苏教版 (2019)必修 第二册12.2 复数的运算练习题

这是一份苏教版 (2019)必修 第二册12.2 复数的运算练习题，共26页。试卷主要包含了计算，i等于等内容，欢迎下载使用。

12.2　复数的运算
第1课时　复数的加法、减法、乘法运算
基础过关练
题组一　复数的加、减运算
1.(2020江苏石榴高级中学月考)复数z1=2-12i,z2=12-2i,则z1+z2等于(　　)　　　　　　　　　　　　　　　　　　
A.0 B.32+52i
C.52-52i D.52-32i
2.(2019江苏宝应中学高一期中)已知复数z1=12-32i和复数z2=cos 60°+isin 60°,则z1+z2等于(　　)
A.1 B.-1 C.12-32i D.12+32i
3.若复数z满足z+(3-4i)=1,则z的虚部是(　　)
A.-2 B.4 C.3 D.-4
4.(2020江苏徐州高一阶段检测)已知复数z满足z+1-3i=5-2i,则z=　　　　.
5.计算:
(1)(3+5i)+(3-4i);
(2)(-3+2i)-(4-5i);
(3)(5-5i)+(-2-2i)-(3+3i).
深度解析





题组二　复数的乘法运算
6.i(2-3i)等于(　　)
A.3-2i B.3+2i
C.-3-2i D.-3+2i
7.(2020江苏赣榆城头高级中学高一阶段检测)复数z1=1+2i,z2=2-i,i为虚数单位,则z1z2等于(　　)
A.4+3i B.4-3i
C.-3i D.3i
8.(2019江苏东海第二中学高一期中)设i为虚数单位,a∈R,若(1+i)(1+ai)为纯虚数,则a的值为(　　)
A.2 B.-2 C.1 D.-1
9.(2020江苏板浦高级中学高一阶段检测)已知a,b∈R,i是虚数单位,若(1+i)(1-bi)=a,则ab的值为　　　　.
10.计算:
(1)(1-2i)(3+6i);
(2)(5-2i)2;
(3)(4-i)(6+2i)-(7-i)(4+3i).






题组三　共轭复数
11.(2020江苏南京江宁高级中学月考)已知z=12-32i,则z=(　　)
A.-12-32i B.-12+32i
C.12+32i D.12-32i
12.(2020江苏溧阳高级中学学情检测)若x-2+yi和3x-i互为共轭复数,x,y∈R,则x+y的值为(　　)
A.2 B.1 C.-1 D.0
13.(2020江苏涟水中学高一阶段检测)若复数z=1-2i(i为虚数单位),则z·z+z的实部是　　　　. 
14.(2019江苏厉庄高级中学阶段检测)已知z∈C,z为z的共轭复数,若z·z-3iz=1+3i,求z.






能力提升练
题组一　复数的加、减、乘混合运算
1.(2020江苏江阴第一中学阶段检测,)实数x,y满足z1=y+xi,z2=yi-x,且z1-z2=4,则xy的值是(　　)　　　　　　　　　　　　　　　　　　
A.1 B.2 C.-2 D.-1
2.(2020江苏沭阳高级中学阶段测试,)设复数z1=x+2i,z2=3-yi(x,y∈R),且z1+z2=5-6i,则z1-z2等于(　　)
A.-1+10i B.1-10i
C.1+10i D.-1-10i
3.(2019江苏姜堰中学高一期中,)已知z1=1+2i,z2=m+(m-1)i,且两复数的乘积z1z2的实部和虚部为相等的正数,则实数m的值为(　　)
A.-43 B.1 C.-34 D.34
4.(2019江苏包场高级中学高一期末,)若复数z=32-ai(a∈R),且z2=12-32i,则a=　　　　.
5.(2019江苏新区一中高一阶段测试,)已知z1=(3x+y)+(y-4x)i,z2=(4y-2x)-(5x+3y)i(x,y∈R),设z=z1-z2=13-2i,求z1,z2.












题组二　共轭复数的应用
6.(2020江苏武进高级中学高一期中,)定义一种运算:abcd=ad-bc,则复数1+i-123i的共轭复数是(　　)
A.-1-3i B.1-3i
C.-1+3i D.1+3i
7.(2020江苏长泾中学高一期中,)设复数z的共轭复数是z,若复数z1=3+4i,z2=t+i,且z1·z2是实数,则实数t等于(　　)
A.34 B.43 C.-43 D.-34
8.(多选)(2020江苏海头高级中学高一阶段检测,)下面命题中错误的是(　易错　)
A.ai-1(a∈R)的共轭复数是ai+1
B.若两个复数的差是纯虚数,则它们一定互为共轭复数
C.若z=a+bi(a,b∈R)的共轭复数为z,z=z,则z是实数
D.若两个虚数的和与积都为实数,则它们互为共轭复数
9.(多选)(2020江苏张家港高级中学学情检测,)给出下列命题,其中是真命题的是(　　)
A.纯虚数z的共轭复数是-z
B.若z1-z2=0,则z1=z2
C.若z1+z2∈R,则z1与z2互为共轭复数
D.若z1-z2=0,则z1与z2互为共轭复数
10.(2019江苏清江中学阶段检测,)把复数z的共轭复数记作z,已知(1+2i)z=4+3i,则z=　　　　.

11.(2020江苏东台中学高一学情检测,)已知复数z满足z·z+2zi=8+6i,求复数z的实部与虚部的和.







12.(2019江苏奔牛高级中学高一阶段测试,)已知x,y互为共轭复数,且(x+y)2-3xyi=4-6i,求x,y.












第2课时　复数的乘方和除法运算
基础过关练
题组一　复数的乘方与i的整数指数幂
1.(2020江苏南京第三十九中学阶段测试)复数i2+i3+i2 020的值为(深度解析)　　　　　　　　　　　　　　　　　　
A.i B.-i C.1 D.-1
2.(2019江苏铜山中学期末)若i为虚数单位,则1i+1i3+1i5+1i7等于(　　)
A.0 B.2i C.-2i D.4i
3.计算:1+i+i2+…+i2 018+i2 019=　　　　.
4.计算:1-1i2 020+(1-i)2 020=　　　　.
题组二　复数的除法运算
5.(2019江苏清江中学阶段检测)设复数z满足iz=1,其中i为虚数单位,则z等于(　　)
A.-i B.i C.-1 D.1
6.已知(1-i)2z=1+i(i为虚数单位),则复数z等于(　　)
A.1+i B.1-i
C.-1+i D.-1-i
7.(2020江苏石榴高级中学阶段检测)若复数z满足3+4ii=z1+i,则z等于(　　)
A.7+i B.7-i
C.7+7i D.-7+7i
8.(2020江苏宝应画川高级中学高一月考)已知i是虚数单位,则复数3-i2+i的共轭复数是　　　　.
9.计算:
(1)2-i-4-3i;
(2)(1-4i)(1+i)+2+4i3+4i;
(3)(1+2i)2+3(1-i)2+i.
深度解析



题组三　复数的四则运算
10.(2020江苏泗阳中学阶段测试)已知ab∈R,i是虚数单位,若a-i与2+bi互为共轭复数,则(a+bi)2=(　　)
A.5-4i B.5+4i C.3-4i D.3+4i
11.设复数z=-1-i(i为虚数单位),z的共轭复数是z,则2-zz等于(　　)
A.-1-2i B.-2+i C.-1+2i D.1+2i
12.若复数z=7+ai2-i的实部为3,其中a是实数,i是虚数单位,则z2的虚部为　　　　.
13.计算:
(1)i-231+23i+(5+i2)-1+i22;
(2)(2+2i)3(4+5i)(5-4i)(1-i);
(3)(1+2i)·i100+1-i1+i52-1+i220;
(4)1+i1-i6+2+3i3-2i.
深度解析




题组四　在复数范围内解方程
14.(2019江苏响水中学高一期末)在复数集C内解方程x2+3=0的根为(　　)
A.-3 B.3i C.-3i D.±3i
15.若虚数a-i(a∈R)是方程x2+2x+b=0的一个根,则实数a,b的值分别为(深度解析)
A.1,2 B.-1,2 C.1,-2 D.-1,-2
16.已知-1+i是关于x的方程x2+px+q=0的一个根,则实数p,q的值分别为　　　　.
能力提升练
题组一　复数的乘方与i的整数指数幂的运算
1.(2020江苏包场高级中学高一阶段测试,)已知a为实数,i为虚数单位,若复数z=(a2-1)+(a+1)i为纯虚数,则a+i2 0001+i=(　　)
　　　　　　　　　　　　　　　　　　
A.1+i B.1-i C.i D.-i
2.(多选)(2020江苏海州高级中学高一月考,)已知集合M={m|m=in,n∈N},其中i为虚数单位,则下列元素属于集合M的是(　　)
A.(1-i)(1+i) B.1-i1+i
C.1+i1-i D.(1-i)2
3.(2020江苏南京江宁高级中学阶段测试,)已知ω=-12+32i(i为虚数单位).
(1)求(ω+2ω2)2+(2ω+ω2)2的值;
(2)求ω2+1ω2的值;
(3)类比i(i2=-1),探讨ω(ω为虚数)的性质,求ωn(n∈Z)的值.



题组二　复数的四则运算
4.(2019江苏海门实验学校期末,)设z=12+32i(i是虚数单位),则z+2z2+3z3+4z4+5z5+6z6=(　　)
A.3-33i B.3+33i
C.-3-33i D.-3+33i
5.(多选)(2020江苏太仓高级中学高一阶段检测,)下面是关于复数z=2-1+i(i为虚数单位)的命题,其中真命题为(　　)
A.z的实部为1
B.z2=2i
C.z的共轭复数为1+i
D.z的虚部为-1
6.(2020江苏马塘高级中学高一阶段检测,)已知复数z=(2a+i)(1-bi)的实部为2,其中a,b为实数,则4a+121-b的最小值为　　　　.
7.(2019江苏太仓高级中学高一学情检测,)已知复数z1满足(z1+2)(1+i)=1-i(i为虚数单位),复数z2的实部为3,且z1·z2是纯虚数,则z2=　　　　.
8.(2020江苏宿迁中学学情检测,)已知z1=m2+1m+1i,z2=(2m-3)+12i,m∈R,i为虚数单位,且z1+z2是纯虚数.
(1)求实数m的值;
(2)求z1·z2.




9.(2020江苏常州高级中学高一期中,)已知关于x的方程xa+bx=1,其中a,b为实数.
(1)若x=1-3i是该方程的根,求a,b的值;
(2)当ba>14且a>0时,证明该方程没有实数根.
深度解析




















答案全解全析
12.2　复数的运算
第1课时　复数的加法、减法、
乘法运算
基础过关练
1.C　z1+z2=2+12+-12-2i=52-52i.
2.A　因为z2=cos 60°+isin 60°=12+32i,
所以z1+z2=1.
3.B　因为z+(3-4i)=1,所以z=-2+4i,故z的虚部是4.
4.答案　4+i
解析　因为z+1-3i=5-2i,所以z=(5-2i)-(1-3i)=4+i.
5.解析　(1)(3+5i)+(3-4i)=(3+3)+(5-4)i=6+i.
(2)(-3+2i)-(4-5i)=(-3-4)+[2-(-5)]i=-7+7i.
(3)(5-5i)+(-2-2i)-(3+3i)=(5-2-3)+[-5+(-2)-3]i=-10i.
方法技巧　复数的加、减法可以推广到多个复数相加减的情形;类比实数运算,在复数的加、减运算中,若有括号,则先计算括号内的,若没有括号,则从左到右依次进行.
6.B　i(2-3i)=2i-3i2=3+2i.
7.A　z1z2=(1+2i)(2-i)=2-i+4i+2=4+3i.
8.C　因为(1+i)(1+ai)=(1-a)+(1+a)i为纯虚数,所以1-a=0,且1+a≠0,解得a=1.
9.答案　2
解析　因为(1+i)(1-bi)=1+b+(1-b)i=a,
a,b∈R,所以1+b=a且1-b=0,解得a=2,b=1,所以ab=2.
10.解析　(1)(1-2i)(3+6i)=3+6i-6i+12=15.
(2)(5-2i)2=52-2×5×2i+(2i)2=25-20i-4=21-20i.
(3)(4-i)(6+2i)-(7-i)(4+3i)
=(24+8i-6i+2)-(28+21i-4i+3)
=(26+2i)-(31+17i)
=-5-15i.
11.C　因为z=12-32i,所以z=12+32i.
12.D　由题意可得x-2=3x,y=1,则x=-1,y=1.
所以x+y=0.
13.答案　6
解析　∵z=1-2i,∴z=1+2i,
∴z·z=(1-2i)(1+2i)=5,
∴z·z+z=5+1-2i=6-2i.
∴z·z+z的实部是6.
14.解析　设z=a+bi(a,b∈R),则z=a-bi.
由题意得(a+bi)(a-bi)-3i(a-bi)=1+3i,
即a2+b2-3b-3ai=1+3i,
则有a2+b2-3b=1,-3a=3,
解得a=-1,b=0或a=-1,b=3,
所以z=-1或z=-1+3i.
能力提升练
1.A　因为z1-z2=(y+x)+(x-y)i=4,即x+y=4,x-y=0,所以x=y=2,则xy=1.
2.A　∵z1+z2=(x+3)+(2-y)i=5-6i,
∴x+3=5,2-y=-6,即x=2,y=8,
∴z1-z2=(x-3)+(2+y)i=-1+10i.
3.D　z1z2=(1+2i)[m+(m-1)i]=m+(m-1)i+2mi-2(m-1)=(2-m)+(3m-1)i,
由已知可得2-m=3m-1>0,解得m=34.
4.答案　12
解析　∵z2=32-ai2=34-a2-3ai,
∴34-a2-3ai=12-32i(a∈R),则34-a2=12,-3a=-32,∴a=12.
5.解析　z=z1-z2=(3x+y)+(y-4x)i-[(4y-2x)-(5x+3y)i]=[(3x+y)-(4y-2x)]+[(y-4x)+(5x+3y)]i=(5x-3y)+(x+4y)i,
又因为z=13-2i,且x,y∈R,
所以5x-3y=13,x+4y=-2,解得x=2,y=-1,
所以z1=(3×2-1)+(-1-4×2)i=5-9i,
z2=[4×(-1)-2×2]-[5×2+3×(-1)]i=-8-7i.
6.A　由题意得1+i-123i=3i(1+i)+2=-1+3i,所以其共轭复数为-1-3i.
7.A　因为z2=t+i,所以z2=t-i,
则z1·z2=(3+4i)(t-i)=3t+4+(4t-3)i.
又因为z1·z2∈R,所以4t-3=0,
解得t=34.
8.AB　根据共轭复数的定义知A命题错误;B命题错误,如3-i与3+4i的差为-5i,而3-i与3+4i不是共轭复数;C命题正确,若z的共轭复数为z,且z=z,则a+bi=a-bi,因此b=0;易知D命题正确.故选AB.
易错警示　对于共轭复数的定义要深刻理解:①z是实数的充要条件为z=z;②z是纯虚数的充要条件为z+z=0且z≠0.
9.AD　选项A中,根据共轭复数的定义知是真命题;选项B中,若z1-z2=0,则z1=z2,当z1,z2均为实数时,则有z1=z2,当z1,z2均为虚数时,z1≠z2,所以B是假命题;选项C中,若z1+z2∈R,则z1,z2可能均为实数,但不一定相等,或z1与z2的虚部互为相反数,但实部不一定相等,所以C是假命题;选项D中,z1-z2=0,则z1=z2,所以z1与z2互为共轭复数,所以D是真命题.故选AD.
10.答案　2+i
解析　设z=a+bi(a,b∈R),则z=a-bi,
(1+2i)z=(1+2i)(a-bi)=(a+2b)+(2a-b)i=4+3i,
由复数相等的充要条件可得a+2b=4,2a-b=3,
解得a=2,b=1.∴z=2+i.
11.解析　设z=a+bi(a,b∈R),则z=a-bi,
∴z·z=a2+b2,
∴a2+b2+2i(a+bi)=8+6i,
即a2+b2-2b+2ai=8+6i,
∴a2+b2-2b=8,2a=6,解得a=3,b=1,
∴a+b=4,
∴复数z的实部与虚部的和是4.
12.解析　设x=a+bi(a,b∈R),则y=a-bi,
代入原式,得(2a)2-3(a2+b2)i=4-6i,
∴4a2=4,-3(a2+b2)=-6,
即a=1,b=1或a=1,b=-1或a=-1,b=1或a=-1,b=-1.
∴x=1+i,y=1-i或x=1-i,y=1+i或x=-1+i,y=-1-i
或x=-1-i,y=-1+i.
第2课时　复数的乘方和除法运算
基础过关练
1.B　i2+i3+i2 020=(-1)+(-i)+1=-i.
方法技巧　需要熟记虚数单位i的性质:①i4n=1,i4n+1=i,i4n+2=-1,i4n+3=-i(n∈N*);
②i4n+i4n+1+i4n+2+i4n+3=0(n∈N*).
2.A　因为1i=-i,1i3=i,1i5=-i,1i7=i,
所以1i+1i3+1i5+1i7=0.
3.答案　0
解析　原式=1+(i+i2+i3+i4)+(i5+i6+i7+i8)+…+(i2 013+i2 014+i2 015+i2 016)+i2 017+i2 018+i2 019=1+i2 017+i2 018+i2 019=1+i-1-i=0.
4.答案　-21 011
解析　因为1-1i=1+i2i=1+i,且(1±i)2=±2i,
所以1-1i2 020+(1-i)2 020
=[(1+i)2]1 010+[(1-i)2]1 010
=(2i)1 010+(-2i)1 010=21 010·i2+21 010·i2
=-21 011.
5.A　因为iz=1,所以z=1i=-i.
6.D　因为(1-i)2z=1+i,所以z=(1-i)21+i=-2i1+i=-2i(1-i)2=-1-i.
7.A　因为3+4ii=z1+i,所以z=(3+4i)(1+i)i=(3+4i)(1+i)ii2=7+i.
8.答案　1+i
解析　因为3-i2+i=(3-i)(2-i)(2+i)(2-i)=5-5i4-i2=1-i,所以复数3-i2+i的共轭复数为1+i.
9.解析　(1)2-i-4-3i=(2-i)(-4+3i)(-4-3i)(-4+3i)=-8+6i+4i+325=-5+10i25=-15+25i.
(2)(1-4i)(1+i)+2+4i3+4i=5-3i+2+4i3+4i=7+i3+4i=(7+i)(3-4i)(3+4i)(3-4i)=25-25i25=1-i.
(3)(1+2i)2+3(1-i)2+i=-3+4i+3-3i2+i=i2+i=i(2-i)5=15+25i.
方法技巧　复数除法一般先写成分式形式,再把分母实数化,即分子、分母同乘分母的共轭复数,若分母为纯虚数,则只需同乘i.
10.D　∵a-i与2+bi互为共轭复数,
∴a+i=2+bi,∴a=2,b=1,
∴(a+bi)2=(2+i)2=4+4i+i2=4+4i-1=3+4i.
11.C　由题意可得2-zz=2-(-1+i)-1-i=(3-i)(-1+i)(-1-i)(-1+i)=-1+2i,故选C.
12.答案　6
解析　z=7+ai2-i=(7+ai)(2+i)(2-i)(2+i)
=(14-a)+(7+2a)i5=14-a5+7+2a5i.
由题意知14-a5=3,
∴a=-1,∴z=3+i,
∴z2=8+6i,∴z2的虚部为6.
13.解析　(1)i-231+23i+(5+i2)-1+i22
=(1+23i)i1+23i+(5-1)-2i2
=i+4-i=4.
(2)原式=22(1+i)3(5-4i)i(5-4i)(1-i)=22(1+i)4i(1-i)(1+i)=22[(1+i)2]2·i2=2·(2i)2·i=-42i.
(3)(1+2i)·i100+1-i1+i52-1+i220=[(1+2i)·1+(-i)5]2-i10=(1+i)2-i10=1+2i.
(4)解法一:原式=(1+i)226+2+3i3-2i
=i6+(2+3i)(3+2i)(3)2+(2)2
=i6+6+2i+3i-65=-1+i.
解法二:原式=(1+i)226+(2+3i)i(3-2i)i=i6+(2+3i)i2+3i=-1+i.
方法技巧　在进行复数四则运算时,我们既要做到会做、会解,又要做到快速解答.在这里需要掌握一些常用的结论,如(1+i)2=2i,(1-i)2=-2i,1-i1+i=-i,1+i1-i=i,-b+ai=i(a+bi).利用这些结论,我们可以更有效地简化计算,提高计算速度且不易出错.
14.D　因为(3i)2=(-3i)2=-3,所以方程x2+3=0的根为x=±3i.
15.B　关于x的方程x2+2x+b=0有一个根a-i(a∈R,i为虚数单位),
则a+i也是此方程的一个根.
所以a+i+a-i=-2,(a+i)(a-i)=b,
解得a=-1,b=2.
方法技巧　由实系数方程虚根成对原理,可以得到方程的另一个根,然后利用根与系数的关系求出a,b的值.
16.答案　2,2
解析　由题意可得(-1+i)2+p(-1+i)+q=0,整理得(q-p)+(p-2)i=0,
∴q-p=0,p-2=0,解得p=q=2.
能力提升练
1.B　因为z=(a2-1)+(a+1)i为纯虚数,
所以a2-1=0,且a+1≠0,解得a=1.
所以a+i2 0001+i=1+11+i=2(1-i)(1+i)(1-i)=1-i.
2.BC　M={m|m=in,n∈N}中,
n=4k(k∈N)时,in=1;
n=4k+1(k∈N)时,in=i;
n=4k+2(k∈N)时,in=-1;
n=4k+3(k∈N)时,in=-i,
∴M={-1,1,i,-i}.
选项A中,(1-i)(1+i)=2∉M;选项B中,1-i1+i=(1-i)2(1+i)(1-i)=-i∈M;选项C中,1+i1-i=(1+i)2(1-i)(1+i)=i∈M;选项D中,(1-i)2=-2i∉M.故选BC.
3.解析　(1)∵ω=-12+32i,
∴ω2=-12-32i=ω,ω3=1,ω2+ω+1=0,
∴(ω+2ω2)2+(2ω+ω2)2=ω2+4ω3+4ω4+4ω2+4ω3+ω4=5ω2(ω2+ω+1)+3ω3=3.
(2)由(1)知ω2+ω=-1,∴ω2+1ω2=ω4+1ω2=ω4+ω3ω2=ω2+ω=-1.
(3)由(1)可知ω2=-12-32i=ω,ω3=1,
∴ωn=1,n=3k,ω,n=3k-2,k∈Z.ω,n=3k-1,
4.A　因为z=12+32i,
所以z2=12+32i2=-12+32i,
z3=-12+32i12+32i=-1,
z4=-12-32i,z5=12-32i,z6=1,
所以z+2z2+3z3+4z4+5z5+6z6=12+32i+(-1+3i)+(-3)+(-2-23i)+52-532i+6=3-33i.
5.BD　因为z=2-1+i=2(-1-i)(-1+i)(-1-i)=-1-i,所以z的实部为-1,故A是假命题;z2=2i,B是真命题;z的共轭复数为-1+i,C是假命题;z的虚部为-1,D是真命题.故选BD.
6.答案　22
解析　∵复数z=(2a+i)(1-bi)=2a+b+(1-2ab)i的实部为2,
∴2a+b=2,∴b=2-2a.
则4a+121-b=4a+21-2a=4a+24a≥24a×24a=22,
当且仅当4a=24a,b=2-2a,即a=14,b=32时取等号.
∴所求最小值为22.
7.答案　3+6i
解析　∵(z1+2)(1+i)=1-i,
∴z1+2=1-i1+i=(1-i)2(1+i)(1-i)=-2i2=-i,
∴z1=-2-i.
设z2=3+ai(a∈R),
则z1·z2=(-2-i)(3+ai)=-(2+i)(3+ai)=a-6-(2a+3)i.
又z1·z2是纯虚数,∴a-6=0,-(2a+3)≠0,
解得a=6,则z2=3+6i.
8.解析　(1)z1+z2=(m2+2m-3)+1m+1+12i,
∵z1+z2是纯虚数,∴m2+2m-3=0,1m+1+12≠0,
解得m=1.
(2)由(1)得z1=1+12i,z2=-1+12i,
则z2=-1-12i,
∴z1·z2=1+12i-1-12i=-1+12i2=-34+i=-34-i.
9.解析　(1)将x=1-3i代入xa+bx=1,
化简得1a+b4+34b-3ai=1,
∴1a+b4=1,34b-3a=0,∴a=b=2.
(2)证明:原方程可化为x2-ax+ab=0,
假设原方程有实数解,则Δ=(-a)2-4ab≥0,即a2≥4ab,
∵a>0,∴ba≤14,这与题设ba>14矛盾.
∴该方程没有实数根.
方法技巧　解题的关键是利用复数相等的充要条件来建立相等关系,能利用一元二次方程的判别式来确定方程有无实数根.