初中数学人教版九年级上册22.1.4 二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象和性质教学ppt课件

这是一份初中数学人教版九年级上册22.1.4 二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象和性质教学ppt课件，共35页。

二次函数y=a(x-h)2+k的性质
我们已经知道二次函数y=a(x-h)2+k的图象 和性质，能否利用这些知识来讨论二次函数 y=ax2+bx+c 图象和性质?
3.能根据所给的自变量的取值范围画二次函 数的图象.2.能熟练求出二次函数一般式y＝ax2＋bx＋c的顶点坐标、对称轴.1.会用配方法或公式法将一般式y＝ax2＋bx＋c化成顶点式y=a(x-h)2+k.
我们已经知道y=a(x-h)2+k的图象和性质，能
否利用这些知识来讨论 y图象和性质？
【思考1】怎样将 y1x 2
 6 x  2 1
画出二次函数y=ax2+bx+c的图象
y  1 x 2  6 x  21
 1 ( x 2  12 x  62  62  42)
 1 ( x 2  12 x  42)
 1 [( x 2  12 x  62 )  62  42]
 1 [( x  6)2  6]
 1 ( x  6)2  3.
想一想：配方的方 法及步骤是什么？
怎样将 y1x 2 6 x  2 1化成 y=a(x-h)2+k的形式？
y  1 x 2  6 x  212
(1)“提”：提出二次项系数； (2)“配”：括号内配成完全平方；(3)“化”：化成顶点式.
【提示】配方后的表达式通常称 为配方式或顶点式.
y  1 (x  6)2  32
的对称轴及顶点坐标吗？
【思考2】你能说出 y  1 (x  6)2  3
答：对称轴是直线x=6,顶点坐标是（6，3）.
【思考3】二次函数 y  1 (x  6)2
可以看作是由y  1 x 2怎
样平移得到的？答：平移方法1：先向上平移3个单位，再向右平移6个单位得到的；平移方法2：先向右平移6个单位，再向上平移3个单 位得到的.
【思考4】 如何画二次函数y  1 x2
利用图象的对称性列表然后描点画图，得到 图象如右图.
y  1 x2 - 6x  21
y  - 1 x2 - 6x  21
y  1 (x6)22
【思考5】 结合二次函数y  1 x 2
当x<6时，y随x的增大而减小； 当x>6时，y随x的增大而增大. 开口方向： 向上.
x=6. (6,3).
例 画出函数 y   1 x 2的图象，并说明这个
解: 函数 y   1 x 2  x  5通过配方可得y   1 (x 1)2  2
画二次函数y=ax2+bx+c的图象并且说出它的性质
然后描点、连线，得到图象如下图：y
由图象可知，这个函数具有如下性质： 开口方向：向下.顶点坐标：（1，-2）. 对称轴：x=1.最值：x=1时，y最大值=-2.当x＜1时，函数值y随x的增大而增大； 当x＞1时，函数值y随x的增大而减小； 当x=1时，函数取得最大值，最大值y=-2.
求二次函数y=2x2-8x+7图象的对称轴和顶点坐标.
解： y  2x2  8x  7 2(x2  4x)  7 2(x2  4x  4)  8  7 2( x  2)2  1.因此，二次函数y=2x2-8x+7图象的对称轴是 直线x=2，顶点坐标为(2,-1).
根据下列关系你能发现二次函数y=ax2+bx+c的图象 和性质吗？
b 4ac  b2
二次函数y=ax2+bx+c 的图象与性质
y=ax +bx+c  a( x 
二次函数的 一般表达式
因此，抛物线的对称轴是
b4ac  b2 
  b4ac  b2 
显然，二次函数 y  a( x 
y  ax2  bx  c
二次函数y=ax +bx+c的图象：
A．开口向上，顶点坐标为（﹣1，﹣4 B．开口向下，顶点坐标为（1，4） C．开口向上，顶点坐标为（1，4）
D．开口向下，顶点坐标为（﹣1，﹣4）
解析∵二次函数y=x2+2x﹣3的二次项系数为a=1＞0，∴函数图象开口向上，∵y=x²+2x﹣3=（x+1）2﹣4，∴顶点坐标为（﹣1，﹣4）．
方法点拨：把函数的一般 式化为顶点式，再由顶点 式确定开口方向、对称轴、 顶点及其他性质.
指出二次函数y=ax2+bx+c的有关性质
例 二次函数y=x2+2x﹣3的开口方向、顶点坐标分别是（ A）
一次函数y=kx+b的图象如下图所示，请根据一次函数 图象的性质填空：
二次函数字母系数与图象的关系
x   b1x   b2
二次函数y  ax2  bx  c的图象如下图所示，请根据二 次函数的性质填空：
1b1_＞ 0c1_＞ 0
2b2_＜ 0c2_＝ 0
对称轴在y轴 左侧，x＜0
对称轴在y轴 右侧，x＞0
x   b1 ＜0
x   b2 ＞0
x=0时， y=c.
3c3_＞ 0c4_＜ 0
对称轴是y轴，x   b3
二次函数y=ax2+bx+c的图象与a、b、c的关系
例 已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图所示，下列结论：①abc＞0；
②2a－b＜0；③4a－2b＋c＜0；④(a＋c)2＜b2. 其中正确的个数是D (A．1B．2C．3D．4
【解析】由图象开口向下可得a＜0，由对称轴在y轴左 侧可得b＜0，由图象与y轴交于正半轴可得 c＞0，则 abc＞0，故①正确；由对称轴x>－1可得2a－b＜0，故②正确；由图象上横坐标为 x＝－2的点在第三象限可得4a－2b＋c＜0，故③正确；由图可知x＝1的点在第四象限得a＋b＋c＜0，由图象上x＝－1的点在 第二象限得出 a－b＋c＞0，则(a＋b＋c)(a－b＋c)＜0，即(a＋c)2－b2＜0，可得(a＋c)2＜b2，故④正确．
利用二次函数y=ax2+bx+c的图象确定字母的值
二次函数y=ax²+bx+c的图象如图所示，下列选项中正
）B．b＞0C．c＜0D． ac>0
解析 根据开口方向、对称轴、抛物线与y轴的交点，确定a、b、c的符号，根据对称轴和图象确定y＞0或y＜0时，x的范围，确定代数式的符号．①∵开口向下，∴a＜0，A错误；②对称轴在y轴的右侧和a＜0，可知b＞0，B正确；③抛物线与y轴交于正半轴，c＞0，C错误；④因为a<0，c>0，所以ac<0，D错误．
确的是（ B A．a＞0
A．①②④ C．②③④
B．①②⑤ D．③④⑤
如图是二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）图象 的一部分，与x轴的交点A在点（2，0）和（3，0）之间， 对称轴是x=1．对于下列说法：①ab＜0；②2a+b=0；③3a+c＞0；④a+b≥m（am+b）（m为实数）；⑤当﹣1＜x＜3时，y＞0，其中正确的是（ A）
1.已知二次函数y=ax2+bx+c的x，y的部分对应值如下表：
A. y轴C. 直线x=2
则该二次函数图象的对称轴为(
D)B.直线x= D.直线x=
2. 已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象 如图所示，则下列结论：（1）a，b同号；（2）当x = –1和x=3时， 函数值相等；（3） 4a+b=0； （4）当y = –2时，x的值只能取0；其中正确的是（2）.
3. 如图是二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)图象的一部分，x=-1是对称轴，有下列判断：①b-2a=0；②4a-2b+c<0
；③a-b+c= -9a；④若（-3，y3 ）,（，y ）是抛物
A．①②③ C．①②④
B．①③④ D．②③④
线上两点，则y1>y2.其中正确的是（ B）
(1) y  2x2 12x 13;
(4) y   x 12  x .
(2)y  5x2  80x  319; 直线x=8
3, 5 8,1
(3) y  2  x  1  x  2 ;直线x=1.25 5 ,
直线x= 0.5 1 ,
能 力 提 升 题根据公式确定下列二次函数图象的对称轴和顶 点坐标：
1.已知函数y=-2x2+x-4,当x=时，y有最大值
2.已知二次函数y=x2-2x+1，那么它的图象大致为（
对称轴：x   b
y=ax2+bx+c（a ≠0) (一般式)
b4ac  b22a
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