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高中数学3.1 二倍角公式测试题
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这是一份高中数学3.1 二倍角公式测试题，共14页。试卷主要包含了1 二倍角公式，4sin 15°cs 15°=等内容，欢迎下载使用。
3.1 二倍角公式
基础过关练
题组一 二倍角的正弦公式及其应用
1.4sin 15°cs 15°=( )
A.12B.1C.3D.32
2.(2020吉林大学附中高一期末)若cs x=-14,x为第二象限角,则sin 2x等于( )
A.±158B.158C.-158D.-154
3.已知θ为第三象限角,且sin4θ+cs4θ=59,则sin 2θ=( )
A.-23B.23C.-223D.223
4.(2020河北石家庄高一联考)已知csx-π4=210,x∈π2,3π4,则sin 2x= .
5.已知函数f(x)=2sin xcs x+3cs 2x+2.
(1)求f(x)的单调递增区间;
(2)求函数f(x)在区间-π3,π3上的最小值和最大值.
题组二 二倍角的余弦公式及其应用
6.已知cs α=23,则cs 2α=( )
A.19B.-19C.13D.-13
7.(2020山东东营一中高一期末)sin 5π12+cs 5π12·sin 5π12-cs 5π12=( )
A.12B.-12C.32D.-32
8.(2020辽宁沈阳高一期末)函数y=2sin2x+sin 2x的最小正周期是( )
A.π4B.π2C.πD.2π
9.(2020山东滕州一中高一期末)若α∈π4,π,且3cs 2α=4sinπ4-α,则sin 2α的值为( )
A.79B.-79C.19D.-19
10.函数f(x)=cs 2x+6csπ2-x的最大值为 .
11.已知函数f(x)=53cs2x+3sin2x-4sin xcs x.
(1)求f5π12;
(2)若f(α)=53,α∈π2,π,求角α.
题组三 二倍角的正切公式及其应用
12.(2020山东东营广饶一中高一期末)若sinα+csαsinα-csα=12,则tan 2α=( )
A.-34B.34C.-43D.43
13.(2020河北唐山高三期末)若α为锐角,3sin α=tan α=2tan β,则tan 2β=( )
A.34B.43C.-34D.-43
14.(2020江苏镇江高二期末)设sin 2α+sin α=0,α∈π2,π,则tan 2α= .
15.(2020安徽阜阳高一期末)若11+tanθ-11-tanθ=-4,则tan 2θ等于 .
16.已知α,β均为锐角,且tan α=7,cs β=255,则α+2β= .
能力提升练
题组一 利用二倍角公式及其变形求值
1.(2020福建三明高一期末,)已知sinα-π3=14,则sin2α-π6=( )
A.78B.-78
C.1516D.±1516
2.(2020山东日照高一期末,)cs 55°1-sin 20°等于( )
A.32B.33C.2D.22
3.(2019陕西西安高一期末,)已知tanπ4+α=12,则sin2α-cs2α1+cs2α的值为( )
A.-53B.-56C.-16D.-32
4.(2020浙江宁波高一期中,)已知sinπ3-α=-25,则cs2 021π3-2α=( )
A.-1725B.-78C.1725D.78
5.(2019广东广州高一期末,)化简2-cs22-cs4的结果是( )
A.sin 2B.-cs 2
C.-3cs 2D.3sin 2
6.()黄金分割比是指将整体一分为二,较大部分与整体部分的比值等于较小部分与较大部分的比值,其比值为5-12,约为0.618,这一比值也可以表示为a=2cs 72°,则1-2sin227°a4-a2=( )
A.12B.1C.2D.14
7.(2020山东济宁高一期末,)已知角α(0°≤α<360°)的终边上有一点M(tan240°-1,2tan 40°),则角α等于( )
A.80°B.100°C.280°D.140°
8.(2020安徽安庆高一检测,)1+cs 100°sin 20°cs 20°= .
9.(2020广东深圳高一期末,)若cs(75°+α)=13,则sin(60°+2α)= .
10.(2020山西太原高一检测,)已知cs x=1010,且x∈-π2,0,求22cs2x+π4+sin2x的值.
11.(2020河北沧州高一期末,)已知sin α+cs α=355,α∈0,π4,sinβ-π4=35,β∈π4,π2.
(1)求sin 2α和tan 2α的值;
(2)求cs(α+2β)的值.
题组二 利用二倍角公式及其变形研究函数性质
12.(2020天津第一中学高一期末,)函数y=2cs2x-π4-1是( )
A.最小正周期为π的奇函数
B.最小正周期为π的偶函数
C.最小正周期为π2的奇函数
D.最小正周期为π2的偶函数
13.(2020山东济南高一期末,)若函数f(x)=2sin ωx·csωx-π4(ω>0)的最小正周期为π2,则其图象的对称轴方程为( )
A.x=kπ4-3π16(k∈Z)B.x=kπ4+3π16(k∈Z)
C.x=kπ2+3π16(k∈Z)D.x=kπ2+3π16(k∈Z)
14.(多选)(2020安徽合肥高三联考,)已知f(x)=4cs xcsx+π3,则下列说法中正确的是( )
A.函数f(x)的最小正周期为π
B.函数f(x)在-π6,π12上单调递减
C.7π12,1是函数f(x)图象的一个对称中心
D.函数f(x)的图象可以由函数y=cs2x+π3+1图象上各点的横坐标不变,纵坐标伸长为原来的2倍得到
15.(2020四川成都七中高一期中,)若函数f(x)=sin4(x+φ)-cs4(x+φ)是偶函数,且0<φ<π,则φ= .
16.(2020安徽合肥高一期末,)若锐角φ满足sin φ-cs φ=22,求函数f(x)=sin2(x+φ)的单调递减区间.
17.(2020重庆第一中学高一期末,)已知向量a=(cs x,sin x),b=(43sin x,4sin x),若f(x)=a·(a+b).
(1)求f(x)的单调递减区间;
(2)求f(x)在区间0,π2上的最值.
18.(2020北京海淀高一期末,)已知函数f(x)=2a·sin ωxcs ωx+23cs2ωx-3(a>0,ω>0)的最大值为2,且最小正周期为π.
(1)求函数f(x)的解析式及其图象的对称轴方程;
(2)若f(α)=43,求sin4α+π6的值.
答案全解全析
第四章 三角恒等变换
§3 二倍角的三角函数公式
3.1 二倍角公式
基础过关练
1.B2.C3.D6.B7.C
8.C9.D12.B13.D
1.B 4sin 15°cs 15°=2sin 30°=1.
2.C 因为cs x=-1/4,x为第二象限角,所以sin x=√(1"-" cs^2 x)=√15/4,故sin 2x=2sin x•cs x=2×√15/4× -1/4 =-√15/8.
3.D 由sin4θ+cs4θ=5/9得(sin2θ+cs2θ)2-2sin2θcs2θ=5/9,即1-2sin2θcs2θ=5/9,所以(sin θcs θ)2=2/9,而θ为第三象限角,所以sin θcs θ=√2/3,
故sin 2θ=2sin θcs θ=(2√2)/3.
4.答案 -24/25
解析 因为x∈ π/2,3π/4 ,所以x-π/4∈ π/4,π/2 ,所以sin x-π/4 =√(1"-" cs^2 (x"-" π/4))=(7√2)/10,所以sin x=sin x-π/4 +π/4 =sin x-π/4 cs π/4+cs x-π/4 sin π/4=(7√2)/10×√2/2+√2/10×√2/2=4/5,所以cs x=-√(1"-" sin^2 x)=-√(1"-" (4/5) ^2 )=-3/5,所以sin 2x=2sin xcs x=-24/25.
5.解析 f(x)=2sin xcs x+√3cs 2x+2=sin 2x+√3cs 2x+2=2sin 2x+π/3 +2.
(1)令2kπ-π/2≤2x+π/3≤2kπ+π/2,k∈Z,得kπ-5π/12≤x≤kπ+π/12,k∈Z,
所以f(x)的单调递增区间为 kπ-5π/12,kπ+π/12 ,k∈Z.
(2)因为-π/3≤x≤π/3,所以-π/3≤2x+π/3≤π,
所以-√3/2≤sin 2x+π/3 ≤1,所以-√3+2≤f(x)≤4,
故f(x)的最大值为4,最小值为2-√3.
6.B 因为cs α=2/3,所以cs 2α=2cs2α-1=2× 2/3 2-1=-1/9.
7.C sin 5π/12+cs 5π/12 sin 5π/12-cs 5π/12 =sin25π/12-cs25π/12=-cs 5π/6=√3/2.
8.C y=2sin2x+sin 2x=1-cs 2x+sin 2x=√2sin 2x-π/4 +1,所以最小正周期T=2π/2=π,故选C.
9.D 因为α∈ π/4,π ,且3cs 2α=4sin π/4-α ,所以3(cs2α-sin2α)=4•(√2/2 csα"-" √2/2 sinα),即3(cs α-sin α)•(cs α+sin α)=2√2(cs α-sin α),
因为cs α≠sin α,所以cs α+sin α=(2√2)/3,两边分别平方可得1+sin 2α=8/9,
解得sin 2α=-1/9.
10.答案 5
解析 f(x)=1-2sin2x+6sin x=-2 sin x-3/2 2+11/2,因为sin x∈[-1,1],所以当sin x=1时,f(x)取得最大值,最大值为5.
11.解析 f(x)=5√3cs2x+√3sin2x-4sin x•cs x
=5√3cs2x+5√3sin2x-2sin 2x-4√3sin2x
=5√3-2sin 2x-2√3(1-cs 2x)
=3√3-2sin 2x+2√3cs 2x
=3√3-4 1/2sin 2x-√3/2cs 2x
=3√3-4 sin 2xcs π/3-cs 2xsin π/3
=3√3-4sin 2x-π/3 .
(1)f 5π/12 =3√3-4sin 5π/6-π/3
=3√3-4sin π/2=3√3-4.
(2)由f(α)=5√3,得3√3-4sin 2α-π/3 =5√3,整理得sin 2α-π/3 =-√3/2.
由α∈ π/2,π ,得2α-π/3∈ 2π/3,5π/3 ,
∴2α-π/3=4π/3,即α=5π/6.
12.B 由(sinα+csα)/(sinα"-" csα)=1/2,得(tanα+1)/(tanα"-" 1)=1/2,所以tan α=-3,故tan 2α=2tanα/(1"-" tan^2 α)=3/4.
13.D 因为α为锐角,且3sin α=tan α,所以cs α=1/3,所以tan α=2√2,又因为tan α=√2tan β,所以tan β=2,故tan 2β=2tanβ/(1"-" tan^2 β)=(2×2)/(1"-" 2^2 )=-4/3.
14.答案 √3
解析 因为sin 2α=2sin αcs α=-sin α,所以cs α=-1/2,又α∈ π/2,π ,所以sin α=√3/2,tan α=-√3,故tan 2α=2tanα/(1"-" tan^2 α)=("-" 2√3)/(1"-" 3)=√3.
15.答案 4
解析 1/(1+tanθ)-1/(1"-" tanθ)=("-" 2tanθ)/(1"-" tan^2 θ)=-tan 2θ=-4,故tan 2θ=4.
16.答案 3π/4
解析 因为β为锐角,且cs β=(2√5)/5,所以sin β=√5/5.所以tan β=1/2,从而tan 2β=2tanβ/(1"-" tan^2 β)=(2×1/2)/(1"-" (1/2) ^2 )=4/3.
因为β为锐角,且tan 2β>0,所以0<2β<π/2,又α为锐角,所以0<α+2β<π,
又tan(α+2β)=(tanα+tan2β)/(1"-" tanαtan2β)=(7+4/3)/(1"-" 7×4/3)=-1,
所以α+2β=3π/4.
能力提升练
1.A2.D3.B4.A5.D
6.A7.B12.A13.B14.ABC
1.A 因为sin α-π/3 =1/4,所以sin 2α-π/6 =sin 2 α-π/3 +π/2 =cs 2 α-π/3 =1-2sin2 α-π/3 =1-2× 1/4 2=7/8.
2.D (cs" " 55"°" )/√(1"-" sin" " 20"°" )=(cs" " 55"°" )/√(1"-" cs" " 70"°" )=(cs" " 55"°" )/√(2sin^2 35"°" )=(cs" " 55"°" )/(√2 sin" " 35"°" )=(sin" " 35"°" )/(√2 sin" " 35"°" )=√2/2.
3.B ∵tan π/4+α =(tan" " π/4+tanα)/(1"-" tan" " π/4 tanα)=(1+tanα)/(1"-" tanα)=1/2,∴tan α=-1/3.
∴(sin2α"-" cs^2 α)/(1+cs2α)=(2sinαcsα"-" cs^2 α)/(2cs^2 α)=(2tanα"-" 1)/2=-5/6.故选B.
4.A 因为sin π/3-α =-2/5,
所以cs (2" " 021π)/3-2α
=cs 672π+5π/3-2α
=cs 5π/3-2α
=-cs 2π/3-2α
=- 1-2sin2 π/3-α =-17/25.
5.D √(2"-" cs^2 2"-" cs4)
=√(2sin^2 2+2cs^2 2"-" cs^2 2"-" cs^2 2+sin^2 2)
=√3|sin 2|=√3sin 2.故选D.
6.A ∵a=2cs 72°,∴a2=4cs272°,可得4-a2=4-4cs272°=4sin272°,
∴√(4"-" a^2 )=2sin 72°,a√(4"-" a^2 )=2cs 72°•2sin 72°=2sin 144°=2sin 36°,
∴(1"-" 2sin^2 27"°" )/(a√(4"-" a^2 ))=cs54"°" /2sin36"°" =sin36"°" /2sin36"°" =1/2.
故选A.
7.B 因为tan240°-1<0,2tan 40°>0,所以α是第二象限角,又因为tan α=(2tan" " 40"°" )/(tan^2 40"°-" 1)=-(2tan" " 40"°" )/(1"-" tan^2 " " 40"°" )=-tan 80°=tan 100°,所以α=100°.
8.答案 2√2
解析 √(1+cs" " 100"°" )/(sin" " 20"°" cs" " 20"°" )=√(2cs^2 50"°" )/(1/2 sin" " 40"°" )=(√2 cs" " 50"°" )/(1/2 cs" " 50"°" )=2√2.
9.答案 7/9
解析 由cs(75°+α)=1/3,得cs(150°+2α)=2cs2(75°+α)-1=2×(1/3)^2-1=-7/9,故sin(60°+2α)=-cs(90°+60°+2α)=-cs(150°+2α)=7/9.
10.解析 ∵cs x=√10/10,x∈ -π/2,0 ,
∴sin x=-√(1"-" cs^2 x)=-(3√10)/10.
∴sin 2x=2sin xcs x=-3/5.
∴√2/2cs 2x+π/4 +sin2x
=√2/2 cs 2xcs π/4-sin 2xsin π/4 +(1"-" cs2x)/2
=1/2-1/2sin 2x=1/2-1/2× -3/5 =4/5.
11.解析 (1)由题意得(sin α+cs α)2=9/5,即1+sin 2α=9/5,∴sin 2α=4/5,又易知2α∈ 0,π/2 ,∴cs 2α=√(1"-" sin^2 2α)=3/5,∴tan 2α=sin2α/cs2α=4/3.
(2)∵β∈ π/4,π/2 ,∴β-π/4∈ 0,π/4 ,又sin β-π/4 =3/5,
∴cs β-π/4 =4/5,∴sin 2 β-π/4 =2sin β-π/4 cs β-π/4 =24/25.
又sin 2 β-π/4 =-cs 2β,
∴cs 2β=-24/25.
易知2β∈ π/2,π ,∴sin 2β=7/25.
又cs2α=(1+cs2α)/2=4/5,
∴cs α=(2√5)/5,∴sin α=√5/5,
∴cs(α+2β)=cs αcs 2β-sin αsin 2β=(2√5)/5× -24/25 -√5/5×7/25=-(11√5)/25.
12.A 由于y=2cs2 x-π/4 -1=cs 2x-π/2 =sin 2x,且其定义域为R,所以函数为奇函数,最小正周期T=2π/2=π.
13.B f(x)=√2sin ωx•cs ωx-π/4 =√2sin ωx• √2/2cs ωx+√2/2sin ωx =sin ωxcs ωx+sin2ωx=1/2sin 2ωx+(1"-" cs2ωx)/2=√2/2sin 2ωx-π/4 +1/2.因为函数f(x)的最小正周期为π/2,所以2π/2ω=π/2,解得ω=2.所以f(x)=√2/2sin 4x-π/4 +1/2,令4x-π/4=kπ+π/2(k∈Z),解得x=kπ/4+3π/16(k∈Z),故f(x)的图象的对称轴方程为x=kπ/4+3π/16(k∈Z).
14.ABC 由于f(x)=4cs xcs(x+π/3)=4cs x cs xcs π/3-sin xsin π/3 =2cs2x-√3sin 2x=cs 2x+1-√3sin 2x=2cs(2x+π/3)+1,所以最小正周期T=2π/2=π,故A正确;当x∈["-" π/6 "," π/12]时,2x+π/3∈[0"," π/2],令t=2x+π/3,t∈ 0,π/2 ,因为t=2x+π/3在["-" π/6 "," π/12]上为增函数,y=2cs t+1在[0"," π/2]上为减函数,所以f(x)在["-" π/6 "," π/12]上为减函数,故B正确;令2x+π/3=kπ+π/2,k∈Z,当k=1时,x=7π/12,故(7π/12 "," 1)为f(x)图象的一个对称中心,故C正确;函数f(x)的图象可以由函数y=cs(2x+π/3)+1/2图象上各点的横坐标不变,纵坐标伸长为原来的2倍得到,而函数y=cs(2x+π/3)+1图象上各点的横坐标不变,纵坐标伸长为原来的2倍得到的是y=2cs(2x+π/3)+2的图象,故D错误.
15.答案 π/2
解析 因为f(x)=sin4(x+φ)-cs4(x+φ)=sin2(x+φ)-cs2(x+φ)=-cs(2x+2φ)是偶函数,且0<2φ<2π,所以2φ=π,故φ=π/2.
16.解析 因为sin φ-cs φ=√2/2,所以1-sin 2φ=1/2,即sin 2φ=1/2,又φ为锐角,所以φ=π/12或5π/12.因为sin φ-cs φ=√2/2>0,所以锐角φ∈ π/4,π/2 ,所以φ=5π/12.所以f(x)=sin2 x+5π/12 =(1"-" cs(2x+5π/6))/2=-1/2•cs 2x+5π/6 +1/2.令2kπ-π≤2x+5π/6≤2kπ,k∈Z,解得kπ-11π/12≤x≤kπ-5π/12,k∈Z,故f(x)的单调递减区间是 kπ-11π/12,kπ-5π/12 (k∈Z).
17.解析 f(x)=a•(a+b)=|a|2+a•b=1+4√3sin xcs x+4sin2x
=1+2√3sin 2x+4•(1"-" cs2x)/2
=2√3sin 2x-2cs 2x+3
=4sin 2x-π/6 +3.
(1)令π/2+2kπ≤2x-π/6≤3π/2+2kπ(k∈Z),解得π/3+kπ≤x≤5π/6+kπ(k∈Z),
所以f(x)的单调递减区间是 π/3+kπ,5π/6+kπ (k∈Z).
(2)因为x∈ 0,π/2 ,所以2x-π/6∈["-" π/6 "," 5π/6],
故当2x-π/6=π/2,即x=π/3时,函数取最大值,最大值为4sin π/2+3=7;
当2x-π/6=-π/6,即x=0时,函数取最小值,最小值为4sin -π/6 +3=1.
18.解析 (1)f(x)=asin 2ωx+√(" " &3)cs 2ωx=√(a^2+3)sin(2ωx+φ),其中cs φ=a/√(a^2+3),sin φ=√3/√(a^2+3),
因为f(x)的最小正周期为π,所以2π/2ω=π,得ω=1,
因为f(x)的最大值为2,所以√(a^2+3)=2,又a>0,所以a=1,所以cs φ=1/2,sin φ=√3/2,不妨取φ=π/3.
所以f(x)=2sin 2x+π/3 ,令2x+π/3=π/2+kπ,k∈Z,解得x=π/12+kπ/2,k∈Z,故f(x)的图象的对称轴方程为x=π/12+kπ/2(k∈Z).
(2)由f(α)=4/3知2sin 2α+π/3 =4/3,即sin 2α+π/3 =2/3,
所以sin 4α+π/6 =sin 2 2α+π/3 -π/2 =-cs 2 2α+π/3 =-1+2sin2 2α+π/3 =-1+2×(2/3)^2=-1/9.
3.1 二倍角公式
基础过关练
题组一 二倍角的正弦公式及其应用
1.4sin 15°cs 15°=( )
A.12B.1C.3D.32
2.(2020吉林大学附中高一期末)若cs x=-14,x为第二象限角,则sin 2x等于( )
A.±158B.158C.-158D.-154
3.已知θ为第三象限角,且sin4θ+cs4θ=59,则sin 2θ=( )
A.-23B.23C.-223D.223
4.(2020河北石家庄高一联考)已知csx-π4=210,x∈π2,3π4,则sin 2x= .
5.已知函数f(x)=2sin xcs x+3cs 2x+2.
(1)求f(x)的单调递增区间;
(2)求函数f(x)在区间-π3,π3上的最小值和最大值.
题组二 二倍角的余弦公式及其应用
6.已知cs α=23,则cs 2α=( )
A.19B.-19C.13D.-13
7.(2020山东东营一中高一期末)sin 5π12+cs 5π12·sin 5π12-cs 5π12=( )
A.12B.-12C.32D.-32
8.(2020辽宁沈阳高一期末)函数y=2sin2x+sin 2x的最小正周期是( )
A.π4B.π2C.πD.2π
9.(2020山东滕州一中高一期末)若α∈π4,π,且3cs 2α=4sinπ4-α,则sin 2α的值为( )
A.79B.-79C.19D.-19
10.函数f(x)=cs 2x+6csπ2-x的最大值为 .
11.已知函数f(x)=53cs2x+3sin2x-4sin xcs x.
(1)求f5π12;
(2)若f(α)=53,α∈π2,π,求角α.
题组三 二倍角的正切公式及其应用
12.(2020山东东营广饶一中高一期末)若sinα+csαsinα-csα=12,则tan 2α=( )
A.-34B.34C.-43D.43
13.(2020河北唐山高三期末)若α为锐角,3sin α=tan α=2tan β,则tan 2β=( )
A.34B.43C.-34D.-43
14.(2020江苏镇江高二期末)设sin 2α+sin α=0,α∈π2,π,则tan 2α= .
15.(2020安徽阜阳高一期末)若11+tanθ-11-tanθ=-4,则tan 2θ等于 .
16.已知α,β均为锐角,且tan α=7,cs β=255,则α+2β= .
能力提升练
题组一 利用二倍角公式及其变形求值
1.(2020福建三明高一期末,)已知sinα-π3=14,则sin2α-π6=( )
A.78B.-78
C.1516D.±1516
2.(2020山东日照高一期末,)cs 55°1-sin 20°等于( )
A.32B.33C.2D.22
3.(2019陕西西安高一期末,)已知tanπ4+α=12,则sin2α-cs2α1+cs2α的值为( )
A.-53B.-56C.-16D.-32
4.(2020浙江宁波高一期中,)已知sinπ3-α=-25,则cs2 021π3-2α=( )
A.-1725B.-78C.1725D.78
5.(2019广东广州高一期末,)化简2-cs22-cs4的结果是( )
A.sin 2B.-cs 2
C.-3cs 2D.3sin 2
6.()黄金分割比是指将整体一分为二,较大部分与整体部分的比值等于较小部分与较大部分的比值,其比值为5-12,约为0.618,这一比值也可以表示为a=2cs 72°,则1-2sin227°a4-a2=( )
A.12B.1C.2D.14
7.(2020山东济宁高一期末,)已知角α(0°≤α<360°)的终边上有一点M(tan240°-1,2tan 40°),则角α等于( )
A.80°B.100°C.280°D.140°
8.(2020安徽安庆高一检测,)1+cs 100°sin 20°cs 20°= .
9.(2020广东深圳高一期末,)若cs(75°+α)=13,则sin(60°+2α)= .
10.(2020山西太原高一检测,)已知cs x=1010,且x∈-π2,0,求22cs2x+π4+sin2x的值.
11.(2020河北沧州高一期末,)已知sin α+cs α=355,α∈0,π4,sinβ-π4=35,β∈π4,π2.
(1)求sin 2α和tan 2α的值;
(2)求cs(α+2β)的值.
题组二 利用二倍角公式及其变形研究函数性质
12.(2020天津第一中学高一期末,)函数y=2cs2x-π4-1是( )
A.最小正周期为π的奇函数
B.最小正周期为π的偶函数
C.最小正周期为π2的奇函数
D.最小正周期为π2的偶函数
13.(2020山东济南高一期末,)若函数f(x)=2sin ωx·csωx-π4(ω>0)的最小正周期为π2,则其图象的对称轴方程为( )
A.x=kπ4-3π16(k∈Z)B.x=kπ4+3π16(k∈Z)
C.x=kπ2+3π16(k∈Z)D.x=kπ2+3π16(k∈Z)
14.(多选)(2020安徽合肥高三联考,)已知f(x)=4cs xcsx+π3,则下列说法中正确的是( )
A.函数f(x)的最小正周期为π
B.函数f(x)在-π6,π12上单调递减
C.7π12,1是函数f(x)图象的一个对称中心
D.函数f(x)的图象可以由函数y=cs2x+π3+1图象上各点的横坐标不变,纵坐标伸长为原来的2倍得到
15.(2020四川成都七中高一期中,)若函数f(x)=sin4(x+φ)-cs4(x+φ)是偶函数,且0<φ<π,则φ= .
16.(2020安徽合肥高一期末,)若锐角φ满足sin φ-cs φ=22,求函数f(x)=sin2(x+φ)的单调递减区间.
17.(2020重庆第一中学高一期末,)已知向量a=(cs x,sin x),b=(43sin x,4sin x),若f(x)=a·(a+b).
(1)求f(x)的单调递减区间;
(2)求f(x)在区间0,π2上的最值.
18.(2020北京海淀高一期末,)已知函数f(x)=2a·sin ωxcs ωx+23cs2ωx-3(a>0,ω>0)的最大值为2,且最小正周期为π.
(1)求函数f(x)的解析式及其图象的对称轴方程;
(2)若f(α)=43,求sin4α+π6的值.
答案全解全析
第四章 三角恒等变换
§3 二倍角的三角函数公式
3.1 二倍角公式
基础过关练
1.B2.C3.D6.B7.C
8.C9.D12.B13.D
1.B 4sin 15°cs 15°=2sin 30°=1.
2.C 因为cs x=-1/4,x为第二象限角,所以sin x=√(1"-" cs^2 x)=√15/4,故sin 2x=2sin x•cs x=2×√15/4× -1/4 =-√15/8.
3.D 由sin4θ+cs4θ=5/9得(sin2θ+cs2θ)2-2sin2θcs2θ=5/9,即1-2sin2θcs2θ=5/9,所以(sin θcs θ)2=2/9,而θ为第三象限角,所以sin θcs θ=√2/3,
故sin 2θ=2sin θcs θ=(2√2)/3.
4.答案 -24/25
解析 因为x∈ π/2,3π/4 ,所以x-π/4∈ π/4,π/2 ,所以sin x-π/4 =√(1"-" cs^2 (x"-" π/4))=(7√2)/10,所以sin x=sin x-π/4 +π/4 =sin x-π/4 cs π/4+cs x-π/4 sin π/4=(7√2)/10×√2/2+√2/10×√2/2=4/5,所以cs x=-√(1"-" sin^2 x)=-√(1"-" (4/5) ^2 )=-3/5,所以sin 2x=2sin xcs x=-24/25.
5.解析 f(x)=2sin xcs x+√3cs 2x+2=sin 2x+√3cs 2x+2=2sin 2x+π/3 +2.
(1)令2kπ-π/2≤2x+π/3≤2kπ+π/2,k∈Z,得kπ-5π/12≤x≤kπ+π/12,k∈Z,
所以f(x)的单调递增区间为 kπ-5π/12,kπ+π/12 ,k∈Z.
(2)因为-π/3≤x≤π/3,所以-π/3≤2x+π/3≤π,
所以-√3/2≤sin 2x+π/3 ≤1,所以-√3+2≤f(x)≤4,
故f(x)的最大值为4,最小值为2-√3.
6.B 因为cs α=2/3,所以cs 2α=2cs2α-1=2× 2/3 2-1=-1/9.
7.C sin 5π/12+cs 5π/12 sin 5π/12-cs 5π/12 =sin25π/12-cs25π/12=-cs 5π/6=√3/2.
8.C y=2sin2x+sin 2x=1-cs 2x+sin 2x=√2sin 2x-π/4 +1,所以最小正周期T=2π/2=π,故选C.
9.D 因为α∈ π/4,π ,且3cs 2α=4sin π/4-α ,所以3(cs2α-sin2α)=4•(√2/2 csα"-" √2/2 sinα),即3(cs α-sin α)•(cs α+sin α)=2√2(cs α-sin α),
因为cs α≠sin α,所以cs α+sin α=(2√2)/3,两边分别平方可得1+sin 2α=8/9,
解得sin 2α=-1/9.
10.答案 5
解析 f(x)=1-2sin2x+6sin x=-2 sin x-3/2 2+11/2,因为sin x∈[-1,1],所以当sin x=1时,f(x)取得最大值,最大值为5.
11.解析 f(x)=5√3cs2x+√3sin2x-4sin x•cs x
=5√3cs2x+5√3sin2x-2sin 2x-4√3sin2x
=5√3-2sin 2x-2√3(1-cs 2x)
=3√3-2sin 2x+2√3cs 2x
=3√3-4 1/2sin 2x-√3/2cs 2x
=3√3-4 sin 2xcs π/3-cs 2xsin π/3
=3√3-4sin 2x-π/3 .
(1)f 5π/12 =3√3-4sin 5π/6-π/3
=3√3-4sin π/2=3√3-4.
(2)由f(α)=5√3,得3√3-4sin 2α-π/3 =5√3,整理得sin 2α-π/3 =-√3/2.
由α∈ π/2,π ,得2α-π/3∈ 2π/3,5π/3 ,
∴2α-π/3=4π/3,即α=5π/6.
12.B 由(sinα+csα)/(sinα"-" csα)=1/2,得(tanα+1)/(tanα"-" 1)=1/2,所以tan α=-3,故tan 2α=2tanα/(1"-" tan^2 α)=3/4.
13.D 因为α为锐角,且3sin α=tan α,所以cs α=1/3,所以tan α=2√2,又因为tan α=√2tan β,所以tan β=2,故tan 2β=2tanβ/(1"-" tan^2 β)=(2×2)/(1"-" 2^2 )=-4/3.
14.答案 √3
解析 因为sin 2α=2sin αcs α=-sin α,所以cs α=-1/2,又α∈ π/2,π ,所以sin α=√3/2,tan α=-√3,故tan 2α=2tanα/(1"-" tan^2 α)=("-" 2√3)/(1"-" 3)=√3.
15.答案 4
解析 1/(1+tanθ)-1/(1"-" tanθ)=("-" 2tanθ)/(1"-" tan^2 θ)=-tan 2θ=-4,故tan 2θ=4.
16.答案 3π/4
解析 因为β为锐角,且cs β=(2√5)/5,所以sin β=√5/5.所以tan β=1/2,从而tan 2β=2tanβ/(1"-" tan^2 β)=(2×1/2)/(1"-" (1/2) ^2 )=4/3.
因为β为锐角,且tan 2β>0,所以0<2β<π/2,又α为锐角,所以0<α+2β<π,
又tan(α+2β)=(tanα+tan2β)/(1"-" tanαtan2β)=(7+4/3)/(1"-" 7×4/3)=-1,
所以α+2β=3π/4.
能力提升练
1.A2.D3.B4.A5.D
6.A7.B12.A13.B14.ABC
1.A 因为sin α-π/3 =1/4,所以sin 2α-π/6 =sin 2 α-π/3 +π/2 =cs 2 α-π/3 =1-2sin2 α-π/3 =1-2× 1/4 2=7/8.
2.D (cs" " 55"°" )/√(1"-" sin" " 20"°" )=(cs" " 55"°" )/√(1"-" cs" " 70"°" )=(cs" " 55"°" )/√(2sin^2 35"°" )=(cs" " 55"°" )/(√2 sin" " 35"°" )=(sin" " 35"°" )/(√2 sin" " 35"°" )=√2/2.
3.B ∵tan π/4+α =(tan" " π/4+tanα)/(1"-" tan" " π/4 tanα)=(1+tanα)/(1"-" tanα)=1/2,∴tan α=-1/3.
∴(sin2α"-" cs^2 α)/(1+cs2α)=(2sinαcsα"-" cs^2 α)/(2cs^2 α)=(2tanα"-" 1)/2=-5/6.故选B.
4.A 因为sin π/3-α =-2/5,
所以cs (2" " 021π)/3-2α
=cs 672π+5π/3-2α
=cs 5π/3-2α
=-cs 2π/3-2α
=- 1-2sin2 π/3-α =-17/25.
5.D √(2"-" cs^2 2"-" cs4)
=√(2sin^2 2+2cs^2 2"-" cs^2 2"-" cs^2 2+sin^2 2)
=√3|sin 2|=√3sin 2.故选D.
6.A ∵a=2cs 72°,∴a2=4cs272°,可得4-a2=4-4cs272°=4sin272°,
∴√(4"-" a^2 )=2sin 72°,a√(4"-" a^2 )=2cs 72°•2sin 72°=2sin 144°=2sin 36°,
∴(1"-" 2sin^2 27"°" )/(a√(4"-" a^2 ))=cs54"°" /2sin36"°" =sin36"°" /2sin36"°" =1/2.
故选A.
7.B 因为tan240°-1<0,2tan 40°>0,所以α是第二象限角,又因为tan α=(2tan" " 40"°" )/(tan^2 40"°-" 1)=-(2tan" " 40"°" )/(1"-" tan^2 " " 40"°" )=-tan 80°=tan 100°,所以α=100°.
8.答案 2√2
解析 √(1+cs" " 100"°" )/(sin" " 20"°" cs" " 20"°" )=√(2cs^2 50"°" )/(1/2 sin" " 40"°" )=(√2 cs" " 50"°" )/(1/2 cs" " 50"°" )=2√2.
9.答案 7/9
解析 由cs(75°+α)=1/3,得cs(150°+2α)=2cs2(75°+α)-1=2×(1/3)^2-1=-7/9,故sin(60°+2α)=-cs(90°+60°+2α)=-cs(150°+2α)=7/9.
10.解析 ∵cs x=√10/10,x∈ -π/2,0 ,
∴sin x=-√(1"-" cs^2 x)=-(3√10)/10.
∴sin 2x=2sin xcs x=-3/5.
∴√2/2cs 2x+π/4 +sin2x
=√2/2 cs 2xcs π/4-sin 2xsin π/4 +(1"-" cs2x)/2
=1/2-1/2sin 2x=1/2-1/2× -3/5 =4/5.
11.解析 (1)由题意得(sin α+cs α)2=9/5,即1+sin 2α=9/5,∴sin 2α=4/5,又易知2α∈ 0,π/2 ,∴cs 2α=√(1"-" sin^2 2α)=3/5,∴tan 2α=sin2α/cs2α=4/3.
(2)∵β∈ π/4,π/2 ,∴β-π/4∈ 0,π/4 ,又sin β-π/4 =3/5,
∴cs β-π/4 =4/5,∴sin 2 β-π/4 =2sin β-π/4 cs β-π/4 =24/25.
又sin 2 β-π/4 =-cs 2β,
∴cs 2β=-24/25.
易知2β∈ π/2,π ,∴sin 2β=7/25.
又cs2α=(1+cs2α)/2=4/5,
∴cs α=(2√5)/5,∴sin α=√5/5,
∴cs(α+2β)=cs αcs 2β-sin αsin 2β=(2√5)/5× -24/25 -√5/5×7/25=-(11√5)/25.
12.A 由于y=2cs2 x-π/4 -1=cs 2x-π/2 =sin 2x,且其定义域为R,所以函数为奇函数,最小正周期T=2π/2=π.
13.B f(x)=√2sin ωx•cs ωx-π/4 =√2sin ωx• √2/2cs ωx+√2/2sin ωx =sin ωxcs ωx+sin2ωx=1/2sin 2ωx+(1"-" cs2ωx)/2=√2/2sin 2ωx-π/4 +1/2.因为函数f(x)的最小正周期为π/2,所以2π/2ω=π/2,解得ω=2.所以f(x)=√2/2sin 4x-π/4 +1/2,令4x-π/4=kπ+π/2(k∈Z),解得x=kπ/4+3π/16(k∈Z),故f(x)的图象的对称轴方程为x=kπ/4+3π/16(k∈Z).
14.ABC 由于f(x)=4cs xcs(x+π/3)=4cs x cs xcs π/3-sin xsin π/3 =2cs2x-√3sin 2x=cs 2x+1-√3sin 2x=2cs(2x+π/3)+1,所以最小正周期T=2π/2=π,故A正确;当x∈["-" π/6 "," π/12]时,2x+π/3∈[0"," π/2],令t=2x+π/3,t∈ 0,π/2 ,因为t=2x+π/3在["-" π/6 "," π/12]上为增函数,y=2cs t+1在[0"," π/2]上为减函数,所以f(x)在["-" π/6 "," π/12]上为减函数,故B正确;令2x+π/3=kπ+π/2,k∈Z,当k=1时,x=7π/12,故(7π/12 "," 1)为f(x)图象的一个对称中心,故C正确;函数f(x)的图象可以由函数y=cs(2x+π/3)+1/2图象上各点的横坐标不变,纵坐标伸长为原来的2倍得到,而函数y=cs(2x+π/3)+1图象上各点的横坐标不变,纵坐标伸长为原来的2倍得到的是y=2cs(2x+π/3)+2的图象,故D错误.
15.答案 π/2
解析 因为f(x)=sin4(x+φ)-cs4(x+φ)=sin2(x+φ)-cs2(x+φ)=-cs(2x+2φ)是偶函数,且0<2φ<2π,所以2φ=π,故φ=π/2.
16.解析 因为sin φ-cs φ=√2/2,所以1-sin 2φ=1/2,即sin 2φ=1/2,又φ为锐角,所以φ=π/12或5π/12.因为sin φ-cs φ=√2/2>0,所以锐角φ∈ π/4,π/2 ,所以φ=5π/12.所以f(x)=sin2 x+5π/12 =(1"-" cs(2x+5π/6))/2=-1/2•cs 2x+5π/6 +1/2.令2kπ-π≤2x+5π/6≤2kπ,k∈Z,解得kπ-11π/12≤x≤kπ-5π/12,k∈Z,故f(x)的单调递减区间是 kπ-11π/12,kπ-5π/12 (k∈Z).
17.解析 f(x)=a•(a+b)=|a|2+a•b=1+4√3sin xcs x+4sin2x
=1+2√3sin 2x+4•(1"-" cs2x)/2
=2√3sin 2x-2cs 2x+3
=4sin 2x-π/6 +3.
(1)令π/2+2kπ≤2x-π/6≤3π/2+2kπ(k∈Z),解得π/3+kπ≤x≤5π/6+kπ(k∈Z),
所以f(x)的单调递减区间是 π/3+kπ,5π/6+kπ (k∈Z).
(2)因为x∈ 0,π/2 ,所以2x-π/6∈["-" π/6 "," 5π/6],
故当2x-π/6=π/2,即x=π/3时,函数取最大值,最大值为4sin π/2+3=7;
当2x-π/6=-π/6,即x=0时,函数取最小值,最小值为4sin -π/6 +3=1.
18.解析 (1)f(x)=asin 2ωx+√(" " &3)cs 2ωx=√(a^2+3)sin(2ωx+φ),其中cs φ=a/√(a^2+3),sin φ=√3/√(a^2+3),
因为f(x)的最小正周期为π,所以2π/2ω=π,得ω=1,
因为f(x)的最大值为2,所以√(a^2+3)=2,又a>0,所以a=1,所以cs φ=1/2,sin φ=√3/2,不妨取φ=π/3.
所以f(x)=2sin 2x+π/3 ,令2x+π/3=π/2+kπ,k∈Z,解得x=π/12+kπ/2,k∈Z,故f(x)的图象的对称轴方程为x=π/12+kπ/2(k∈Z).
(2)由f(α)=4/3知2sin 2α+π/3 =4/3,即sin 2α+π/3 =2/3,
所以sin 4α+π/6 =sin 2 2α+π/3 -π/2 =-cs 2 2α+π/3 =-1+2sin2 2α+π/3 =-1+2×(2/3)^2=-1/9.
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