初中数学人教版九年级下册29.1 投影当堂达标检测题

第二十九章  投影与视图

29.1  投影

1．投影的定义

一般地，用光线照射物体，在某个平面（地面、墙壁等）上得到的影子叫做物体的投影．照射光线叫做投影线，投影所在的平面叫做投影面．

物体投影的形成需要具备两个条件：一是投影线（光源），二是投影面．

【注意】光线、物体、投影面的相对位置发生变化，物体的影子就会相应发生变化．

2．平行投影

（2）由平行光线形成的投影叫做平行投影．如物体在太阳光的照射下形成的影子（简称日影）就是平行光线．日影的方向可以反映当地时间．

（2）平行投影的特征

等高的物体垂直于地面放置时，同一时刻，同一地点，在太阳光下，它们的影子一样长．

等长的物体平行于地方放置时，同一时刻，同一地点，它们在太阳光下的影子一样长，且影长等于物体本身的长度．

同一物体在太阳光下，不同时刻，不仅影子的大小在改变，而且影子的方向也在改变，就我们所在北半球而言，从早晨到傍晚，物体的影子由西向东绕物体沿顺时针方向转动，其影长的变化规律是：长→短→长．

在平行光线下，不同时刻，同一物体的影子长度不同；同一时刻，不同物体的影子长度与它们本身的高度成比例．

【注意】确定平行投影中物体或影子的方法：平行投影中的物体，光线、影子构成一个三角形，在平行投影中光线是平行的，因此由一条光线就可以作出其他平行光线，进而可以作出相应的物体或影子．

3．中心投影

（1）由同一点（点光源）发出的光线形成的投影叫做中心投影．如物体在灯泡发出的光照射下形成的影子就是中心投影．

（2）中心投影的特征：

①等高的物体垂直于地面放置时，在灯光下，离点光源近的物体的影子短，离点光源远的物体的影子长．

②等长的物体平行于地面放置时，一般情况下，离点光源越近，影子越长；离点光源越远，影子越短，且都大于物体本身的长度．③点光源、物体边缘上的点以及它在影子上的对应点在同一条直线上．

4．正投影

投影垂直于投影面产生的投影叫做正投影．物体正投影的形状和大小与它相对于投影面的位置有关．

5．中心投影和平行投影的异同

一、平行投影

平行投影的特点：（1）平行投影中，同一时刻的光线是平行的；（2）平行投影的物高与影长对应成比例．

【例1】下列光线所形成投影是平行投影的是

A．太阳光线 B．台灯的光线

C．手电筒的光线 D．路灯的光线

【答案】A

【解析】四个选项中只有太阳光可认为是平行光线；故太阳光线下形成的投影是平行投影．故选A．

【名师点睛】判断投影是平行投影的方法是看光线是否是平行的，如果光线是平行的，所得到的投影就是平行投影．

【例2】下面是一天中四个不同时刻两座建筑物的影子，将它们按时间先后顺序正确的是
 

A．③①④② B．③②①④ 

C．③④①② D．②④①③

【答案】C

【解析】太阳从东边升起，西边落下，所以先后顺序为：③④①②，故选C．

【名师点睛】本题考查平行投影，解题的关键是熟练掌握太阳光是平行光线，本题属于基础题型．

二、中心投影

中心投影的特点：（１）等高的物体垂直地面放置时，在灯光下，离点光源近的物体影子短，离点光源的物体影子长；（2）等长的物体平行于地面放置时，在灯光下，离点光源越近，影子越长；离点光源越远，影子越短，但不会比物体本身的长度短．

【例3】小红和小花在路灯下的影子一样长，则她们的身高关系是

A．小红比小花高 B．小红比小花矮

C．小红和小花一样高 D．不确定

【答案】D

【解析】小红和小花在路灯下的影子一样长，在同一路灯下她们的影长与她们到路灯的距离有关，所以无法判断她们谁比谁高．故选D．

【名师点睛】本题考查了中心投影：由同一点（点光源）发出的光线形成的投影叫做中心投影．如物体在灯光的照射下形成的影子就是中心投影．中心投影的光线特点是从一点出发的投射线．物体与投影面平行时的投影是放大（即位似变换）的关系．

三、利用投影解决实际问题

两个多边形相似，必须同时具备两个条件：（1）角分别相等；（2）边成比例．

【例4】如图，一位同学想利用树影测量树高（AB），他在某一时刻测得高为1m的竹竿影长为0.9m，但当他马上测量树影时，因树靠近一幢建筑物，影子不全落在地面上，有一部分影子在墙上（CD），他先测得留在墙上的影高（CD）为1.2m，又测得地面部分的影长（BC）为2.7m，他测得的树高应为多少米？

【名师点睛】本题考查的是相似三角形的应用，解答此题的关键是正确求出树的影长，这是此题的易错点．

1．下列说法错误的是

A．太阳光所形成的投影是平行投影

B．在一天的不同时刻，同一棵树所形成的影子长度不可能一样

C．在一天中，不论太阳怎样变化，两棵相邻树的影子都是平行或重合的

D．影子的长短不仅和太阳的位置有关，还与事物本身的长度有关

2．小明拿一个等边三角形木框在阳光下玩，等边三角形木框在地上的投影不可能是

A．线段 B．一个点 

C．等边三角形 D．等腰三角形

3．在阳光下摆弄一个矩形，它的影子不可能是

A．线段 B．矩形

C．等腰梯形 D．平行四边形

4．下面四幅图是小刚一天之中在学校观察到的旗杆的影子，请将它们按时间先后顺序进行排列

A．(1)(2)(3)(4) B．(2)(3)(1)(4)

C．(2)(1)(3)(4) D．(4)(1)(3)(2)

5．下面说法正确的有

①矩形的平行投影一定是矩形；②梯形的平行投影一定是梯形；③两条相交直线的平行投影可能是平行的；④如果一个三角形的平行投影是三角形，那么它的中位线平行投影一定是这个三角形平行投影对应的中位线.

A．①② B．④ 

C．②③ D．①④

6．如图，位似图形由三角尺与其在灯光照射下的中心投影组成，相似比为1：2，且三角尺一边长为5cm，则投影三角形的对应边长为

A．8cm B．20cm 

C．3.2cm D．10cm

7．下列说法正确的是

A．皮影戏是在灯光下形成的中心投影

B．甲物体比乙物体高，则甲的投影比乙的投影长

C．物体的正投影与物体的大小相等

D．物体的正投影与物体的形状相同

8．如图中是两根直立的标杆同一时刻在太阳光线下形成的影子的是

A． B． 

C． D．

9．在____________的照射下，在同一时刻，不同物体的物高与其影长成比例．

10．为了测量校园里水平地面上的一棵大树的高度，数学综合实践活动小组的同学们开展如下活动：某一时刻，测得身高1.6m的小明在阳光下的影长是1.2m，在同一时刻测得这棵大树的影长是3.6m，则此树的高度是________m．

11．人在灯光下走动时，其自身的影子通常会发生变化，当人走近灯光时，其影子的长度就会________；当人远离灯光时，其影子的长度就会________．

12．如图，在路灯的同侧有两根高度相同的木棒，请分别画出这两根木棒的影子．

13．画图：如图是小明与妈妈（线段AB）、爸爸（线段CD）在同一路灯下的情景，其中粗线分别表示三人的影子．请根据要求进行作图（不写画法，但要保留作图痕迹）

（1）画出图中灯泡P所在的位置．

（2）在图中画出小明的身高（线段EF）．

14．某校墙边有甲、乙两根木杆，已知乙木杆的高度为1.5m．

（1）某一时刻甲木杆在阳光下的影子如图所示，画出此时乙木杆的影子DF．

（2）△ABC∽△DEF，如果测得甲、乙木杆的影子长分别为1.6m和1m，那么甲木杆的高度是多少？

15．如图所示，位似图形由三角尺与其在灯光照射下的中心投影组成，相似比为2∶5，且三角尺的一边长为8cm，则投影三角形的对应边长为

A．3.2cm B．8cm 

C．10cm D．20cm

16．下列结论正确的有

①同一时刻，两物体在阳光照射下，影子的方向是相同的；

②同一时刻，两物体在任何光线照射下影子的方向都是相同的；

③同一时刻，两物体在路灯照射下，影子的方向与路灯的位置有关；

④同一时刻，两物体在光线照射下，影子的长短仅与物体的长短有关．

A．1个 B．2个 

C．3个 D．4个

17．如图是同一时刻两根木杆的影子，这种投影是________(填“平行投影”或“中心投影”)．

18．如图，为了测量路灯S的高度，把一根1.5m长的竹竿AB竖立在地面上，测得竹竿的影长BC为1m，然后拿着竹竿沿DB方向远离路灯方向走了4m到B′，再把竹竿竖立在地面上（即A′B′），测得竹竿的影长为1.8m，求路灯的高度．

19．（2017•贺州）小明拿一个等边三角形木框在太阳下玩耍，发现等边三角形木框在地面上的投影不可能是

A． B． 

C． D．

20．（2017•绥化）正方形的正投影不可能是

A．线段 B．矩形 

C．正方形 D．梯形

21．（2016•南宁）把一个正六棱柱如图摆放，光线由上向下照射此正六棱柱时的正投影是

A． B． 

C． D．

22．（2018•百色）如图，长方体的一个底面ABCD在投影面P上，M，N分别是侧棱BF，CG的中点，矩形EFGH与矩形EMNH的投影都是矩形ABCD，设它们的面积分别是S1，S2，S，则S1，S2，S的关系是__________（用“=、＞或<”连起来）

1．【答案】B

【解析】A．太阳光线可以看成平行光线，这样的光线形成的投影是平行投影，正确；

B．在一天的不同时刻，同一棵树所形成的影子方向不可能一样，长度有可能一样，错误；

C．太阳光线可以看成平行光线，所以在一天中，不论太阳怎样变化，两棵相邻树的影子都是平行或重合的，正确；

D．影子的长短不仅和太阳的位置有关，还和物体本身的长度有关，正确；

故选B．

【点睛】考查平行投影的定义以及特点，掌握平行投影的特点是解题的关键.

2．【答案】B

【解析】当等边三角形木框与阳光平行时，投影如图： ；

当等边三角形木框与阳光垂直时，投影如图：；

当等边三角形木框与阳光有一定角度时，投影如图：；

投影不可能是B．

故选B．

【点睛】本题考查了平行投影特点，不同位置，不同时间，影子的大小、形状可能不同

4．【答案】D

【解析】根据从早晨到傍晚物体的指向是：西–西北–北–东北–东，影长由长变短，再变长的规律可知时间先后顺序为（4）（1）（3）（2）．故选D．

【点睛】本题考查平行投影的特点和规律．在不同时刻，同一物体的影子的方向和大小可能不同，不同时刻物体在太阳光下的影子的大小在变，方向也在改变，就北半球而言，从早晨到傍晚物体的指向是：西–西北–北–东北–东，影长由长变短，再变长．

5．【答案】B

【解析】①、当矩形和投影面垂直时，矩形的平行投影可以是一条线段，错误；
②、当梯形和投影面垂直时，梯形的投影可以是一条线段，错误；
③、两条相交直线的平行投影一定相交，错误；
④、根据平行投影的性质，显然正确．
故选B．

6．【答案】D

【解析】因为位似图形由三角尺与其灯光照射下的中心投影组成，相似比为1：2，三角尺的一边长为5cm，所以投影三角形的对应边长为：510（cm）．故选D．

【点睛】本题考查了位似图形的性质以及中心投影的应用，根据对应边的比为1：2，再得出投影三角形的对应边长是解决问题的关键．

【点睛】由平行光线形成的投影是平行投影．解决本题要熟知投影的基本知识才能准确地做出判断．

8．【答案】A

【解析】在同一时刻，不同物体的物高和影长成比例且影子方向相同．

A、影子方向相同，且物体的物高和影长成比例，正确；

B、影子方向相反，错误；

C、物体的物高和影长不成比例，错误；

D、影子方向相反，错误．

故选A．

【点睛】本题考查了平行射影，解题的关键是：利用“在同一时刻，不同物体的物高和影长成比例且影子方向相同．”这个理论来分析四个选项．

9．【答案】平行光线

【解析】在平行光线的照射下，在同一时刻，不同物体的物高与其影长成比例．

【点睛】本题考查了平行投影的定义，解题的关键是熟练地掌握平行投影的性质．

10．【答案】4.8

【解析】设此树的高度是hm，则解得h=4.8(m).故答案为：4.8.

【点睛】考查平行投影的特点，掌握同一时刻物高与影长成正比是解题的关键.

11．【答案】变短；变长

【解析】人在灯光下走动时，其自身的影子通常会发生变化，当人走近灯光时，其影子的长度就会变短；当人远离灯光时，其影子的长度就会变长．故答案为：变短；变长．

【点睛】本题综合考查了中心投影的特点和规律．中心投影的特点是：①等高的物体垂直地面放置时，在灯光下，离点光源近的物体它的影子短，离点光源远的物体它的影子长．②等长的物体平行于地面放置时，在灯光下，离点光源越近，影子越长；离点光源越远，影子越短，但不会比物体本身的长度还短．

12．【解析】如图所示：

【点睛】考查中心投影的特点与应用，解决本题的关键是根据光源和两根木棒的物高得影子长．

13．【解析】（1）如图，点P即为灯泡所在位置；

（2）如图所示，线段EF即为所求．

【点睛】本题主要考查作图——应用与设计作图，解题的关键是熟练掌握中心投影的定义和性质．

14．【解析】（1）如图所示，DF是乙木杆的影子

（2）∵

即

解得AB=2.4．

答：甲木杆的高度是2.4m.

15．【答案】D

【解析】因为位似图形由三角尺与其灯光照射下的中心投影组成，相似比为2：5，三角尺的一边长为8cm，所以投影三角形的对应边长为：8÷=20（cm）cm．故选D．

【点睛】此题主要考查了位似图形的性质以及中心投影的应用，根据对应边的比为1：2，再得出投影三角形的对应边长是解决问题的关键.

16．【答案】B

【解析】①由于太阳光线是平行光线，所以物体在阳光照射下，影子的方向是相同的，故正确；

②物体在太阳光线照射下影子的方向都是相同的，在灯光的照射下影子的方向与物体的位置有关，故错误；

③物体在路灯照射下，影子的方向与路灯的位置有关，故正确；

④物体在点光源的照射下，影子的长短与物体的长短和光源的位置有关，故错误．

所以正确的只有2个．

故选B．

【点睛】本题考查了平行投影和中心投影的特点和规律．

平行投影的特点是：在同一时刻，不同物体的物高和影长成比例．

中心投影的特点是：①等高的物体垂直地面放置时，在灯光下，离点光源近的物体它的影子短，离点光源远的物体它的影子长；②等长的物体平行于地面放置时，在灯光下，离点光源越近，影子越长；离点光源越远，影子越短，但不会比物体本身的长度还短．

17．【答案】中心投影

【解析】如图所示，

它们是点光源的光线形成的影子．

故答案为：中心投影.

【点睛】解决本题的关键是理解点光源的光线交于一点．

18．【解析】∵AB⊥DC′，DS⊥DC′，
∴SD∥AB，∴△ABC∽△SDC，
∴=，即=，
解得DB=h–1①，
同理，∵A′B′⊥DC′，
∴△A′B′C′∽△SDC′，
∴=，

=②，
把①代入②得，=，
解得h=9．
答：路灯离地面的高度是9米．

19．【答案】B

【解析】竖直向下看可得到线段，沿与平面平行的方向看可得到C，沿与平面不平行的方向看可得到D，不论如何看都得不到一点．故选B．

20．【答案】D

【解析】在同一时刻，平行物体的投影仍旧平行．得到的应是平行四边形或特殊的平行四边形或线段．故正方形纸板的正投影不可能是梯形，故选D．

21．【答案】A

【解析】把一个正六棱柱如图摆放，光线由上向下照射此正六棱柱时的正投影是正六边形．故选A．