北师大版 (2019)必修 第二册6.2 柱、锥、台的体积测试题

第六章　立体几何初步

6.2　柱、锥、台的体积

基础过关练

题组一　柱体、锥体、台体的体积

1.(2020天津南开附中高二下期中)如图,ABC-A'B'C'是体积为1的棱柱,则四棱锥C-AA'B'B的体积是(　　)

A. B. C. D.

2.(2020河北石家庄高一上期末)如图,一圆锥形物体的母线长为4,其侧面积为4π,则这个圆锥的体积为(　　)

A. B. C.π D.π

3.(2020山西太原一中高二期中)将若干毫升水倒入底面半径为2 cm的圆柱形器皿中,量得水面的高度为6 cm,若将这些水倒入轴截面是正三角形的倒圆锥形器皿中,则水面的高度是(　　)

A.6 cm B.6 cm

C.2 cm D.3 cm

4.(2020山东聊城文昌一中高一下期末)如图所示,三棱锥的顶点为P,PA,PB,PC为三条侧棱,且PA,PB,PC两两垂直,已知PA=2,PB=3,PC=4,则三棱锥P-ABC的体积是　　　　. 

5.已知正六棱柱的侧面积为72 cm2,高为6 cm,那么它的体积为　　　　cm3. 

6.(2020天津河东高一期末)圆柱的侧面展开图是邻边长分别为2和4的矩形,则圆柱的体积是　　　　. 

7.已知某圆台的上、下底面面积分别是π,4π,侧面积是6π,则这个圆台的体积V=　　　　. 

题组二　组合体的体积

8.(2020山东淄博实验中学高一下期末)体积为52的圆台,一个底面积是另一个底面积的9倍,那么截得这个圆台的圆锥的体积是(　　)

A.54 B.54π C.58 D.58π

9.(2020四川广元一中高二下期中)如图,一个底面半径为2的圆柱被一平面所截,截得的几何体的最短和最长母线长分别为2和3,则该几何体的体积为　　　　. 

10.(2020辽宁东北育才实验学校高一下期末)如图所示,在△ABC中,AB=2,BC=,∠ABC=120°,若将△ABC绕直线BC旋转一周,则所形成的旋转体的体积是　　　　. 

11.如图所示的几何体,上面是圆柱,其底面直径为6 cm,高为3 cm,下面是正六棱柱,其底面边长为4 cm,高为2 cm,现从中间挖去一个直径为2 cm的圆柱,求此几何体的体积.

12.          (2020陕西西安外国语学校高一下期中)已知四面体ABCD中,AB=CD=,BC=AD=2,BD=AC=5,求四面体ABCD的体积.

能力提升练

题组一　柱体、锥体、台体的体积

1.(2020山东济宁曲阜实验学校高一下期末,)如图,正方体ABCD-A'B'C'D'的棱长为4,动点E,F在棱AB上,且EF=2,动点Q在棱D'C'上,则三棱锥A'-EFQ的体积(　　)

A.与点E,F的位置有关

B.与点Q的位置有关

C.与点E,F,Q的位置都有关

D.与点E,F,Q的位置均无关,是定值

2.(2020浙江杭州学军中学高二下期中,)分别以一个锐角为30°的直角三角形的最短直角边、较长直角边、斜边所在的直线为轴旋转一周,所形成的几何体的体积之比是(　　)

A.1∶∶ B.6∶2∶

C.6∶2∶3 D.3∶2∶6

题组二　组合体的体积

3.(2020江苏南通高二调研,)如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,如果AB=AC=,BB1=BC=6,E,F为侧棱AA1上的两点,且EF=3,那么多面体BB1C1CEF的体积为　　　　. 

4.(2020山东青岛二中高一下期中,)一个圆锥形容器和一个圆柱形容器,它们的轴截面尺寸如图所示,两容器内所盛液体的体积正好相等,且液面高度h正好相同,则h=　　　　. 

5.(2020吉林长春一中高一下期末,)如图,在三棱台ABC-A1B1C1中,AB∶A1B1=1∶2,求三棱锥A1-ABC,三棱锥B-A1B1C,三棱锥C-A1B1C1的体积之比.

题组三　与体积有关的应用性问题

6.(2020山东菏泽高二期中,)《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著,书中有如下问题:“今有委米依垣内角,下周八尺,高五尺.问:积及为米几何?”其意思为:“在屋内墙角处堆放米(如图,米堆为一个圆锥的四分之一),米堆底部的弧长为8尺,米堆的高为5尺,问米堆的体积和堆放的米各为多少?”已知1斛米的体积约为1.62立方尺,圆周率约为3,则堆放的米约有　(　　)

A.14斛 B.22斛 C.36斛 D.66斛

7.(2020河北张家口高二下期中,)一个底面直径为20 cm的装有一部分水的圆柱形玻璃杯,水中放着一个底面直径为6 cm,高为20 cm的一个圆锥形铅锤,请问当铅锤从中取出后,杯中水面将下降多少?

8.(2020上海高三期末,)如图,一个圆锥形量杯的高为12厘米,其母线与轴的夹角为30°.

(1)求该量杯的侧面积S;

(2)若要在该圆锥形量杯的一条母线PA上刻上刻度,表示液面到达这个刻度时,量杯里的液体的体积是多少.当液体体积是100立方厘米时,刻度的位置B与顶点P之间的距离是多少厘米(精确到0.1厘米)?

6.2　柱、锥、台的体积

基础过关练

1.C　∵VC-A'B'C'=VABC-A'B'C'=,

∴VC-AA'B'B=1-=.故选C.

2.C　设圆锥底面圆的半径为r,母线长为l,则l=4,圆锥的侧面积S侧=πrl=4π,解得r=1,所以圆锥的高h==,故圆锥的体积V=πr2h=π,故选C.

3.B　设倒圆锥形器皿中水面的高度为h  cm,水面半径为r  cm,则母线(含水部分)l=2r(cm),

∴h=r(cm),即r=(cm),

∴πr2×h=π×22×6,

∴π××h=24π,

∴h3=216,解得h=6.

4.答案　4

解析　三棱锥的体积V=Sh,其中S为底面面积,h为高,而三棱锥的任意一个面都可以作为底面,所以此题可把B看作顶点,△PAC作为底面求解.

故V=Sh=S△PAC·PB=××2×4×3=4.

5.答案　36

解析　设正六棱柱的底面边长为x  cm,由题意得6x×6=72,所以x=2,

所以该正六棱柱的体积V=×22×6×6=36(cm3).

6.答案　或

解析　当母线长为4时,圆柱的底面半径为,此时圆柱的体积为π××4=;

当母线长为2时,圆柱的底面半径为,此时圆柱的体积为π××2=.

综上,所求圆柱的体积为或.

7.答案　π

解析　设圆台的上、下底面半径分别为r和R,母线长为l,高为h,则S上底面=πr2=π,S下底面=πR2=4π,∴r=1,R=2.

又S侧=π(r+R)l=6π,∴l=2,

∴h==,

∴V=(π++4π)×=π.

8.A　设上底面半径为r,则由题意可得下底面半径为3r,设圆台高为h1,则52=πh1·(r2+9r2+3r·r),∴πr2h1=12.设原圆锥的高为h,由相似知识得=,∴h=h1,

∴V原圆锥=π(3r)2×h=3πr2×h1=×12=54.

9.答案　10π

解析　用一个完全相同的几何体将题中几何体补成一个圆柱,如图,则圆柱的体积为π×22×(2+3)=20π,故所求几何体的体积为10π.

10.答案　π

解析　由题意得所形成的旋转体是一个大圆锥去掉一个同底的小圆锥,故其体积为大圆锥的体积减去小圆锥的体积.

如图,过点A作AD⊥BC,交BC的反向延长线于点D,易知AD=,

故所求体积V=π·AD2·DC-π·AD2·DB=π·AD2·BC=π×()2×=π.

11.解析　V六棱柱=×42×6×2=48(cm3),

V圆柱=π·32×3=27π(cm3),

V挖去的圆柱=π·12×(3+2)=5π(cm3),

∴此几何体的体积V=V六棱柱+V圆柱-V挖去的圆柱=(48+22π)cm3.

12.解析　以四面体的各棱为长方体的面对角线,还原为长方体,如图所示.

设长方体的长,宽,高分别为x,y,z(x,y,z>0),

则解得

易知VD-ABE=×DE×S△ABE=V长方体,

同理,VC-ABF=VD-ACG=VD-BCH=V长方体,

∴V四面体ABCD=V长方体-4×V长方体=V长方体.

又V长方体=2×3×4=24,∴V四面体ABCD=8.

能力提升练

1.D　V三棱锥A'-EFQ=V三棱锥Q-A'EF=××EF×AA'×A'D'=,所以其体积为定值,与点E,F,Q的位置均无关.

2.C　设Rt△ABC中,∠BAC=30°,BC=1,则AB=2,AC=,求得斜边上的高CD=,旋转所得几何体的体积分别为V1=π×()2×1=π,V2=π×12×=π,V3=π2×2=π.

∴V1∶V2∶V3=1∶∶=6∶2∶3.

3.答案　30

解析　在△ABC中,BC边上的高h==2,

V三棱柱=BC×h×BB1=×6×2×6=36,

∵EF=3,A1A=B1B=6,

∴V三棱锥E-ABC+=V三棱柱=6,

故=36-6=30.

4.答案　a

解析　设圆锥形容器的液面的半径为R,则液体的体积为πR2h,

圆柱形容器内的液体体积为πh.

根据题意,有πR2h=πh,解得R=a.

再根据圆锥形容器的轴截面与内盛液体轴截面是相似三角形,得=,

所以h=a.

5.解析　设棱台的高为h,S△ABC=S,则=4S,∴=S△ABC·h=Sh,

=·h=Sh.

又V台=(S+4S+2S)h=Sh,

∴=V台--

=Sh-Sh-Sh=Sh,

∴∶∶=1∶2∶4.

6.B　设圆锥底面半径为r尺,则×2×3r=8,所以r=,所以米堆的体积为××3××5=(立方尺),故堆放的米约为÷1.62≈22(斛).

7.解析　圆锥形铅锤的体积为π·2×20=60π(cm3).

设水面下降的高度为x,则π2x =60π,解得x=0.6(cm).

所以铅锤取出后,杯中水面下降了0.6  cm.

8.解析　(1) 由题意知,圆锥底面半径r=12×tan 30°=4(厘米),母线l==8(厘米).

则圆锥的侧面积S=πrl=96π(平方厘米).

因此该量杯的侧面积为96π平方厘米.

(2)设BP=x厘米,则过点B平行于底面的截面圆的半径为 厘米,顶点P到该截面的距离为 厘米,

所以此时液体的体积V=×π××=x3立方厘米,将V=100代入可得x≈7.6.

因此刻度的位置B与顶点P之间的距离约为7.6厘米.