中考数学总复习精炼（含答案）：07与四边形、圆有关的计算和证明

这是一份中考数学总复习精炼（含答案）：07与四边形、圆有关的计算和证明，共11页。试卷主要包含了已知，证明等内容，欢迎下载使用。
与四边形有关的计算和证明1.已知：如图，在菱形ABCD中，点E，F分别在边BC，CD上，且BE＝DF，连结AE，AF.求证：AE＝AF.证明：∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝AD，∠B＝∠D，∵BE＝DF，∴△ABE≌△ADF(SAS)，∴AE＝AF. 2．如图，在矩形ABCD中，点E，F在对角线BD上．请添加一个条件，使得结论“AE＝CF”成立，并加以证明．解：添加的条件是BE＝DF(答案不唯一).证明：∵四边形ABCD是矩形，∴AB∥CD，AB＝CD，∴∠ABD＝∠BDC，又∵BE＝DF(添加)，∴△ABE≌△CDF(SAS)，∴AE＝CF.  3．如图，ABCD是正方形，E是CD边上任意一点，连接AE，作BF⊥AE，DG⊥AE，垂足分别为F，G.求证：BF－DG＝FG.证明：∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝AD，∠DAB＝90°，∵BF⊥AE，DG⊥AE，∴∠AFB＝∠AGD＝∠ADG＋∠DAG＝90°，∵∠DAG＋∠BAF＝90°，∴∠ADG＝∠BAF，∴△BAF≌△ADG(AAS)，∴BF＝AG，AF＝DG，∵AG＝AF＋FG，∴BF＝AG＝DG＋FG，∴BF－DG＝FG. 4．如图，矩形ABCD中，AB＝8，AD＝6，点O是对角线BD的中点，过点O的直线分别交AB，CD边于点E，F.(1)求证：四边形DEBF是平行四边形；(2)当DE＝DF时，求EF的长．(1)证明：∵四边形ABCD是矩形，∴AB∥CD，∴∠DFO＝∠BEO，又因为∠DOF＝∠BOE，OD＝OB，∴△DOF≌△BOE(ASA)，∴DF＝BE，又因为DF∥BE，∴四边形BEDF是平行四边形；(2)解：∵DE＝DF，四边形BEDF是平行四边形，∴四边形BEDF是菱形，∴DE＝BE，EF⊥BD，OE＝OF，设AE＝x，则DE＝BE＝8－x，在Rt△ADE中，根据勾股定理，有AE2＋AD2＝DE2，∴x2＋62＝(8－x)2，解得：x＝，∴DE＝8－＝，在Rt△ABD中，根据勾股定理，有AB2＋AD2＝BD2，∴BD＝＝10，∴OD＝BD＝5，在Rt△DOE中，根据勾股定理，有DE2－OD2＝OE2，∴OE＝＝，∴EF＝2OE＝.  5．如图，点P是正方形ABCD内的一点，连接CP，将线段CP绕点C顺时旋转90°，得到线段CQ，连接BP，DQ.(1)如图1，求证：△BCP≌△DCQ；(2)如图，延长BP交直线DQ于点E.①如图2，求证：BE⊥DQ；②如图3，若△BCP为等边三角形，判断△DEP的形状，并说明理由．(1)          证明：∵∠BCD＝90°，∠PCQ＝90°，∴∠BCP＝∠DCQ，又∵BC＝CD，CP＝CQ，∴△BCP≌△DCQ(SAS)；(2)①如图，∵△BCP≌△DCQ，∴∠CBF＝∠EDF，又∠BFC＝∠DFE，∴∠DEF＝∠BCF＝90°，∴BE⊥DQ；②∵△BCP为等边三角形，∴∠BCP＝60°，∴∠PCD＝30°，又CP＝CD，∴∠CPD＝∠CDP＝75°，又∠BPC＝60°，∠CDQ＝60°，∴∠EPD＝180°－∠CPD－∠CPB＝180°－75°－60＝45°，同理：∠EDP＝45°，∴△DEP为等腰直角三角形．与圆有关的计算和证明1.如图，AB，AC分别是⊙O的直径和弦，OD⊥AC于点D.过点A作⊙O的切线与OD的延长线交于点P，PC，AB的延长线交于点F.(1)求证：PC是⊙O的切线；(2)若∠ABC＝60°，AB＝10，求线段CF的长．解：(1)连接OC，∵OD⊥AC，OD经过圆心O，∴AD＝CD，∴PA＝PC，∴△OAP≌△OCP(SSS)，∴∠OCP＝∠OAP，∵PA是⊙O的切线，∴∠OAP＝90°.∴∠OCP＝90°，即OC⊥PC，∴PC是⊙O的切线；(2)∵OB＝OC，∠OBC＝60°，∴△OBC是等边三角形，∴∠COB＝60°，∵AB＝10，∴OC＝5，由(1)知∠OCF＝90°，∴CF＝OC tan ∠COB＝5.   2．如图，AB是⊙O的直径，点C为的中点，CF为⊙O的弦，且CF⊥AB，垂足为E，连接BD交CF于点G，连接CD，AD，BF.(1)求证：△BFG≌△CDG；(2)若AD＝BE＝2，求BF的长．证明：(1)∵C是的中点，∴＝，∵AB是⊙O的直径，且CF⊥AB，∴＝，∴＝，∴CD＝BF，又∠F＝∠CDG，∠FGB＝∠DGC，∴△BFG≌△CDG(AAS)；(2)连接OF，设⊙O的半径为r，Rt△ADB中，BD2＝AB2－AD2，即BD2＝(2r)2－22，Rt△OEF中，OF2＝OE2＋EF2，即EF2＝r2－(r－2)2，∵＝＝，∴＝，∴BD＝CF，∴BD2＝CF2＝(2EF)2＝4EF2，即(2r)2－22＝4[r2－(r－2)2]，解得：r＝1(舍)或3，∴BF2＝EF2＋BE2＝32－(3－2)2＋22＝12，∴BF＝2.   3．如图，点P在⊙O外，PC是⊙O的切线，C为切点，直线PO与⊙O相交于点A，B.(1)若∠A＝30°，求证：PA＝3PB；(2)小明发现，∠A在一定范围内变化时，始终有∠BCP＝(90°－∠P)成立．请你写出推理过程．解：(1)∵AB是直径，∴∠ACB＝90°，∵∠A＝30°，∴AB＝2BC，∵PC是⊙O切线，∴∠BCP＝∠A＝30°，∴∠P＝30°，∴PB＝BC，BC＝AB，∴PA＝3PB；(2)∵点P在⊙O外，PC是⊙O的切线，C为切点，直线PO与⊙O相交于点A，B，∴∠BCP＝∠A，∵∠A＋∠P＋∠ACB＋∠BCP＝180°，且∠ACB＝90°，∴2∠BCP＝90°－∠P，∴∠BCP＝(90°－∠P). 4．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，点E在BC边上，且CA＝CE，过A，C，E三点的⊙O交AB于另一点F，作直径AD，连结DE并延长交AB于点G，连结CD，CF.(1)求证：四边形DCFG是平行四边形；(2)当BE＝4，CD＝AB时，求⊙O的直径长．(1)证明：连接AE，∵∠BAC＝90°，∴CF是⊙O的直径，∵AC＝EC，∴CF⊥AE，∵AD是⊙O的直径，∴∠AED＝90°，即GD⊥AE，∴CF∥DG，∵AD是⊙O的直径，∴∠ACD＝90°，∴∠ACD＋∠BAC＝180°，∴AB∥CD，∴四边形DCFG是平行四边形；(2)解：由CD＝AB，设CD＝3x，AB＝8x，∴CD＝FG＝3x，∵∠AOF＝∠COD，∴AF＝CD＝3x，∴BG＝8x－3x－3x＝2x，∵GE∥CF，∴＝＝，∵BE＝4，∴AC＝CE＝6，∴BC＝6＋4＝10，∴AB＝＝8＝8x，∴x＝1，在Rt△ACF中，AF＝3，AC＝6，∴CF＝＝3，即⊙O的直径长为3.  5．如图，点E是△ABC的内心，AE的延长线和△ABC的外接圆⊙O相交于点D，过D作直线DG∥BC.(1)求证：DG是⊙O的切线；(2)若DE＝6，BC＝6，求优弧的长．　　　　　　(1)证明：连接OD交BC于H，如图，∵点E是△ABC的内心，∴AD平分∠BAC，即∠BAD＝∠CAD，∴＝，∴OD⊥BC，BH＝CH，∵DG∥BC，∴OD⊥DG，∴DG是⊙O的切线；(2)解：连接BD，OB，如图，∵点E是△ABC的内心，∴∠ABE＝∠CBE，∵∠DBC＝∠BAD，∴∠DEB＝∠BAD＋∠ABE＝∠DBC＋∠CBE＝∠DBE，∴DB＝DE＝6，∵BH＝BC＝3，在Rt△BDH中，sin ∠BDH＝＝＝，∴∠BDH＝60°，而OB＝OD，∴△OBD为等边三角形，∴∠BOD＝60°，OB＝BD＝6，∴∠BOC＝120°，∴优弧的长＝＝8π.