人教版九年级上册22.1.4 二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象和性质教学ppt课件

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用待定系数法求函数的解析式已知一次函数经过点（1，3）和（-2，- 12），求这个一次函数的解析式.解： 设这个一次函数的解析式为y=kx+b , 因为一次函数经过点（ 1 ， 3 ） 和（- 2 ，- 12 ），
k  b  3,
2k  b  12,解得 k=3，b=-6.
一次函数的解析式为y=3x-6.【思考】如何用待定系数法求二次函数的解析式呢？
2.灵活应用三点式、顶点式、交点式求二次函 数的解析式.1.会用待定系数法求二次函数的解析式.
知识点 1用三点式求二次函数的解析式【思考】回忆一下用待定系数法求一次函数的解 析式的一般步骤．求二次函数y=ax2+bx+c的解析式 的关键是什么？
我们知道，由两点（两点的连线不与坐标轴平行）的坐标可以确定一 次函数，即可以求出这个一次函数的解析式.对于二次函数，由几个点的 坐标可以确定二次函数？
已知一个二次函数的图象过点(-1,10)、(1,4)，求这个函 数的解析式.解： 设所求的二次函数为y=ax2+bx+c.由已知得： a-b+c=10
a+b+c=4三个未知数，两个等量关 系，这个方程组能解吗？
第一步:设出解析式的形式； 第二步:代入已知点的坐标； 第三步：解方程组.
已知一个二次函数的图象过点(-1,10)、(1,4) 、(2,7)， 求这个函数的解析式.解：设所求的二次函数为y=ax2+bx+c.a-b+c=10,
a+b+c=4, 4a+2b+c=7.
三个未知数，三个 等量关系，这个方 程组能解吗？
a+b+c=4,②4a+2b+c=7.③
?a-b+c=10,①
由②-①可得：2b=-6由③-①可得：3a+3b=-3
b=-3.a+b=-1
将a=2，b=-3代入①可得：2+3+c=10
∴解方程组得：a=2,b=-3,c=5.
解得a＝1，b＝-2，c＝-3.∴抛物线的解析式为y＝x2-2x-3.
例 已知一个二次函数的图象过点A(-1,0), B(4,5), C(0,-3). 三 点，求这个函数的解析式.解：设所求抛物线的解析式为y＝ax2+bx+c.∵抛物线经过点A(-1，0), B(4，5), C(0，-3).
a  b  c＝0，
16a  4b  c＝5
利用三点式求二次函数的解析式
求二次函数y=ax2+bx+c的解析式，关键是求出待 定系数a，b，c的值.若已知条件是二次函数图像上三个点的坐标，可 设解析式为y=ax2+bx+c,列出关于a，b，c的方程组， 并求出a，b，c，就可以写出二次函数的解析式.
任意两点的连线 不与y轴平行
三点式求二次函数的解析式
第一步:设出解析式的形式； 第二步:代入已知点的坐标； 第三步:解方程组.
已知一个二次函数的图象过点A(0,0), B(-1,-1), C(1,9)三点，求这个函数的解析式.解：设所求抛物线的解析式为y＝ax2+bx+c.∵抛物线经过点A(0,0), B(-1,-1), C(1,9).
解得a＝4，b＝5，c＝0.∴抛物线的解析式为y＝4x2+5x.
0=c,-1=a-b+c, 9=a+b+c.
x＝-2与 1时，y＝0，求这个二次函数的解析式.
方法1：设y  a( x  2)( x  1 ), 再把x  0， y  1代入其中,
方法2：设y  ax2  bx  c，由“x  0时，y  1，x  2与 时
y  0”，列方程组求出a，b，c的值.
知识点 2用交点式y=a(x-x1) (x-x2) 求二次函数解析式一个二次函数，当自变量x＝0时，函数值y＝-1，当
两种方法的结果一样吗？两种方
交点式求二次函数的解析 式：若已知抛物线与x轴的 两交点坐标，可设解析式 为y=a（x-x1）（x-x2）， 把另一点的坐标代入，解 关于a的一元一次方程.
例 已知二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交于A(1,0)，B(3,0) 两点(两点的纵坐标都为0)，与y轴交于点C(0,3)，求这个二次
函数的解析式.解: ∵图象与x轴交于A(1,0)，B(3,0)，∴设函数解析式为y＝a(x-1)(x-3).∵图象过点C(0,3),∴3=a(0-1)(0-3)，解得a=1.
∴二次函数解析式为y=(x-1)(x-3)=x2-4x+3.
利用交点式求二次函数的解析式
已知抛物线与x轴交于A（－1，0），B（1,0）并 经过点M（0,1），求抛物线的解析式.
解:∵图象与x轴交于A(-1,0)，B(1,0)，∴设函数解析式为y＝a(x+1)(x-1).∵图象过点M(0,1),∴1=a(0+1)(0-1)，解得a=-1.∴二次函数解析式为y=-1(x+1)(x-1),故所求的抛物线解析式为 y=－x2+1.
【思考】图象顶点为(h, k)的二次函数的解析式是 y=a(x-h)2+k，如果顶点坐标已知，那么求解析式 的关键是什么？
用二次函数顶点式y=a(x-h)2+k求函数解析式
素养考点利用顶点式求二次函数的解析式例 已知抛物线顶点为(1,-4)，且又过点(2,-3)，求其解 析式.解：∵抛物线顶点为(1,-4),∴设其解析式为y=a(x-1)2-4， 又抛物线过点(2,-3)， 则-3=a(2-1)2-4，则a=1.∴其解析式为y=(x-1)2-4＝x2-2x-3.
归纳若已知顶点坐标和一点， 可设解析式为 y=a(x-h)2+k，将另一点坐标代入解关于a的一 元一次方程.
顶点式求二次函数的解析式
已知关于x的二次函数的图象的顶点坐标为（﹣1，2），且图象过点（1，﹣3），求这个二次函数 的关系式.解：∵抛物线顶点为(-1,2)，∴设其解析式为y=a(x+1)2+2， 又抛物线过点(1,-3)，则3=a(1+1)2+2，则a= 4.
故这个二次函数的关系式是y= 4 (x+1) +2.
已知二次函数的图象以A（﹣1，4）为顶点，且过点B（2，﹣5），求该函数的关系式.解：设抛物线顶点式y=a（x+1）2+4， 将B（2，﹣5）代入得：a=﹣1.∴该函数的解析式为：y=﹣（x+1）2+4y=﹣x2﹣2x+3.
y=-7(x-3)2+4. .
基 础 巩 固 题如图所示,在平面直角坐标系中,二次函数y=ax2+bx+c的图象 顶点为A(-2,-2),且过点B(0,2),则y与x的函数关系式为( D)A. y=x2+2B. y=(x-2)2+2 C. y=(x-2)2-2D. y=(x+2)2-2已知二次函数的图象经过点(4,-3),并且当x=3时有最大值4,
y   1 ( x  2)( x  8)， 即y   1 x 2  3 x  4.442
∵抛物线过点(0,4), ∴4=a(0+2)(0-8),解得a   1 .
能 力 提 升 题如图所示,已知抛物线的对称轴是直线x=3,它与x轴交于 A、B两点,与y轴交于C点,点A、C的坐标分别是(8,0)、 (0,4),求这个抛物线的解析式.解：由抛物线过A(8,0)及对称轴为x=3,知抛物线一定过点(-2,0).设这个抛物线的解析式为y=a(x+2)(x-8),
∴这个抛物线的解析式为
拓 广 探 索 题已知抛物线顶点(1,16)，且抛物线与x轴的两交点间的距 离为8，求其解析式.解:由题意可知抛物线与x轴交点坐标为(5,0)，(-3,0),设解析式为y=a(x-5)(x+3),∵抛物线过点(1,16)，∴16=a(1-5)(1+3),解得a=-1.∴抛物线的解析式为y=-(x-5)(x+3)=-x2+2x+15.
待定 系数 法求 二次 函数 的解 析式
已知抛物线上三个点的坐标，设 解析式为 y=ax2+bx+c
已知抛物线与x轴两交点的坐标， 设解析式为 y=（x-x1）（x-x2）
已知抛物线顶点坐标和另一个点 的坐标，设解析式为y=a（x-h）2+k
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