A=20sin A=10,

所以sin A=,

因为A∈,所以A=.

由余弦定理得BC2=AB2+AC2-2AB·AC·cos A=49,所以BC=7.

16.答案　10

解析　由题意得∠C=180°-60°-75°=45°,根据正弦定理得BC=·sin A=×=10(海里).

所以B岛和C岛之间的距离为10 海里.

17.答案　20

解析　如图,在△ABP中,AB=30×=20(海里),∠BAP=120°,∠BPA=30°,

由=,得=,

解得BP=20 海里.

在△BPC中,BC=30×=40(海里),

由已知得∠PBC=90°,

所以PC===20(海里).

所以P、C间的距离为20 海里.

能力提升练

1.D　如图,三角形有两解的条件为bsin A<a<b,∴xsin 30°<1<x,

故x的取值范围是1<x<2.故选D.

2.D　∵sin Acos C+(sin C+b)cos A=0,

∴sin Acos C+sin Ccos A=-bcos A,

∴sin(A+C)=sin B=-bcos A,

∵a=1,∴asin B=-bcos A,

由正弦定理可得sin Asin B=-sin Bcos A,

∵sin B>0,∴sin A=-cos A,即tan A=-,∵A∈(0,π),∴A=.故选D.

3.BC　对于A,∵b=7,c=3,C=30°,

∴由正弦定理可得sin B===>1,无解;

对于B,∵b=5,c=4,B=45°,

∴由正弦定理可得sin C===<1,且c<b,∴有一解;

对于C,∵a=6,b=3,B=60°,

∴由正弦定理可得sin A===1,∴A=90°,此时C=30°,有一解;

对于D,∵a=20,b=30,A=30°,

∴由正弦定理可得sin B===<1,且b>a,∴有两解.

故选BC.

4.B　由a2sin 2B+b2sin 2A=2ab得sin2Asin 2B+sin2Bsin 2A=2sin Asin B,

即sin2A·2sin Bcos B+sin2B·2sin Acos A=2sin Asin B,

所以sin Acos B+cos Asin B=1,即sin(A+B)=1,所以A+B=90°,所以C=90°,因此三角形ABC是直角三角形.

技巧点拨　在将三角形中的边角关系进行转化时,要注意正弦定理运用的可行性,例如将边转化为角时,等号两边关于边的项的次数应该是相等的,否则不能运用正弦定理进行转化,本题中,等号两边都是边的二次式,因此可以进行转化,再通过三角恒等变换得出角的关系,即可判断三角形的形状.

5.AB　∵(a2+b2)sin(A-B)=(a2-b2)sin C,

∴b2[sin(A-B)+sin C]=a2[sin C-sin(A-B)],

∴b2sin Acos B=a2cos Asin B,

∴sin2Bsin Acos B=sin2Acos Asin B,

∵sin Bsin A≠0,

∴sin 2B=sin 2A,

∴2A=2B或2A+2B=π,

∴A=B或A+B=,故三角形为等腰三角形或直角三角形.

6.答案　直角三角形

解析　由题意得a=,

即(b+c)a2=b3+c3+bc(b+c),

所以a2=b2-bc+c2+bc,则a2=b2+c2,

故△ABC是直角三角形.

7.A　因为b2-bc-2c2=0,

所以(b-2c)(b+c)=0,所以b=2c.

又a2=b2+c2-2bccos A,所以c=2,b=4,

因为cos A=,所以sin A=,

所以S△ABC=bcsin A=×4×2×=.

8.B　因为2bcos A=2c-a,

所以2b·=2c-a,

化简得a2+c2-b2=ac,

则cos B===,所以B=,

由S=acsin B=,得ac=4,

又a+c=4,所以a=c=2,

则△ABC为等边三角形,

所以△ABC的周长为6.

9.解析　选①:∵cos A=,cos C=,

∴sin A=,sin C=,

∴sin B=sin(A+C)=sin Acos C+cos Asin C=×+×=,

由正弦定理可得b===,

∴S=absin C=×3××=.

选②:∵csin C=sin A+bsin B,∴由正弦定理可得c2=a+b2,

∵a=3,∴b2=c2-3,

又∵B=60°,∴b2=c2+9-2×3×c×=c2-3,∴c=4,

∴S=acsin B=3.

选③:∵c=2,cos A=,

∴由余弦定理可得=,即b2--5=0,解得b=或b=-2(舍去),

易得sin A=,∴△ABC的面积S=bc·sin A=××2×=.

10.A　S△OAB=OA·OB·sin∠AOB=,AB==,由AB·OD=,得OD=,所以·=·(+)=·=||2==.

11.答案　

解析　由sin B+sin C=2sin A及正弦定理得b+c=2a,

又a=2,所以b+c=4,

由余弦定理得b2=AD2+CD2-2AD·CD·cos∠ADC,c2=AD2+BD2-2AD·BDcos∠ADB,

又cos∠ADB=-cos∠ADC,BD=CD=a,

所以b2+c2=2AD2+a2,

所以AD=

==,

因为b+c=4,所以c=4-b,

因为△ABC是锐角三角形,

所以所以

解得<b<,

所以bc=b(4-b)=4b-b2=-(b-2)2+4∈,

所以≤AD<.

12.解析　(1)因为a∥b,a=(2a,),b=(c,sin C),所以2asin C=c,

由正弦定理得2sin Asin C=sin C,

因为C∈,所以sin C≠0,

所以sin A=,

因为A∈,所以A=.

(2)因为△ABC的面积为,

所以bcsin A=,

因为c=2,A=,所以b=3,

在△ABM中,由余弦定理得

BM2=AM2+AB2-2AM·ABcos A=+4-2××2×=,

所以BM=.