高中北师大版 (2019)2.3 复数乘法几何意义初探课后作业题

第五章　复数

2.2　复数的乘法与除法

*2.3　复数乘法几何意义初探

基础过关练

题组一　复数的乘法及运算律

1.(2020黑龙江牡丹江第一高级中学高二上学期期末)复数z=(1+2i)(2+i),则z=(　　)

A.-5i B.5i C.1+5i D.1-5i

2.(2020安徽芜湖高三上学期期中)1+i,i3,i(1+i),(1-i)2中纯虚数的个数为(　　)

A.1 B.2 C.3 D.4

3.设复数z=1+bi(b∈R)且z2=-3+4i,则的虚部为(　　)

A.-2 B.-4 C.2 D.4

4.(2020广东湛江高三二模)(+4i)·i5=(　　)

A.-+4i B.-4-i

C.-4+i D.--4i

5.(2020黑龙江哈尔滨三中高二上月考)设复数z1=1+i,z2=2+xi(x∈R),若z1·z2∈R,则x的值等于　　　　. 

6.若1+i是实系数一元二次方程x2+px+q=0的一个根,则p+q=　　　　. 

7.计算:

(1)(1-i)-+i(1+i);

(2)(+i)2(4+5i).

8.已知z∈C,解方程z-3i=1+3i.

题组二　复数的除法运算

9.(2020吉林大学附属中学高二上学期期末)已知i是虚数单位,则复数=(　　)

A.i-2 B.i+2 C.-2 D.2

10.(2020重庆第一中学高三上学期期末)复数z=(i为虚数单位)在复平面内对应的点位于(　　)

A.第一象限 B.第二象限

C.第三象限 D.第四象限

11.(2020四川绵阳高三第二次诊断性测试)已知i为虚数单位,复数z满足z·i=1+2i,则z=(　　)

A.2-i B.2+i

C.1-2i D.i-2

12.(2020四川成都第七中学高三上学期一诊)复数z的虚部记作Im z,则Im=(　　)

A.-1 B.0 C.1 D.2

13.(2020黑龙江大庆高三第二次教学质量检测)若复数z满足(1-i)z=2i,则z·=(　　)

A. B. C.2 D.4

14.(多选)(2020山东九校高三上学期联考)已知复数z=,i为虚数单位,则(　　)

A.|z|=2 B.=i

C.z2=1 D.z的虚部为-1

15.若复数z满足(3+i)z=2-i(i为虚数单位),则z=　　　　;|z|=　　　　. 

16.(2020上海宝山高三下学期二模)已知复数z满足z(1+i2 020)=2-4i(其中i为虚数单位),则z=　　　　. 

17.已知z1=5+10i,z2=3-4i,=+,求z.

题组三　复数乘法的几何意义

18.在复平面内,复数z=i(1+2i)对应的点位于(　　)

A.第一象限 B.第二象限

C.第三象限 D.第四象限

19.已知z=i(2-i),则|z|=(　　)

A. B. C. D.2

20.若i(bi+1)是纯虚数,i是虚数单位,则实数b=　　　　. 

能力提升练

题组一　复数的混合运算

1.(2019重庆巴南高三上学期期末,)复数-(i是虚数单位)的虚部为(　　)

A.1 B.-1 C.i D.-i

2.(2020辽宁沈阳一模,)已知复数z满足z-=0,且z·=4,则z=(　　)

A.2 B.2i C.±2 D.±2i

3.(2020安徽合肥高二下学期联考,)设复数z=2 020(其中i为虚数单位),则复数z的共轭复数在复平面内对应的点位于(　　)

A.第一象限 B.第二象限

C.第三象限 D.第四象限

4.(2020湖南张家界高二上学期期末,)设z-2i=,则|z|=　　　　. 

5.(2020山东肥城高二下学期期中,)若f(n)=n+n(n∈N*),则f(n)的所有取值构成的集合为　　　　. 

6.(2020北京八一中学高二期末,)若复数z满足z+·+=,且z-·->0,则|z|=　　　　. 

7.(2020河南南阳一中高二下月考,)已知复数z满足|z|=1,且复数zi+为实数.

(1)求复数z;

(2)求的值.

题组二　复数运算中的参数问题

8.(2020福建厦门外国语学校高三上学期月考,)已知复数z=,其中b∈R,i为虚数单位,且|z|=5,则b=　　　　. 

9.(2020江西南师附中高二期末,)设x,y为实数,且+=,则x+y=　　　　. 

10.(2020陕西宝鸡中学高二上期末,)已知复数z=1+i,则使az+2b=(a+2z)2成立的实数a,b的值分别为　　　　. 

11.(2020安徽合肥一六八中学高二期末,)已知复数z=1+i.

(1)化简:w=z2+3-4;

(2)如果=1-i,求实数a,b的值.

12.(2020山西晋城一中高二期末,)已知z是复数,z+2i与均为实数(i为虚数单位),且复数(z+ai)2(a∈R)在复平面内对应的点在第一象限.

(1)求复数z;

(2)求实数a的取值范围.

答案全解全析

第五章　复数

2.2　复数的乘法与除法

*2.3　复数乘法几何意义初探

基础过关练

1.B 2.B 3.A 4.C 9.B

10.D 11.A 12.A 13.C 14.BD

18.B 19.C   

1.B　z=(1+2i)(2+i)=2+4i+i+2i2=5i.

故选B.

2.B　∵i3=-i,i(1+i)=-1+i,(1-i)2=-2i,

∴纯虚数有i3和(1-i)2,共2个.

故选B.

3.A　z2=1-b2+2bi=-3+4i,∴b=2,∴z=1+2i,∴¯z=1-2i,∴¯z的虚部为-2.

4.C　由题意得(√2+4i)•i5=(√2+4i)•(i2)2•i=(√2+4i)•i=-4+√2i.故选C.

5.答案　-2

解析　∵z1=1+i,z2=2+xi(x∈R),

∴z1•z2=(1+i)(2+xi)=(2-x)+(x+2)i,

∵z1•z2∈R,∴x+2=0,解得x=-2.

6.答案　0

解析　由题意可得,实系数一元二次方程x2+px+q=0的两个虚根分别为1+i和1-i,

由根与系数的关系得{■("(" 1+i")" +"(" 1"-" i")" ="-" p"," @"(" 1+i")(" 1"-" i")" =q"," )┤

解得{■(p="-" 2"," @q=2"," )┤因此,p+q=0.

7.解析　(1)解法一:(1-i) -1/2+√3/2i (1+i)

= -1/2+√3/2i+1/2i-√3/2i2 (1+i)

= (√3 "-" 1)/2+(√3+1)/2i (1+i)

=(√3 "-" 1)/2+(√3+1)/2i+(√3 "-" 1)/2i+(√3+1)/2i2

=-1+√3i.

解法二:原式=(1-i)(1+i) -1/2+√3/2i

=(1-i2) -1/2+√3/2i

=2 -1/2+√3/2i =-1+√3i.

(2)(√2+√2i)2(4+5i)=2(1+i)2(4+5i)

=4i(4+5i)=-20+16i.

8.解析　设z=a+bi(a,b∈R),则¯z=a-bi,

原方程即(a+bi)(a-bi)-3(a-bi)i=1+3i,

即a2+b2-3b-3ai=1+3i,

由两个复数相等的定义得{■(a^2+b^2 "-" 3b=1"," @"-" 3a=3"," )┤

解得{■(a="-" 1"," @b=0)┤或{■(a="-" 1"," @b=3"," )┤

所以z=-1或z=-1+3i.

9.B　5/(2"-" i)=(5"(" 2+i")" )/("(" 2"-" i")(" 2+i")" )=(10+5i)/(4"-(-" 1")" )=2+i.

故选B.

10.D　z=(3"-" 4i)/(1"-" i)=("(" 3"-" 4i")(" 1+i")" )/("(" 1"-" i")(" 1+i")" )=(3"-" i+4)/2=7/2-1/2i,故z在复平面内对应的点位于第四象限.故选D.

11.A　由题意得z=(1+2i)/i=2-i.故选A.

12.A　∵(3+i)/(1+i)=("(" 3+i")(" 1"-" i")" )/("(" 1+i")(" 1"-" i")" )=(4"-" 2i)/2=2-i,

∴Im (3+i)/(1+i) =-1.

13.C　(1-i)z=2i,∴z=2i/(1"-" i)=(2i"(" 1+i")" )/("(" 1"-" i")(" 1+i")" )=-1+i,故z•¯z=(-1+i)(-1-i)=2.

故选C.

14.BD　由题意得z=(1"-" 3i)/(3+i)=("(" 1"-" 3i")(" 3"-" i")" )/("(" 3+i")(" 3"-" i")" )=(3"-" 10i+3i^2)/(9"-" i^2 )=-i,

所以|z|=1,¯z=i,z2=(-i)2=-1,z的虚部为-1.故选BD.

15.答案　1/2-1/2i;√2/2

解析　∵(3+i)z=2-i,

∴z=(2"-" i)/(3+i)=("(" 2"-" i")(" 3"-" i")" )/("(" 3+i")(" 3"-" i")" )=(5"-" 5i)/10=1/2-1/2i,

∴|z|=√((1/2) ^2+("-"  1/2) ^2 )=√2/2.

16.答案　1-2i

解析　因为z(1+i2 020)=2-4i,

所以z=(2"-" 4i)/(1+i^(2" " 020) )=(2"-" 4i)/(1+"(" i^4 ")" ^505 )=(2"-" 4i)/2=1-2i.

17.解析　1/z=1/z_1 +1/z_2 =(z_1+z_2)/(z_1 z_2 ),

∴z=(z_1 z_2)/(z_1+z_2 )=("(" 5+10i")(" 3"-" 4i")" )/("(" 5+10i")" +"(" 3"-" 4i")" )=(55+10i)/(8+6i)=("(" 55+10i")(" 8"-" 6i")" )/("(" 8+6i")(" 8"-" 6i")" )=5-5/2i.

18.B　解法一:复数z=i(1+2i)在复平面内对应的点可看作是由复数z1=1+2i对应的点绕原点逆时针旋转π/2得到的,而复数z1=1+2i对应的点在第一象限,所以复数z=i(1+2i)在复平面内对应的点位于第二象限.

解法二:z=i(1+2i)=-2+i,对应的点为(-2,1),位于第二象限.

19.C　解法一:复数z=i(2-i)对应的向量(OZ) ⃗可看作是由复数z1=2-i对应的向量(OZ_1 ) ⃗逆时针旋转π/2得到的,所以|z|=|z1|=√(2^2+"(-" 1")" ^2 )=√5.

解法二:因为z=i(2-i)=1+2i,

所以|z|=|1+2i|=√5.

故选C.

20.答案　0

解析　解法一:将复数bi+1对应的向量逆时针旋转π/2得到复数i(bi+1)对应的向量,又复数i(bi+1)是纯虚数,所以它在复平面上对应的点在虚轴上,所以复数bi+1对应的点在实轴上,所以b=0.

解法二:因为i(bi+1)=-b+i,该复数为纯虚数,所以-b=0,解得b=0.

能力提升练

1.A 2.C 3.C  

1.A　1/(1"-" i)-i^3/(1"-" i)=(1"-" i^3)/(1"-" i)=("(" 1"-" i")(" 1+i+i^2 ")" )/(1"-" i)=i,

故虚部为1.

2.C　设z=x+yi(x,y∈R),则¯z=x-yi,

∵z-¯z=0,且z•¯z=4,∴{■(2yi=0"," @x^2+y^2=4"," )┤得{■(y=0"," @x=±2"," )┤∴z=±2.故选C.

3.C　设ω=("-" 1+√3 i)/2,则ω2=("-" 2"-" 2√3 i)/4=("-" 1"-" √3 i)/2,ω3=ω•ω2=("-" 1+√3 i)/2×("-" 1"-" √3 i)/2=1,

所以z=ω2 020=ω673×3+1=(ω3)673•ω=ω,

所以¯z=-1/2-√3/2i,对应的点在第三象限.

故选C.

4.答案　1

解析　∵z-2i=(1"-" i)/(1+i)=("(" 1"-" i")" ^2)/("(" 1+i")(" 1"-" i")" )=-i,

∴z=2i-i=i,则|z|=1.

5.答案　{-2,0,2}

解析　因为f(n)= (1+i)/(1"-" i) n+ (1"-" i)/(1+i) n= ("(" 1+i")" ^2)/2 n+ ("(" 1"-" i")" ^2)/2 n=in+(-i)n=in×[1+(-1)n],

所以当n为奇数时,f(n)=0;

当n为偶数时,f(n)=in[1+(-1)n]=2in=2或-2.

故f(n)的所有取值构成的集合为{-2,0,2}.

6.答案　√2/2或√2

解析　由 z+1/¯z • ¯z+1/z =9/2,

得z•¯z+1/(z"•" ¯z)+2=9/2,

即|z|2+1/("|" z"|" ^2 )=5/2,得|z|=√2/2或|z|=√2.

又 z-1/¯z • ¯z-1/z >0,

∴z•¯z+1/(z"•" ¯z)>2,

即|z|2+1/("|" z"|" ^2 )>2,∴|z|=√2/2或|z|=√2都满足.

7.解析　(1)设z=a+bi(a,b∈R),则zi+2/z=(a+bi)i+(2"(" a"-" bi")" )/("(" a+bi")(" a"-" bi")" )=-b+ai+(2a"-" 2bi)/(a^2+b^2 )=-b+2a/(a^2+b^2 )+ a-2b/(a^2+b^2 ) i,因为复数zi+2/z为实数,所以a-2b/(a^2+b^2 )=0,又a2+b2=1,所以a=2b,

解得{■(a=(2√5)/5 "," @b=√5/5)┤或{■(a="-"  (2√5)/5 "," @b="-"  √5/5 "," )┤

故z=(2√5)/5+√5/5i或z=-(2√5)/5-√5/5i.

(2) z/("(" 1"-" i")" ^4 "(" 1+i")" ^6 ) = z/("(-" 2i")" ^2 "(" 2i")" ^3 )

= z/32i =("|" z"|" )/32=1/32.

8.答案　±25

解析　∵z=bi/(4+3i)=(bi"(" 4"-" 3i")" )/("(" 4+3i")(" 4"-" 3i")" )=(3b+4bi)/25=3b/25+4b/25i,|z|=5,

∴√((3b/25) ^2+(4b/25) ^2 )=5,

∴b2=625,∴b=±25.

9.答案　4

解析　由题意得,x/(1"-" i)+y/(1"-" 2i)=(x"(" 1+i")" )/2+(y"(" 1+2i")" )/5= x/2+y/5 + x/2+2y/5 i,

5/(1"-" 3i)=(5"(" 1+3i")" )/10=1/2+3/2i,

所以{■(x/2+y/5=1/2 "," @x/2+2y/5=3/2 "," )┤解得{■(x="-" 1"," @y=5"," )┤

所以x+y=4.

10.答案　-2,-1或-4,2

解析　∵z=1+i,∴az+2b¯z=(a+2b)+(a-2b)i,(a+2z)2=(a+2)2-4+4(a+2)i=(a2+4a)+4(a+2)i.

由az+2b¯z=(a+2z)2,得{■(a+2b=a^2+4a"," @a"-" 2b=4"(" a+2")," )┤

解得{■(a="-" 2"," @b="-" 1)┤或{■(a="-" 4"," @b=2"." )┤

11.解析　(1) ∵z=1+i,∴¯z=1-i,

∴w=z2+3¯z-4=(1+i)2+3(1-i)-4

=2i+3-3i-4=-1-i.

(2)∵(z^2+az+b)/(z^2 "-" z+1)=("(" 1+i")" ^2+a"(" 1+i")" +b)/("(" 1+i")" ^2 "-(" 1+i")" +1)

=("(" a+b")" +"(" a+2")" i)/i=(a+2)-(a+b)i=1-i,

∴{■(a+2=1"," @"-(" a+b")" ="-" 1"," )┤解得{■(a="-" 1"," @b=2"." )┤

12.解析　(1)设z=x+yi(x,y∈R),

∵z+2i=x+(y+2)i为实数,

∴y+2=0,解得y=-2.

∴z/(2"-" i)=(x"-" 2i)/(2"-" i)=("(" x"-" 2i")(" 2+i")" )/("(" 2"-" i")(" 2+i")" )

=("(" 2x+2")" +"(" x"-" 4")" i)/5.

∵z/(2"-" i)为实数,∴(x"-" 4)/5=0,解得x=4.

∴z=4-2i.

(2)结合(1)得(z+ai)2=[4+(a-2)i]2=16-(a-2)2+8(a-2)i=(12+4a-a2)+(8a-16)i,

∵(z+ai)2(a∈R)在复平面内对应的点在第一象限,

∴{■(12+4a"-" a^2>0"," @8a"-" 16>0"," )┤解得2<a<6.

即实数a的取值范围是(2,6).